1．已知sin α＝，则cos(π＋2α)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D.法一：因为sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝，所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－，故选D.
法二：因为sin α＝，所以cos2α＝1－sin2α＝，所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos2α＝－，故选D.
2．(2019·福建第一学期期末考试)cos 15°－4sin215°·cos 15°＝( )
A. B.
C．1 D.
解析：选D.cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.故选D.
3．已知tan(α＋β)＝4，tan(α－β)＝2，则tan 2α的值为________．
解析：tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝－.
答案：－
4．(2019·四川宜宾期末考试)已知α为锐角，且sin α(－tan 10°)＝1，则α＝________．
解析：由题意知sin α＝sin α＝sin α＝sin α＝sin α＝＝1，即sin α＝sin 40°.又α为锐角，所以α＝40°.
答案：40°
5．已知sin α＝，且α为第二象限角．
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan的值．
解：(1)因为sin α＝，且α为第二象限角，
所以cos α＝－＝－，
故sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
(2)由(1)知tan α＝＝－，
故tan＝＝＝.
6．已知向量a＝(1，－)，b＝，函数f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)因为a＝(1，－)，b＝，
所以f(x)＝a·b＝sin x－
＝sin x－cos x.
因为f(θ)＝0，即sin θ－cos θ＝0，
所以tan θ＝，
所以＝＝＝＝－2＋.
(2)由(1)知f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
因为x∈[0，π]，所以x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－；
当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，
所以当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]．
课件22张PPT。第三章 三角恒等变换本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放章末综合检测(三)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知角α的终边经过点P(－3，4)，则tan 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A.因为tan α＝－，
所以tan 2α＝＝＝.
2．化简cos2－sin2等于( )
A．sin 2θ B．－sin 2θ
C．cos 2θ D．－cos 2θ
解析：选A.原式＝cos＝cos＝sin 2θ.故选A.
3．已知cos＝，－＜α＜0，则sin 2α的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D.由已知得sin α＝－，又－＜α＜0，故cos α＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
4．若α为第三象限角，则－等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
解析：选A.因为α为第三象限角，所以sin α，cos α<0，则－＝－＝＝0.
5．若△ABC的内角A满足sin 2A＝，则sin A＋cos A等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C.因为sin 2A＝2sin Acos A＝，所以sin Acos A＝.因为A为△ABC的内角，所以sin A>0，cos A>0，所以sin A＋cos A＝＝＝＝.
6．函数y＝1－2sin2是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：选A.因为y＝1－2sin2＝cos＝cos＝－sin 2x，所以该函数为奇函数，且其最小正周期为π.
7．在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边与单位圆x2＋y2＝1交点的横坐标为，则cos 等于( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选A.由题意，得cos α＝，又α为锐角，则cos ＝ ＝ ＝.
8．已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)＝( )
A．－1 B．－2 C．－ D.
解析：选B.由sin 2α＝，且＜2α＜π，
可得cos 2α＝－，
所以tan 2α＝－，
所以tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]
＝
＝＝－2.
9．已知在△ABC中，cos＝－，那么sin＋cos A等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A.因为cos＝sin＝sin＝－，所以sin＋cos A＝sin A＋cos A＝＝sin＝－.
10.－＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
解析：选D.－＝－
＝
＝
＝
＝＝－4.
11．若＝2，则tan＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A.因为＝2，
所以＝2，
即＝＝2，所以tan α＝，
所以tan 2α＝＝＝，
所以tan＝＝＝－，故选A.
12．已知不等式f(x)＝3sin cos ＋cos2－－m≤0对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥ B．m≤
C．m≤－ D．－≤m≤
解析：选A.f(x)＝3sin cos ＋cos2 －－m＝sin ＋cos －m＝sin－m≤0，
所以m≥sin，
因为－≤x≤，
所以－≤＋≤，
所以－≤sin≤，
所以m≥ .
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．
解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝＝＝.
答案：
14.－＝________．
解析：原式＝
＝＝tan 30°＝.
答案：
15．已知tan θ＝－，则＝________．
解析：因为tan θ＝－，
所以
＝＝
＝＝＝3＋2.
答案：3＋2
16．已知A，B，C为△ABC的三个内角，a＝(sin B＋cos B，cos C)，b＝(sin C，sin B－cos B)．若a·b＝0，则A＝________．
解析：由已知a·b＝0，得(sin B＋cos B)sin C＋cos C(sin B－cos B)＝0.化简，得sin(B＋C)－cos(B＋C)＝0，即sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝.
答案：
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)求下列各式的值：
(1)；
(2)(tan 10°－)sin 40°.
解：(1)原式＝
＝cos2－sin2＝cos＝.
(2)原式＝·sin 40°＝＝＝＝－1.
18．(本小题满分12分)已知＜α＜π，cos α＝－.
(1)求tan α的值；
(2)求sin 2α＋cos 2α的值．
解：(1)因为cos α＝－，＜α＜π，
所以sin α＝，
所以tan α＝＝－.
(2)sin 2α＝2sin αcos α＝－.
cos 2α＝2cos2α－1＝，
所以sin 2α＋cos 2α＝－＋＝－.
19．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，φ∈，求cos φ的值．
解：(1)因为a与b互相垂直，
所以a·b＝sin θ－2cos θ＝0，
即sin θ＝2cos θ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，
又因为θ∈，解得sin θ＝，cos θ＝.
(2)因为φ∈，θ∈，
所以－<θ－φ<，又sin(θ－φ)＝，
所以cos(θ－φ)＝＝，
所以cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝×＋×＝.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝tan.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈，若f＝2cos 2α，求α的大小．
解：(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以f(x)的定义域为.
f(x)的最小正周期为.
(2)由f＝2cos 2α，得tan＝2cos 2α，
即＝2(cos2α－sin2α)，
整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，
因为α∈，所以sin α＋cos α≠0.
因此(cos α－sin α)2＝，所以sin 2α＝.
由α∈，得2α∈，所以2α＝，即α＝.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
解：(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.
22．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝.
(1)求证：tan A＝2tan B；
(2)设AB＝3，求AB边上的高．
解：(1)证明：因为sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，
所以
??＝2.
所以tan A＝2tan B.
(2)因为
所以tan(A＋B)＝－，即＝－.
将tan A＝2tan B代入上式并整理得
2tan2B－4tan B－1＝0，
解得tan B＝，舍去负值，得tan B＝.
所以tan A＝2tan B＝2＋.
设AB边上的高为CD，
则AB＝AD＋DB＝＋＝，
由AB＝3，得CD＝2＋.
所以AB边上的高等于2＋.
