1．角θ的终边与单位圆交于P，则sin θ＝( )
A. B．± C. D．±
解析：选D.因为角θ的终边与单位圆交于P，所以＋y2＝1，y＝±，则sin θ＝y＝±.
2．(2019·安徽毫州二中质检)已知x∈，tan x＝－，则cos等于( )
A. B．－ C．－ D.
解析：选C.因为x∈，tan x＝－，所以sin x＝，cos＝cos＝－sin x＝－.
3．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________．
解析：设扇形半径为r，弧长为l，则
，解得.
答案：
4．化简：1＋cos·sin·tan(π＋α)＝________．
解析：原式＝1－sin α·cos α·tan α＝1－sin α·cos α·＝1－sin2α＝cos2α.
答案：cos2α
5．已知＝2，则tan α＝________．
解析：由已知得＝2，
则5sin α＝cos α，所以tan α＝.
答案：
6．已知0<α<，sin α＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝，故tan α＝.
(2)＝＝＝＝4.
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1．函数f(x)＝sin在上的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.又0≤x≤，所以f(x)在上的单调递增区间是.
2．(2019·南昌市摸底调研)函数y＝sin的图象可以由函数y＝cos的图象( )
A．向右平移个单位长度得到
B．向右平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到
D．向左平移个单位长度得到
解析：选B.由y＝cos ＝sin，
y＝sin＝sin，
知函数y＝sin的图象可以由y＝cos 的图象向右平移个单位长度得到．
3．(2018·高考江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________．
解析：由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1，因为－<φ<，所以<＋φ<，则＋φ＝，φ＝－.
答案：－
4．如图，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)的函数解析式为____________．
解析：由函数图象可知，A＝2，又函数f(x)的图象过点(0，)，所以2sin φ＝，即sin φ＝，由于|φ|<，所以φ＝，于是f(x)＝2sin.
答案：f(x)＝2sin
5．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的一段图象．
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？
解：(1)由图象知
A＝＝，
k＝＝－1，
T＝2×＝π，
所以ω＝＝2.
所以y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝，
所以φ＝.
所以所求函数解析式为y＝sin－1.
(2)把y＝sin x向左平移个单位，得到y＝sin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin，最后把函数y＝sin的图象向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图象．
章末综合检测(一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．与角－的终边相同的角是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.与角－的终边相同的角的集合为，当k＝1时，α＝－＋2π＝，故选C.
2．函数y＝3tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C.令2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠π＋，k∈Z，所以函数y＝3tan的定义域是.
3．已知sin(π＋α)＝，则cos＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B.由sin(π＋α)＝－sin α＝，得sin α＝－，则cos＝－sin α＝，故选B.
4．sin 600°＋tan 240°的值等于( )
A．－ B.
C．－＋ D.＋
解析：选B.sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－，
tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝，
因此sin 600°＋tan 240°＝.
5．已知函数f(x)＝sin 2(x＋φ)，则( )
A．当φ＝－时，f(x)为奇函数
B．当φ＝0时，f(x)为偶函数
C．当φ＝－时，f(x)为奇函数
D．当φ＝－π时，f(x)为偶函数
解析：选C.对于A，f(x)＝sin 2＝sin＝－cos 2x，则f(x)是偶函数，A错误；对于B，f(x)＝sin 2(x－0)＝sin 2x，则f(x)是奇函数，B错误；对于C，f(x)＝sin 2＝sin(2x－π)＝－sin 2x，则f(x)是奇函数，C正确；对于D，f(x)＝sin 2(x－π)＝sin(2x－2π)＝sin 2x，则f(x)是奇函数，D错误．故选C.
6．已知＝－3，则tan θ＝( )
A．－1 B．－1或2
C．1或－2 D．2
解析：选D.由＝－3，
可得＝＝－3，解得tan θ＝2.故选D.
7．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
解析：选A.将y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，故x＝－是所得图象的一条对称轴方程．
8．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
解析：选D.由题意可得(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝，故sin αcos α＝－，切化弦可得tan α＋＝＋＝＝＝－8.
9．若将函数f(x)＝sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选A.将函数f(x)＝sin图象上的每一点都向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin＝sin(2x＋π)＝－sin 2x的图象，令＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，因此函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选A.
10．函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f(0)＝1，则下列结论中正确的是( )
A．f(φ)＝2
B.是f(x)图象的一个对称中心
C．φ＝
D．x＝－是f(x)图象的一条对称轴
解析：选A.由f(0)＝1且0<φ<，可得φ＝，故选项C错误；可得f(x)＝2sin，把x＝φ＝代入f(x)＝2sin，得f(φ)＝2，选项A正确；f＝2，f(x)取得最大值，选项B错误；而f＝－1，非最值，选项D错误，故选A.
11．将函数y＝sin(x＋φ)(0<φ<π)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向左平移个单位，可以得到一个奇函数的图象，则φ的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由图象变换得所得函数为y＝sin，即y＝sin，由该函数是奇函数得sin＝0，所以φ＋＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)．
又0<φ<π，所以φ＝，故选A.
12．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)的值等于( )
A. B.
C.＋2 D．1
解析：选C.由图象知T＝2×(6－2)＝8，A＝2.
由T＝8＝?ω＝，
又当x＝2时，f(2)＝2，
所以2sin＝2，则＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝2kπ(k∈Z)，取φ＝0，
因此f(x)＝2sinx.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)＝f(1)＋f(2)＋2×0＝＋2，故选C.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________cm.
解析：因为圆心角α＝54°＝，
所以l＝|α|·r＝6π，所以周长为(6π＋40)cm.
答案：6π＋40
14．已知函数f(x)＝2sin，x∈，则f(x)的值域为________．
解析：因为x∈，
所以x＋∈，
所以<2sin≤2，所以f(x)∈(，2]．
答案：(，2]
15．若f(x＋2)＝则f·f(－98)＝________．
解析：f＝tan ＝1，f(－98)＝f(－100＋2)＝lg 100＝2，所以f·f(－98)＝2.
答案：2
16．函数y＝sin(ω>0)的图象在[0，2]上至少有三个最大值点，则ω的最小值为________．
解析：因为0≤x≤2，所以≤ωx＋≤2ω＋，要使函数y＝sin(ω>0)的图象在[0，2]上至少有三个最大值点，由三角函数的图象可得2ω＋≥π，解得ω≥π，即ω的最小值为π.
答案：π
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知cos＝，且α是第一象限角．
(1)求cos(3π－α)的值；
(2)求tan(α＋π)＋的值．
解：(1)由cos＝，得sin α＝.
因为α是第一象限角，所以cos α>0.
因为sin α＝，所以cos(3π－α)＝－cos α
＝－＝－.
(2)因为tan α＝＝，所以tan(α＋π)＋＝tan α＋＝tan α＋1＝.
18．(本小题满分12分)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线2x＋y＝0(x≥0)上．
(1)求2sin α＋cos α的值；
(2)求的值．
解：(1)由于角α终边在射线2x＋y＝0(x≥0)上，可设终边上一点P(a，－2a)(a>0)，则tan α＝－2，sin α＝－，cos α＝，此时2sin α＋cos α＝－.
(2)＝
＝＝，
由(1)知tan α＝－2，所以原式＝＝3.
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值，并求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在区间上的值域．
解：(1)由f(x)＝2sin的最小正周期为π，得＝π，因为ω>0，所以ω＝1，
因此f(x)＝2sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由0≤x≤得－≤2x－≤，
所以－≤sin≤1，
因此－1≤2sin≤2，
故f(x)在上的值域为[－1，2]．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标差的绝对值是3π，且图象过点(0，1)，求：
(1)函数f(x)的解析式；
(2)函数f(x)在区间上的最值．
解：(1)因为＝3π，所以T＝6π，所以ω＝＝＝.
由题意，知A＝2，则f(x)＝2cos.
又图象过点(0，1)，所以2cos φ＝1.
因为0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝2cos.
(2)因为－≤x≤0，所以－≤x＋≤，
所以当x＋＝0，即x＝－π时f(x)max＝2；
当x＋＝，即x＝0时，f(x)min＝1.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在[0，π]上取得最小值时对应的角为θ，求半径为2，圆心角为θ的扇形的面积．
解：(1)因为A>0，所以A＝2，
又周期T满足＝－＝，ω>0，
所以T＝π＝，解得ω＝2.
当x＝时，2sin＝2，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z，
故f(x)＝2sin.
(2)因为函数f(x)的周期为π，所以f(x)在[0，π]上的最小值为－2，
由题意，角θ(0≤θ≤π)满足f(θ)＝－2，
即sin＝－1，解得θ＝，
所以半径为2，圆心角为θ的扇形面积S＝θr2＝××4＝.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k>0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
解：(1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝－＝2π，
由T＝2π＝，得ω＝1.
又解得
令ω·＋φ＝，即＋φ＝，
解得φ＝－，
所以f(x)＝2sin＋1.
(2)因为函数y＝f(kx)＝2sin＋1的最小正周期为.
又k>0，所以k＝3.
令t＝3x－.
因为x∈，
所以t∈.
如图sin t＝s在上有两个不同的解的条件是s∈，
所以方程f(kx)＝m在x∈上恰好有两个不同的解时，实数m的取值范围是[＋1，3)．
