[学生用书P111(单独成册)])
[A 基础达标]
1．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
解析：选C.依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
2．若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A．5p B．10p
C．11p D．12p
解析：选B.将直线方程代入抛物线方程，
可得x2－4px－p2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4p，所以y1＋y2＝9p.
因为直线过抛物线的焦点，
所以|AB|＝y1＋y2＋p＝10p.
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1，2) D．(2，2)
解析：选B.设A(x，y)，则y2＝4x，①
又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
所以·＝x－x2－y2＝－4.②
由①②可解得x＝1，y＝±2.
4．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋2.由
得x2－4x＋1＝0，
所以x1＋x2＝4，x1·x2＝1.
所以|AB|
＝
＝＝＝2.
5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B．
C. D．
解析：选D.易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则线段AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是线段AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.
答案：
7．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是________．
解析：设A，B在y2＝2px上，另一个顶点为O，则A，B关于x轴对称，则∠AOx＝30°，则直线OA的方程为y＝x.由得y＝2p，所以△AOB的边长为4p.
答案：4p
8．已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．
解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以
|AB|＝＝＝＝ .
所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.
答案：
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，
设A(x0，y0)，由题知M.
因为|AF|＝3，所以y0＋＝3，
因为|AM|＝，
所以x＋＝17，
所以x＝8，代入方程x＝2py0得，
8＝2p，解得p＝2或p＝4.
所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)若点B(0，2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
解：(1)由抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)，可得16＝4p，解得p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．
②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．
③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y＝kx＋2.由得ky2－8y＋16＝0.
由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，
故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.
综上直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.
[B 能力提升]
11．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于( )
A. B．2
C. D．4
解析：选C.直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.
12．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
解析：由消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即或所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，所以梯形APQB的面积S＝×8＝48.
答案：48
13．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△AOB的面积等于时，求k的值．
解：(1)证明：如图，由方程组消去x并整理，得ky2＋y－k＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系知y1＋y2＝－，y1·y2＝－1.
因为kOA·kOB＝·＝·＝＝－1，
所以OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0.
令y＝0，则x＝－1，即点N(－1，0)．
所以S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON||y1－y2|
＝×1×
＝ ＝，
所以k＝±.
14．(选做题)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线的定义，得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，
抛物线的方程是y2＝8x.
(2)因为p＝4，所以4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4，4)．
设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)．
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
课件38张PPT。第二章 圆锥曲线与方程第二章 圆锥曲线与方程本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
