课件36张PPT。第二章 平面向量第二章 平面向量本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 [A 基础达标]
1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为( )
A. B.
C．3 D．5
解析：选C.由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.
2．(2019·北京市十一学校检测)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模是( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：选C.因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
所以|a|2－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．故选C.
4．(2019·广东佛山质检)如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C.因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝，所以·＝1××cos 150°＝－.
5．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
解析：选D.因为2＝·＋·＋·，所以2－·＝·＋·，
所以·(－)＝·(－)，
所以·＝2，所以·(＋)＝0，
所以·＝0，
所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．
6．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝________．
解析：设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－3×1×1×cos 120°＝－3＋3×＝－.
答案：－
7．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．
解析：根据题意得a·b＝|a|·|b|cos ＝1，因为(a＋λb)⊥a，所以(a＋λb)·a＝a2＋λa·b＝＋λ＝0，所以λ＝－.
答案：－
8．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________．
解析：因为·＝||||cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
答案：等边三角形
9．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
所以a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
又|a|＝1，所以|b|＝.设向量a，b的夹角为θ，
因为a·b＝，所以|a|·|b|cos θ＝，
所以cos θ＝，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，所以向量a，b的夹角为45°.
(2)因为|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝，所以|a－b|＝.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cos θ＝－1，
所以cos θ＝－，所以θ＝.
(2)易知a·b＝|a|·|b|cos θ＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)因为λa＋b与a－3b互相垂直，
所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
所以λ＝.
[B 能力提升]
11．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，则向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为________．
解析：因为(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝，
|a＋b|＝＝＝＝1，
所以＝，即向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为.
答案：
12．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，＝2，则·＝________．
解析：由＝2，所以＝，＝－，
故·＝(＋)·
＝·(－)
＝·(－)
＝·＋2－2
＝||||cos 120°＋||2－||2＝×2×1×＋×1－×22＝－.
答案：－
13．(2019·山东青岛二中第二学段模块检测)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|2a－b|＝.
(1)求|2a－3b|；
(2)求3a－b与a－2b的夹角θ.
解：(1)因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4－4a·b＋1＝5，所以a·b＝0，
所以|2a－3b|＝＝.
(2)因为cos θ＝＝＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
14．(选做题)在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以·＝0，
由＝2，得＝，＝＝－.
所以·＝·
＝·
＝2－·－2＝36－×81＝18.
(2)由题意，＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2
＝36－·－18＝18－·.
又·＝6，
所以18－·＝6，
所以·＝36.
设与的夹角为θ，
又·＝||·||cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，
所以54cos θ＝36，即cos θ＝.
所以与夹角的余弦值为.
