课件39张PPT。第二章 圆锥曲线与方程本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放[学生用书P115(单独成册)])
[A 基础达标]
1．若双曲线－y2＝1(a>0)的一个焦点为(3，0)，则它的离心率为( )
A．2 B．
C. D．2
解析：选C.由焦点为(3，0)知，1＋a2＝9，所以a2＝8，a＝2，所以离心率e＝＝.故选C.
2．设k<3，k≠0，则下列关于二次曲线－＝1与＋＝1的说法正确的是( )
A．它们表示的曲线一条为双曲线，另一条为椭圆
B．有相同的顶点
C．有相同的焦点
D．有相同的离心率
解析：选C.当0所以两曲线有相同的焦点；
当k<0时，－k>0且3－k>－k，
所以＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆．
a2＝3－k，b2＝－k.
所以a2－b2＝3＝c2，
与已知椭圆有相同的焦点．
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选C.因为＝＝＝，所以C的渐近线方程为y＝±x.故选C.
4．(2019·扬州检测)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，右焦点为F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是( )
A. B．
C. D．
解析：选D.依题意，得m＝3，所以＋＝1.以原点为圆心，c＝4为半径作圆，则F1F2是圆的直径．若P在圆外，则∠F1PF2为锐角；若P在圆上，则∠F1PF2为直角；若P在圆内，则∠F1PF2为钝角．联立消去y，得x＝±.故结合图形(图略)可知－5．已知点P在抛物线y2＝4x上，则点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线的焦点F的距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )
A. B．
C．(1，2) D．(1，－2)
解析：选B.如图，因为点Q(2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF|等于点P到准线x＝－1的距离．过Q(2，－1)作x＝－1的垂线QH，交抛物线于点K，则点K为点P到点Q(2，－1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y＝－1代入y2＝4x得x＝，所以点P的坐标为，选B.
6．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝|PF2|，则此双曲线的离心率为________．
解析：由题知PF1⊥PF2，
则
得＝＋1.
答案：＋1
7．椭圆＋＝1上一点P到左焦点F的距离为6，若点M满足＝(＋)(O为坐标原点)，则||＝________．
解析：设F1为右焦点，
因为||＝6，
所以||＝10－6＝4，
又＝(＋)，
所以M为PF的中点，
所以OM为△FPF1的中位线，
所以||＝||＝2.
答案：2
8．已知直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F，椭圆C的上顶点为抛物线x2＝4y的焦点，则椭圆C的方程为________．
解析：根据题意，直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F，
所以F(1，0)，
所以c＝1.又因为椭圆C的上顶点为抛物线x2＝4y的焦点，
所以b＝，b2＝3，
所以a2＝b2＋c2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一内接△OAB，O为坐标原点，若·＝0，直线OA的方程为y＝2x，且|AB|＝4，求抛物线方程．
解：由解得A，
又·＝0，
所以OA⊥OB，
故直线OB的方程为y＝－x.
由联立得B(8p，－4p)．
因为|AB|＝4，
所以＋(p＋4p)2＝16×13，
所以p＝，
所以抛物线方程为y2＝x.
10．设椭圆＋＝1(a>2)的离心率为，斜率为k的直线l过点E(0，1)且与椭圆交于C，D两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l与x轴相交于点G，且＝，求k的值．
解：(1)由题可得e2＝＝＝，解得a2＝6，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，
由得(2＋3k2)x2＋6kx－9＝0.
则Δ＝36k2＋36(2＋3k2)＞0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
则CD中点的横坐标为x0＝，
又E(0，1)，G，
则GE中点的横坐标为x0′＝－，
由＝知CD，GE的中点重合，得＝－，
解得k＝±.
[B 能力提升]
11．(2019·余姚检测)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－6x＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为( )
A. B．
C. D．
解析：选C.依题意可得渐近线方程为bx±ay＝0，而圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9.由弦长为2，可得圆心(3，0)到渐近线的距离为2，故＝2，即＝，所以离心率e＝＝＝.故选C.
12．(2019·漳州检测)如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆x2＋y2－4x－12＝0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是________．
解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)．易知抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线的定义，可得|AF|＝xA＋2.圆x2＋y2－4x－12＝0的圆心(2，0)，半径R＝4，所以△FAB的周长L＝|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，由题意，可知抛物线与圆的交点的横坐标均为2，所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12)．
答案：(8，12)
13．已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝1，F是焦点，过点A(－2，0)的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N.
(1)求抛物线的方程及y1y2的值；
(2)若直线PQ，MN的斜率都存在，记直线PQ，MN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．
解：(1)依题意，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，由准线x＝＝1，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝－4x.
由题意，设直线PQ的方程为x＝my－2，代入y2＝－4x，
消去x，整理得y2＋4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则＝·＝·＝.
设直线PM的方程为x＝ny－1，代入y2＝－4x，
消去x，整理得y2＋4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，
同理y2y4＝－4.
故＝＝＝＝＝，为定值．
14．(选做题)已知圆M：(x＋)2＋y2＝36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足＝2，·＝0.
(1)求点G的轨迹C的方程；
(2)过点(2，0)作斜率为k的直线l，与曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得·≤－1？若存在，求出直线l的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)由知Q为线段PN的中点，且GQ⊥PN，则GQ为线段PN的中垂线，故||＝||，所以||＋||＝||＝6.故点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且其长半轴长a＝3，半焦距c＝，所以短半轴长b＝2.
所以点G的轨迹C的方程是＋＝1.
(2)设l的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则·＝x1x2＋y1y2.
由?(9k2＋4)x2－36k2x＋36(k2－1)＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝[k(x1－2)][k(x2－2)]
＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝－，
则x1x2＋y1y2＝－＝.
由·＝x1x2＋y1y2≤－1，
得≤－1，
解得k2≤，故－≤k≤.
故存在这样的直线l，使得·≤－1，且直线l的斜率k的取值范围是.
章末综合检测(二)[学生用书P117(单独成册)]
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线y＝－x2的焦点坐标是( )
A．(0，－4) B．(0，－2)
C. D．
解析：选B.由题意，知抛物线标准方程为x2＝－8y，所以其焦点坐标为(0，－2)．故选B.
2．若θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
解析：选C.由于θ∈R，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．
3．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋y2＝1 D．＋y2＝1
解析：选A.因为|BF2|＝|F1F2|＝2，所以a＝2c＝2，所以a＝2，c＝1，所以b＝.所以椭圆的方程为＋＝1.
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为( )
A. B．2
C. D．
解析：选C.不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
5．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选A.抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，故双曲线－＝1中，m>0，n>0且m＋n＝c2＝1 ①，又e＝＝ ＝2 ②，联立方程①②，解得m＝，n＝，故mn＝.
6．已知F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e＝，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选D.由椭圆的定义知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝16，所以a＝4，又e＝＝，所以c＝2，所以b2＝42－(2)2＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.
7．已知直线y＝kx－k(k为实数)及抛物线y2＝2px(p>0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线没有公共点
解析：选C.因为直线y＝kx－k恒过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部，所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
8．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·＝( )
A．－12 B．－2
C．0 D．4
解析：选C.由渐近线方程为y＝x，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2－y2＝2，于是两焦点分别是F1(－2，0)和F2(2，0)，且P(，1)或P(，－1)．不妨取点P(，1)，则＝(－2－，－1)，＝(2－，－1)．所以·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)(2－)＋1＝0.
9．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为x＋y＝0，则双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝50 B．x2－y2＝24
C．x2－y2＝－50 D．x2－y2＝－24
解析：选D.因为双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y轴上，且焦点坐标为(0，－4)，(0，4)．又双曲线的一条渐近线方程为x＋y＝0，所以可设双曲线方程为y2－x2＝λ(λ>0)，则2λ＝48，λ＝24，故所求双曲线的方程为y2－x2＝24，即x2－y2＝－24.
10．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
A. B．
C. D．3
解析：选A.设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值为.
11．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于( )
A. B．
C. D．
解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0.由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4，①
根据抛物线的定义得，
|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2.
因为|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2，②
由①②得x2＝1(x2＝－2舍去)，
所以B(1，2)，代入y＝k(x＋2)得k＝.
12．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
解析：选C.由题意，知a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立椭圆方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，所以直线截椭圆的弦长d＝×2＝a，解得a2＝，b2＝.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
解析：双曲线焦点为(±4，0)，顶点为(±2，0)，故椭圆的焦点为(±2，0)，顶点(±4，0)，所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线x＝y2的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为________．
解析：抛物线x＝y2的方程化为标准形式为y2＝4x，焦点坐标为(1，0)，则得a2＋b2＝1，又e＝＝，易求得a2＝，b2＝，所以该双曲线的方程为5x2－y2＝1.
答案：5x2－y2＝1
15．过点E的直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若A为线段EB的中点，且|AF|＝3，则p＝________．
解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由焦半径公式，|AF|＝x1＋，又|AF|＝3，所以x1＝3－，由中点坐标公式，得所以x2＝6－，y2＝2y1，所以y＝4y，2p＝4y＝4×2px1＝4×2p，结合p>0可得p＝4.
答案：4
16．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
解析：由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋＝15.
答案：15
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e＝.求椭圆E的方程．
解：因为椭圆焦点在x轴上，所以设椭圆E的方程为＋＝1，半焦距为c(a>0，b>0，c>0)．
由题意知F(0，1)为椭圆的短轴的上顶点，
所以b＝1，又由＝，a2＝b2＋c2，
得a＝2，c＝.所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线的一个交点为P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
因为点P在抛物线上，
所以6＝2p×，所以p＝2，
所以所求抛物线的方程为y2＝4x.
因为双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
所以c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，
所以－＝1，
由得或(舍去)
所以所求双曲线的方程为4x2－y2＝1.
19．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m，
(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．
解：(1)由消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①
Δ＝36m2－36(2m2－18)
＝－36(m2－18)．
因为直线l与椭圆有公共点，
所以Δ≥0，据此可解得－3≤m≤3.
故所求实数m的取值范围为[－3，3]．
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①得：x1＋x2＝－，x1x2＝，
故|AB|＝·
＝·
＝·，
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.
20．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
解：(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，得p＝.
所以抛物线C的方程为y2＝x.
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为点P的坐标为(1，1)，
所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．
直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.
因为y1＋－2x1＝
＝
＝
＝
＝0，
所以y1＋＝2x1，
即y1－x1＝x1－，即|AM|＝|BA|，
故A为线段BM的中点．
21.(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(－1，0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．
解：(1)直线AB的方程为：bx－ay－ab＝0.
依题意
解得所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)假设存在这样的k值，由得
(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.
所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0.①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则②
而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.要使以CD为直径的圆过点E(－1，0)，当且仅当CE⊥DE时，
则·＝－1.
即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0.
所以(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③
将②式代入③整理解得k＝.经验证k＝使①成立．综上可知，存在k＝，使得以CD为直径的圆过点E.
22．(本小题满分12分)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，
所以＋＝1.②
联立①②，得a2＝9，b2＝8或a2＝，b2＝－(舍去)．
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
因与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，
于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，而x3，x4是这个方程的两根，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，
即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，
解得k＝±，即直线l的斜率为±.
