课件35张PPT。第三章 概率第三章 概率等可能的相等用随机模拟法估计长度型的概率与面积有关的几何概型用随机模拟法求解不规则图形的面积本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 [A 基础达标]
1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则( )
A．m>n B．m
C．m＝n D．m是n的近似值
解析：选D.随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．
2．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5 cm的圆，中间有边长为0.5 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由题意知所求的概率为P＝＝.
3．设一直角三角形两直角边的长均是区间[0，1]上的随机数，则斜边的长小于1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设两直角边分别为x，y，则x，y满足x∈[0，1]，y∈[0，1]，则P(x2＋y2＜1)＝.
4．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是( )
A．一样大 B．蓝白区域大
C．红黄区域大 D．由指针转动圈数决定
解析：选B.指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝白区域大．
5．为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可估计阴影部分的面积是 ( )
A．12 B．9
C．8 D．6
解析：选B.易得正方形的面积为6×6＝36，设阴影部分的面积为S，则≈，即S≈×36＝9.
6.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是________．
解析：设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为＝.
答案：
7．将[0，1]上的均匀随机数a1转化为[－2，6]上的均匀随机数a，需要实施的变换为a＝________．
解析：设实施的变换为a＝ka1＋b，则有解得故实施的变换为a＝8a1－2.
答案：8a1－2
8.已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD内，如果通过大量的试验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为________．
解析：设米粒落入△BCD内的频率为P1，米粒落入△BAD内的频率为P2，点C和点A到直线BD的距离分别为d1，d2.
根据题意：P2＝1－P1＝1－＝.
又因为P1＝＝，
P2＝＝，
所以＝＝.
答案：
9．如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆(圆心为正方形木板的中心)，半径分别为2 cm、4 cm、6 cm，某人站在离木板3 m处向此板投镖．设投镖击中边界线或没有投中木板时都不算，可重投，请用随机模拟的方法计算：
(1)镖落在大圆内的概率；
(2)镖落在小圆与中圆围成的圆环内的概率；
(3)镖落在大圆之外的概率．
解：记事件A＝{镖落在大圆内}，事件B＝{镖落在小圆与中圆围成的圆环内}，事件C＝{镖落在大圆之外}．
①用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND；
②进行伸缩和平移变换，a＝[8－(－8)]a1－8，b＝[8－(－8)]b1－8得到两组[－8，8]上的均匀随机数；
③统计镖落在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2<36的点(a，b)的个数)，镖落在小圆与中圆围成的圆环内的次数N2(即满足4④计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，fn(C)＝，即概率P(A)，P(B)，P(C)的近似值．
10．设点M(x，y)在区域{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上均匀分布出现，求：
(1)x＋y≥0的概率；
(2)x＋y<1的概率；
(3)x2＋y2≥1的概率．
解：如图，满足|x|≤1，|y|≤1的点(x，y)组成一个边长为2的正方形(ABCD)区域(含边界)，S正方形ABCD＝4.
(1)x＋y＝0的图象是直线AC，满足x＋y≥0的点在AC的右上方(含AC)，即在△ACD内(含边界)，而S△ACD＝·S正方形ABCD＝2，
所以P(x＋y≥0)＝＝.
(2)设E(0，1)、F(1，0)，则x＋y＝1的图象是EF所在的直线，满足x＋y<1的点在直线EF的左下方，即在五边形ABCFE内(不含边界EF)，而S五边形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－＝，
所以P(x＋y<1)＝＝＝.
(3)满足x2＋y2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O，S⊙O＝π，所以P(x2＋y2≥1)＝＝.
[B 能力提升]
11．(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)把[0，1]内的均匀随机数x分别转化为[0，2]和[－2，1]内的均匀随机数y1，y2，需实施的变换分别为( )
A．y1＝－2x，y2＝－3x＋2
B．y1＝－4x，y2＝－6x＋4
C．y1＝2x，y2＝3x－2
D．y1＝4x，y2＝6x－2
解析：选C.将[0，1]内的均匀随机数x转化为[0，2]内的均匀随机数，区间长度变为原来的2倍，
因此设y1＝2x＋b1(b1是常数)，
再用两个区间中点的对应值，得当x＝时，y1＝1，所以1＝2×＋b1，可得b1＝0.
因此x与y1的关系为y1＝2x；
将[0，1]内的均匀随机数x转化为[－2，1]内的均匀随机数，区间长度变为原来的3倍，
因此设y2＝3x＋b2(b2是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当x＝时，y2＝－，
所以－＝3×＋b2，可得b2＝－2，因此x与y2的关系为y2＝3x－2.故选C.
12．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)
解析：设小王到校时间为x，小张到校时间为y，则小张比小王至少早到5分钟时满足x－y≥5.如图，原点O表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为×15×15＝，故所求概率为P＝＝.
答案：
13．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．
(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4 h，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；
(2)如果甲船的停泊时间为4 h，乙船的停泊时间为2 h，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．
解：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x，y，
则0≤x≤24，0≤y≤24，|y－x|≥4，
分别作出区域D1，D2，
其中D1：
D2：
D1为正方形区域，D2为图(1)中的阴影部分，设“两船不需要等待码头空出”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)设“两船不需等待码头空出”为事件B，则区域D3：y－x>4或x－y>2为如图(2)所示的阴影部分，
则P(B)＝＝.
14．(选做题)在正方形中随机撒一把豆子，通过观察落在其内切圆内豆子的数目，用随机模拟的方法可计算圆周率π的近似值(如图)．
(1)用两个均匀随机数x，y构成的一个点的坐标(x，y)代替一颗豆子，请写出随机模拟法的方案；
(2)以下程序框图用以实现该模拟过程，请将它补充完整．(注：rand( )是计算机在Excel中产生[0，1]区间上的均匀随机数的函数)
解：(1)具体方案如下：
①利用计算器产生两组[0，1]区间上的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；
②经过平移和伸缩变换，x＝2(x1－0.5)，y＝2(y1－0.5)；
③统计试验总次数N和落在内切圆内的点数N1(满足条件x2＋y2≤1的点(x，y)的个数)；
④计算频率，即为点落在圆内的概率的近似值；
⑤ 设圆的面积为S，由几何概型概率公式得点落在圆内部分的概率为P＝.
所以≈，所以S≈，即为圆的面积的近似值．
又S＝πr2＝π，所以π＝S≈，即为圆周率的近似值．
(2)由题意，第一个判断框中应填x2＋y2≤1？，其下的处理框中应填m＝m＋1，跳出循环体后的处理框中应填P＝.
