课件46张PPT。第二章 圆锥曲线与方程第二章 圆锥曲线与方程本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放[学生用书P107(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：选D.由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线的方程为x2－y2＝16，即－＝1.
2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，且其右焦点F2的坐标为(5，0)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：选B.依题意得e＝＝，又c＝5，故a＝4，所以b＝3，所以双曲线C的方程为－＝1.故选B.
3．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
A. B．2
C. D．2
解析：选D.法一：由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.
法二：离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.
4．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为( )
A. B．
C．2 D．3
解析：选B.不妨设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2×2b＝2a＋2c，即b＝.又b2＝c2－a2，则＝c2－a2，所以3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，注意到e＞1，得e＝.故选B.
5．如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是( )
A．3 B．4
C．6 D．8
解析：选C.设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
6．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．
解析：由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x－4y＋12＝0与x轴的交点坐标为(－4，0)，故双曲线的一个焦点为(－4，0)，即c＝4.设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2，则c2＝2a2＝16，解得a2＝8，所以双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
7．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．
解析：依题意得 ·＝，化简得a2＝2b2.
因此C2的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.
答案：x±y＝0
8．设M为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)右支上一点，A，F分别为双曲线的左顶点和右焦点，且△MAF为等边三角形，则双曲线的离心率为________．
解析：设双曲线的左焦点为F′，因为△MAF为等边三角形，所以|MF|＝|AF|＝a＋c，从而|MF′|＝3a＋c，在△MFF′中，由余弦定理可得(3a＋c)2＝(a＋c)2＋4c2－2×2c×(a＋c)cos 60°，解得e＝4或e＝－1(舍去)．
答案：4
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.
解：(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3.
当λ＞0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1；
当λ＜0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1.
故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
10．设双曲线－＝1(0
解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.于是有＝c，所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4.又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝.
又b>a，所以e2＝＝1＋>2，
则e＝2.于是双曲线的离心率为2.
[B 能力提升]
11．(2019·福州八中检测)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2
C. D．
解析：选D.设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，|AB|＝|BM|＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于点H，则∠MBH＝60°，|BH|＝a，|MH|＝a，所以M(2a，a)．将点M的坐标代入双曲线的方程－＝1，得a＝b，所以e＝.故选D.
12．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞)
B．[3＋2，＋∞)
C.
D.
解析：选B.因为F(－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为－y2＝1.设点P(x0，y0)(x0≥)，则－y＝1(x0≥)，可得y＝－1(x0≥)，易知＝(x0＋2，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋2)＋y＝x0(x0＋2)＋－1＝＋2x0－1，此二次函数对应的图象的对称轴方程为x0＝－.因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值×3＋2－1＝3＋2，故·的取值范围是[3＋2，＋∞)．
13．已知双曲线E：－＝1.
(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围．
解：(1)m＝4时，
双曲线方程化为－＝1，所以a＝2，b＝，c＝3，
所以焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，渐近线方程为y＝±x.
(2)因为e2＝＝＝1＋，
e∈，所以<1＋<2，解得5所以实数m的取值范围是(5，10)．
14．(选做题)已知双曲线C1：x2－＝1.
(1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点．当·＝3时，求实数m的值．
解：(1)双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，
设双曲线C2的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则解得
所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
(2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x，
设A(x1，2x1)，B(x2，－2x2)．
由消去y化简得3x2－2mx－m2＝0，
由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2＞0，得m≠0.
因为x1x2＝－，·＝x1x2＋(2x1)(－2x2)＝－3x1x2，所以m2＝3，即m＝±.
