[学生用书P109(单独成册)])
[A 基础达标]
1．动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
解析：选D.依题意可知动点P(x，y)在直线右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，所以动点P到F(3，0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线．故选D.
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B.因为a2＝6，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝4，c＝2，即椭圆的右焦点为(2，0)，所以抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(2，0)，所以＝2，p＝4.
3．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x或x2＝－8y B．y2＝x或y2＝8x
C．y2＝－8x D．x2＝－8y
解析：选A.因为点P在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.
4．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px(p>0)上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选B.由题意可知准线方程为x＝－p，
所以8＋p＝10，所以p＝2.
所以焦点到准线的距离为2p＝4.
5．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是( )
解析：选D.a2x2＋b2y2＝1其标准方程为＋＝1，因为a>b>0，所以<，表示焦点在y轴上的椭圆；
ax＋by2＝0其标准方程为y2＝－x，表示焦点在x的负半轴的抛物线．
6．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________．
解析：由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－，由题意知3＋＝4，所以p＝2.
答案：2
7．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
解析：由方程y2＝－12x，知焦点F(－3，0)，准线l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由定义知|PF|＝3－x.又|PF|＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.
所以所求点的坐标为(－6，6)，(－6，－6)．
答案：(－6，6)，(－6，－6)
8．若抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是________．
解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，即|AF|＝x1＋＝x1＋.同理|BF|＝x2＋＝x2＋.故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝5，即x1＋x2＝4，得＝2，故线段AB的中点的横坐标是2.
答案：2
9．根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
解：(1)由双曲线方程得－＝1，
其左顶点为(－3，0)．
因此抛物线的焦点为(－3，0)．
设其标准方程为y2＝－2px(p>0)，则＝3.所以p＝6.
因此抛物线的标准方程为y2＝－12x.
(2)当抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
A(x0，－3)，依题意得
解得p＝1，或p＝9.
当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)，
A(x0，－3)，依题意得
解得p＝1或p＝9.
综上所述，所求抛物线的标准方程为
y2＝±2x或y2＝±18x.
10.如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若|CD|＝9米，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？
解：如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，则B(9，－8)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
因为B点在抛物线上，所以81＝－2p·(－8)，
所以p＝，所以抛物线的方程为x2＝－y.当x＝时，y＝－2，即|DE|＝8－2＝6.
所以|DE|不超过6米才能使货船通过拱桥．
[B 能力提升]
11．(2019·德州检测)已知O为坐标原点，A(0，2)，抛物线C：y2＝mx(m>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶，则△OFN的面积为( )
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：选A.抛物线C：y2＝mx的焦点为F，设点N的坐标为(xN，yN)，点M在准线上的射影为点K，由抛物线的定义，知|MF|＝|MK|，由|FM|∶|MN|＝1∶，可得|KM|∶|MN|＝1∶，则|KN|∶|KM|＝∶1，kFN＝＝－.又kFN＝－＝－，所以＝，即m＝4，所以yN＝4，故△OFN的面积为·yN·|OF|＝×4×＝2.故选A.
12．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三个不同的点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________．
解析：因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，所以A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.
答案：6
13．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
于是4＋＝5，所以p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)．
又F(1，0)，所以kAF＝，
则直线FA的方程为y＝(x－1)．
因为MN⊥FA，所以kMN＝－，
则MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组得
所以N.
14．(选做题)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1，1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图(1)所示，连接AF，交抛物线于点P，则|PA|＋d的最小值为＝.
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2，因为2>2，所以点B在抛物线内部．自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图(2)所示)．由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
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