1．已知a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，则a·b＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D.由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b＝2×5－a·b＝3＋2，故a·b＝10－5＝5.
2．已知e1，e2是单位向量，m＝e1＋2e2，n＝5e1－4e2，若m⊥n，则e1与e2的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为m⊥n，|e1|＝|e2|＝1，所以m·n＝(e1＋2e2)·(5e1－4e2)＝5e＋6e1·e2－8e＝－3＋6e1·e2＝0.所以e1·e2＝.设e1与e2的夹角为θ，则cos θ＝＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
3．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，且(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为________．
解析：由题意得(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m＋(5m－3)×1×2×cos 60°－5×4＝0，即8m＝23，所以m＝.
答案：
4．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3 ，·＝2，则·的值是________．
解析：由＝3 ，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.
又2＝25，2＝64，所以·＝22.
答案：22
5．已知向量e1，e2，且|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝.
(1)求证：(2e1－e2)⊥e2；
(2)若m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2，且|m|＝|n|，求λ的值．
解：(1)证明：因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，
所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－e＝2|e1||e2|cos－|e2|2＝2×1×1×－12＝0，所以(2e1－e2)⊥e2.
(2)由|m|＝|n|得(λe1＋e2)2＝(3e1－2e2)2，
即(λ2－9)e＋(2λ＋12)e1·e2－3e＝0.
因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，
所以e＝e＝1，e1·e2＝1×1×cos＝，
所以(λ2－9)×1＋(2λ＋12)×－3×1＝0，
即λ2＋λ－6＝0.所以λ＝2或λ＝－3.
课件26张PPT。第二章 平面向量本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放章末综合检测(二)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．将3化成最简式为( )
A．－a＋b B．－4a＋5b
C.a－b D．4a－5b
解析：选B.原式＝3[a＋b]＝3＝－4a＋5b.
2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.
3．已知A(4，6)，B，有下列向量：①a＝；②b＝；③c＝；④d＝(－7，9)．其中，与平行的向量是( )
A．①② B．①③
C．①②③ D．①②③④
解析：选C.＝，因为＝－＝－，＝－＝－，＝＝，所以与平行的向量是①②③中的向量．
4．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．10
解析：选B.由题意可知解得故a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝.
5．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影为( )
A. B．3
C．4 D．5
解析：选A.因为a·b＝12，设两向量的夹角为θ，由向量数量积的几何意义有|a|cos θ·|b|＝12，所以|a|cos θ＝＝，即向量a在向量b上的投影为.
6．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由已知得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因此λ＝，故选B.
7．设点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为( )
A．(2，16) B．(－2，－16)
C．(4，16) D．(2，0)
解析：选A.设D(x，y)，由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3，1)，＝(1，－4)．所以2－3＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以解得故选A.
8．若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
解析：选C.由＋＝0，即＝，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(－)·＝0，即·＝0，可得⊥，所以四边形一定是菱形，故选C.
9．对于非零向量m，n，定义运算“?”：m?n＝|m|×|n|×sin θ，其中θ为m，n的夹角．设a，b，c为非零向量，则下列结论错误的是( )
A．a?b＝b?a B．(a＋b)?c＝a?c＋b?c
C．若a?b＝0，则a∥b D．a?b＝(－a)?b
解析：选B.利用排除法．由题中新定义的运算结合向量的运算法则有：a?b＝|a|×|b|×sin θ＝|b|×|a|×sin θ＝b?a，A选项正确；若a?b＝|a|×|b|×sin θ＝0，则sin θ＝0，结合θ∈[0，π]可得θ＝0或θ＝π，均有a∥b，C选项正确；a?b＝|a|×|b|×sin θ＝|－a|×|b|×sin(π－θ)＝(－a)?b，D选项正确．
10．在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，BC＝2，则·＝( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
解析：选C.·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝4－6＝－2.
11．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B.由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.
12．在△ABC中，点D满足BD＝BC，当E点在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝(λ－1)2＋μ2的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.如图所示，存在实数m使得＝m(0≤m≤1)，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以＝m＝＋，所以所以t＝(λ－1)2＋μ2＝＋＝m2－＋1＝＋，所以当m＝时，t＝(λ－1)2＋μ2取得最小值.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：因为λa＋b与a＋2b平行，
所以λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb，又向量a，b不平行，
所以所以
答案：
14．如图，已知两个力F1，F2的大小和方向，则合力的大小为________N；若在图示坐标系中用坐标表示合力，则合力的坐标为________．
解析：因为F1＝(2，3)，F2＝(3，1)，
所以合力F＝F1＋F2＝(2，3)＋(3，1)＝(5，4)，
所以合力的大小为＝(N)．
答案： (5，4)
15．已知非零向量a＝(t，0)，b＝(－1，)，若a＋2b与a的夹角等于a＋2b与b的夹角，则t＝________．
解析：由题设得＝，所以|b|(|a|2＋2b·a)＝|a|(a·b＋2|b|2)，将a＝(t，0)，b＝(－1，)代入整理得2t2＋t·|t|＝8|t|＋4t，当t>0时，3t2＝12t，所以t＝4；当t<0时，t2＝－4t，所以t＝－4.综上，t的值为4或－4.
答案：4或－4
16．(2019·湖南株洲市检测)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝2，则的模为________．
解析：因为在平行四边形ABCD中，＝＋＝－，又＝，＝，所以＝－，所以·＝·＝·－2＝||||cos 60°－||2＝||－1＝2，所以||＝12.
答案：12
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，
(1)c∥d；
(2)c⊥d.
解：由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.
(1)当c∥d时，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．
所以3λ＝5，且kλ＝3，所以k＝.
(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.
所以15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，
所以k＝－.
18．(本小题满分12分)已知向量a＝(1，3)，b＝(m，2)，c＝(3，4)，且(a－3b)⊥c.
(1)求实数m的值；
(2)求向量a与b的夹角θ.
解：(1)因为a＝(1，3)，b＝(m，2)，c＝(3，4)．
所以a－3b＝(1，3)－(3m，6)＝(1－3m，－3)．
因为(a－3b)⊥c，
所以(a－3b)·c＝(1－3m，－3)·(3，4)
＝3(1－3m)＋(－3)×4＝－9m－9＝0，
解得m＝－1.
(2)由(1)知a＝(1，3)，b＝(－1，2)，
所以a·b＝5，
所以cos θ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
19．(本小题满分12分)如图，已知A，B，C为直角坐标系xOy中的三个定点．
(1)若点D为?ABCD的第四个顶点，求||；
(2)若点P在直线OC上，且·＝4，求点P的坐标．
解：(1)因为A(5，3)，B(1，－3)，C(－2，2)，所以＝(4，6)，＝(－3，5)，所以||＝|＋|＝＝.
(2)因为点P在直线OC上，所以可设＝λ＝(－2λ，2λ)，
所以＝(5＋2λ，3－2λ)，＝(1＋2λ，－3－2λ)，
所以·＝(5＋2λ)(1＋2λ)＋(3－2λ)(－3－2λ)＝4，解得λ＝或－2.
故点P的坐标为(－1，1)或(4，－4)．
20．(本小题满分12分)已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且＝，＝.
(1)求E，F的坐标；
(2)判断与是否共线．
解：(1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)．依题意得＝(2，2)，＝(－2，3)．由＝可知(x1＋1，y1)＝(2，2)，
即解得
所以E的坐标为
由＝可知(x2－3，y2＋1)＝(－2，3)，
即解得
所以F的坐标为
故E点的坐标为，F点的坐标为.
(2)由(1)可知＝－＝，又＝(4，－1)，
所以＝(4，－1)＝，
故与共线．
21．(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
解：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得＝k，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以解得k＝－，λ＝－.
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．
(3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以＝.设A(x，y)，则＝(3－x，5－y)．因为＝(－7，－2)，所以解得即点A的坐标为(10，7)．
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，点A，B，锐角α的终边与单位圆O交于点P.
(1)当·＝－时，求α的值；
(2)在x轴上是否存在定点M，使得||＝||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意知P(cos α，sin α)．
＝，＝，
·＝＋sin2α＝cos2α－cos α－＋sin2α＝－cos α，
因为·＝－，所以－cos α＝－，即cos α＝.
又α为锐角，所以α＝.
(2)存在．设M(m，0)，
则||2＝＋sin2α＝1＋cos α＋＝cos α＋，||2＝(cos α－m)2＋sin2α＝1－2mcos α＋m2，
因为||＝||，
所以cos α＋＝(1－2mcos α＋m2)，
所以cos α＋1－＝0对任意的α∈恒成立，所以，所以m＝－2，
即点M的横坐标为－2.
