课件56张PPT。第二章 圆锥曲线与方程第二章 圆锥曲线与方程本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放[学生用书P105(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是( )
A.－＝1 B．－＝1(x≥4)
C.－＝1 D．－＝1(x≥3)
解析：选D.由|MA|－|MB|＝6，且6＜|AB|＝10，得a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16.
故其轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支．
所以方程为－＝1(x≥3)．
2．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B．
C. D．(，0)
解析：选C.将双曲线方程化成标准方程为－＝1，
所以a2＝1，b2＝，所以c＝＝，
故右焦点坐标为.
3．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．y2－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：选B.由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，所以b2＝3，所以双曲线的方程为y2－＝1.
4．(2019·绍兴高二检测)已知双曲线Γ：－＝1上有一点M到Γ的右焦点F1(，0)的距离为18，则点M到Γ的左焦点F2的距离是( )
A．8 B．28
C．12 D．8或28
解析：选D.因为双曲线Γ：－＝1的右焦点F1(，0)，所以λ＝34－9＝25，所以双曲线Γ：－＝1.根据双曲线的定义，可知||MF1|－|MF2||＝2a＝10，又|MF1|＝18，则|MF2|＝8或28.故选D.
5．(2019·邯郸高二检测)设F1，F2是双曲线－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为1时，·的值为( )
A．0 B．1
C. D．2
解析：选A.易知F1(－，0)，F2(，0)．
不妨设P(x0，y0)(x0，y0>0)，
由×2c×y0＝1，得y0＝，
所以P，所以＝，＝，所以·＝0.
6．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是________．
解析：依题意得解得a＝1.
答案：1
7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：双曲线右焦点为(4，0)，
将x＝3代入－＝1，得y＝±.
所以点M的坐标为(3，)或(3，－)，
所以点M到双曲线右焦点的距离为＝4.
答案：4
8．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为____________．
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，
所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2)2，
又|PF1|－|PF2|＝2，
所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，
可得2|PF1|·|PF2|＝4，
则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2.
答案：2
9．焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．
解：因为双曲线的焦点在x轴上，
所以设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，F1(－c，0)，F2(c，0)．
因为双曲线过点P(4，－3)，所以－＝1.①
又因为点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，
所以·＝0，即－c2＋25＝0.
解得c2＝25.②
又c2＝a2＋b2，③
所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．
所以b2＝9，
所以所求的双曲线的标准方程是－＝1.
10．如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
解：(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
由于c－a＝5－3＝2，10>2，22>2，
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝
＝＝0，
所以∠F1PF2＝90°，所以S△F1PF2＝×32＝16.
[B 能力提升]
11．(2019·保定检测)已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为( )
A．8 B．9
C．16 D．20
解析：选B.由已知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20.
又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16.根据双曲线的定义，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，
所以4a＝|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9.
12．(2019·西安高二检测)如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为点A，B，线段MN的中点Q在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选A.连接QF1，QF2.因为线段MN的中点为Q，点F2为MB的中点，所以|QF2|＝|BN|，同理可得|QF1|＝|AN|.因为点Q在双曲线C的右支上，所以|QF1|－|QF2|＝2a，所以(|AN|－|BN|)＝2a，所以×12＝2a，解得a＝3.故选A.
13．求与椭圆x2＋4y2＝8有公共焦点的双曲线的方程，使得以此双曲线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积最大．
解：椭圆的方程可化为＋＝1，①
所以c2＝8－2＝6.
因为椭圆与双曲线有公共焦点，
所以在双曲线中，a2＋b2＝c2＝6，即b2＝6－a2.
设双曲线的方程为－＝1(0＜a2＜6)．②
由①②解得
由椭圆与双曲线的对称性可知四个交点构成一个矩形，
其面积S＝4|xy|＝4·＝ ≤·＝8，
当且仅当a2＝6－a2，即a2＝3，b2＝6－3＝3时，取等号．
所以双曲线的方程是－＝1.
14．(选做题)已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意得解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，因为|MF1|＋|MF2|＝6，所以|MF1|＝4，|MF2|＝2.又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，边MF1最长，
而cos∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
