[A 基础达标]
1．函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为，则ω等于( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：选B.由题意，知T＝＝，所以ω＝10.
2．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin x|
C．y＝sin D．y＝cos
解析：选D.y＝cos|2x|是偶函数；y＝|sin x|是偶函数；
y＝sin＝cos 2x是偶函数；y＝cos＝－sin 2x是奇函数，且其最小正周期T＝π.
3．函数f(x)＝xsin( )
A．是奇函数
B．是非奇非偶函数
C．是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：选A.由题意，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又f(x)＝xsin＝xcos x，
所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
4．函数y＝的奇偶性为( )
A．奇函数 B．既是奇函数也是偶函数
C．偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选D.由题意知，1－sin x≠0，即sin x≠1，y＝＝|sin x|，所以函数的定义域为，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．
5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可以是( )
A. B.
C．π D.
解析：选C.要使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选C.
6．函数y＝3sin的最小正周期为________．
解析：T＝＝π.
答案：π
7．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．
解析：因为f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0.
答案：0
8．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(2 017)＝________．
解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以T＝3，f(2 017)＝f(672×3＋1)＝f(1)＝2.
答案：2
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝coscos(π＋x)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋.
解：(1)因为x∈R，f(x)＝coscos(π＋x)
＝－sin 2x(－cos x)＝sin 2xcos x，
所以f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)
＝－sin 2xcos x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)函数应满足1－sin x≠0，
所以函数的定义域为，
显然定义域不关于原点对称，
所以f(x)＝为非奇非偶函数．
(3)由得cos x＝1，
所以函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．
所以f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
10．已知函数y＝sin x＋|sin x|，
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
解：(1)y＝sin x＋|sin x|＝
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
[B 能力提升]
11．已知f(x)＝cos x，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)的值为( )
A．－1 B.
C．－ D．1
解析：选B.因为f(1)＝cos ＝，f(2)＝cos ＝－，f(3)＝cos π＝－1，f(4)＝cos ＝－，f(5)＝cos ＝，f(6)＝cos 2π＝1.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
又f(x)的最小正周期为T＝＝6，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＋f(2 017)＝336×0＋f(2 017)＝cos＝cos ＝.
12．已知f(x)＝＋3，若f(5)＝－2，则f(－5)＝________．
解析：设 g(x)＝，则g(－x)＝＝－＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．
由f(5)＝－2得f(5)＝g(5)＋3＝－2，所以g(5)＝－5.
所以f(－5)＝g(－5)＋3＝－g(5)＋3＝8.
答案：8
13．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，
f(x)＝1－sin x，当x∈时，求f(x)的解析式．
解：x∈时，3π－x∈，
因为x∈时，f(x)＝1－sin x，
所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又f(x)是以π为周期的偶函数，
所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.
14．(选做题)已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是以4为周期的函数；
(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7.5)的值．
解：(1)证明：f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数．
(2)由(1)可知f(x＋4)＝f(x)，
所以f(7.5)＝f(3.5＋4)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
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1．函数y＝cos 2x在下列哪个区间上是减函数( )
A. B.
C. D.
解析：选C.若函数y＝cos 2x递减，应有2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，即kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0可得0≤x≤.
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析：选B.由x∈得2x－∈，
所以sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
3．函数y＝sin在区间[0，π]的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，取k＝0，则一个单调递减区间为.
4．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )
A．y＝cos|x| B．y＝cos|－x|
C．y＝sin D．y＝－sin
解析：选C.y＝cos|x|在上是减函数，排除A；y＝cos|－x|＝cos|x|，排除B；y＝sin＝－sin＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin在(0，π)上是单调递减的．
5．下列不等式中成立的是( )
A．sin>sin B．sin 3>sin 2
C．sinπ>sin D．sin 2>cos 1
解析：选D.因为sin 2＝cos＝cos，
且0<2－<1<π，所以cos>cos 1，
即sin 2>cos 1.故选D.
6．函数y＝－3cos x的最大值是________，最小值是________．
解析：由于函数y＝cos x的最大值是1，最小值是－1，因此函数y＝－3cos x的最大值是3，最小值是－3.
答案：3 －3
7．函数y＝cos的单调递减区间是________．
解析：令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以所求函数的单调递减区间为
，k∈Z.
答案：，k∈Z
8．函数值sin π，sin π，sin π从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．
解析：因为＜＜＜＜π，
又函数y＝sin x在上单调递减，
所以sin ＞sin ＞sin .
答案：sin ＞sin ＞sin
9．已知函数y＝sin.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
解： y＝sin，可化为y＝－sin.
(1)最小正周期T＝＝＝π.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以x∈R时，y＝sin的单调递减区间为，k∈Z.
从而x∈[－π，0]时，y＝sin的单调递减区间为，.
10．求下列函数的最大值和最小值．
(1)f(x)＝sin，x∈；
(2)y＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈.
解：(1)当x∈时，
2x－∈，
所以f(x)＝sin∈，
即sin∈.
所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.
(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3
＝2sin2x＋2sin x＋1
＝2＋.
因为x∈，
所以≤sin x≤1.
当sin x＝1时，ymax＝5；
当sin x＝时，ymin＝.
[B 能力提升]
11．函数y＝log2的单调递增区间是________．
解析：由题意，得sin>0，所以2kπ令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z可得y＝sin的单调递增区间为，k∈Z，
所以函数y＝log2的单调递增区间为，k∈Z.
答案：，k∈Z.
12．f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值是，则ω＝________．
解析：因为0≤x≤，
所以0≤ωx≤ω＜.
因为f(x)在上是增函数，
所以f＝，
即2sin＝，
所以ω＝，
所以ω＝.
答案：
13．已知函数f(x)＝sin.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)解不等式：f≥.
解：(1)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)．
所以函数图象的对称轴方程为
x＝＋(k∈Z)．
(2)由f＝sin 2x≥，
得2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
故不等式的解集是
.
14．(选做题)已知函数y＝a－bcos(b>0)的最大值为，最小值为－.
(1)求a，b的值；
(2)求函数g(x)＝－4asin的最小值并求出对应x的集合．
解：(1)cos∈[－1，1]，
因为b>0，
所以－b<0，
所以a＝，b＝1.
(2)由(1)知：g(x)＝－2sin，
因为sin∈[－1，1]，
所以g(x)∈[－2，2]，
所以g(x)的最小值为－2，对应x的集合为
.
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