课件53张PPT。第三章 概率互斥事件与对立事件的概率及应用古典概型、几何概型概率与统计的综合问题概率问题中的数学思想方法本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 [A 基础达标]
1．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个容量为10的样本进行研究，则女同学甲被抽到的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为在分层抽样中，任何个体被抽到的概率均相等，所以女同学甲被抽到的概率P＝＝，故应选C.
2．某人射击4枪，命中3枪，3枪中后2枪连中的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.4枪命中3枪共有4种可能，其中后2枪连中有3种可能，所以P＝.
3．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log(x＋)≤1”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.不等式－1≤log(x＋)≤1可化为log2≤log(x＋)≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由几何概型的概率公式得P＝＝.
4．一个笼子里有3只白兔，2只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设3只白兔分别为b1，b2，b3，2只灰兔分别为h1，h2，则所有可能的情况有(b1，h1)，(b1，h2)，(b2，h1)，(b2，h2)，(b3，h1)，(b3，h2)，(h1，b1)，(h2，b1)，(h1，b2)，(h2，b2)，(h1，b3)，(h2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b1)，(b2，b3)，(b3，b1)，(b3，b2)，(h1，h2)，(h2，h1)，共20种，其中符合一只是白兔，另一只是灰兔的情况有12种，
所以所求概率为＝.
5．设l是过点A(1，2)且斜率为k的直线，其中k等可能地从－1，－，0，，，，2，3中取值，则原点到直线l的距离大于1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.l：y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
由题意得>1，所以k2－4k＋4>1＋k2，
所以k<，即当k<时，事件“原点到直线l的距离大于1”发生，所以P＝.
6．在一棱长为6 cm的密闭的正方体容器内，自由漂浮着一气泡(大小忽略不计)，则该气泡距正方体的顶点不小于1 cm的概率为________．
解析：距离顶点小于1 cm的所有点对应的区域可构成一个半径为1 cm的球，其体积为，正方体的体积为216，故该气泡距正方体的顶点不小于1 cm 的概率为1－.
答案：1－
7．如图，沿“田”字形的路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C的概率是________．
解析：按要求从A往N走，且只能向右或向下走，所有可能的走法有：A→D→S→J→N，A→D→C→J→N，A→D→C→M→N，A→B→C→J→N，A→B→C→M→N，A→B→F→M→N，共6种，其中经过点C的走法有4种，所以所求概率P＝＝.
答案：
8．(2019·四川省棠湖中学期末考试)已知A，B，C三个班共有学生100人，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获取了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)．
A班
6
6.5
7
B班
6
7
8
C班
5
6
7
8
(1)试估计C班学生人数；
(2)从A班和B班抽出来的学生中各选一名，记A班选出的学生为甲，B班选出的学生为乙，若学生锻炼相互独立，求甲的锻炼时间大于乙的锻炼时间的概率．
解：(1)由分层抽样可得C班人数为100×＝40(人)．
(2)记从A班选出学生的锻炼时间为x，从B班选出学生的锻炼时间为y，则所有(x，y)为(6，6)，(6，7)，(6，8)，(6.5，6)，(6.5，7)，(6.5，8)，(7，6)，(7，7)，(7，8)共9种情况；
而满足x>y的有(6.5，6)，(7，6)2种情况，
所以所求概率P＝.
9．(2019·广东省东莞市调研测试)某电商在双十一搞促销活动，顾客购满5件获得积分30分(不足5件不积分)，每多买2件再积20分(不足2件不积分)，比如某顾客购买了12件，则可积90分．为了解顾客积分情况，该电商在某天随机抽取了1 000名顾客，统计了当天他们的购物数额，并将样本数据分为[3，5)，[5，7)，[7，9)，[9，11)，[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]九组，整理得到如图频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)从当天购物数额在[13，15)，[15，17)的顾客中按分层抽样的方法抽取6人．那么，从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于240分的概率．
解：(1)各组的频率分别为0.04，0.06，2a，2a，6a，0.2，2a，0.08，0.02，
所以0.04＋0.06＋2a＋2a＋6a＋0.2＋2a＋0.08＋0.02＝1，
化简得12a＝0.6，
解得a＝0.05.
(2)按分层抽样的方法在[13，15)内应抽取4人，记为A，B，C，D，每人的积分是110分；
在[15，17)内应抽取2人，记为a，b，每人的积分是130分；
从6人中随机抽取2人，有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15种方法，
其中这2人的积分之和不少于240分的有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab共9种方法；
所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的概率为P＝＝.
[B 能力提升]
10．在等腰Rt△ABC的斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.如图，在AB上截取AC′＝AC，于是P(AM＜AC)＝＝＝，所以AM的长小于AC的长的概率为.
11．(2019·湖南省衡阳市第一中学期末考试)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．
解析：设正方形的面积是1，结合图象，阴影部分和大三角形的面积相等，从而阴影部分占正方形的，故满足条件的概率P＝.
答案：
12．(2019·广西玉林市期末考试)已知集合M＝{(x，y)|x∈[0，2]，y∈[－1，1]}．
(1)若(x，y)∈M，且x，y为整数，求x＋y≥0的概率；
(2)若(x，y)∈M，求x＋y≥0的概率．
解：(1)设“x＋y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x＝0，1，2；y∈[－1，1]，即y＝－1，0，1.
则基本事件有：(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)共9个，其中满足的基本事件有8个，
所以P(A)＝.
故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为.
(2)设“x＋y≥0，x，y∈R”为事件B，因为x∈[0，2]，y∈[－1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．
所以P(B)＝＝＝＝，
故“x，y∈R，x＋y≥0”的概率为.
13．(选做题)(2019·安徽省安庆市期末考试)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400)(单位：克)中，经统计的频率分布直方图如图所示．
(1)估计这组数据平均数；
(2)现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；
(3)某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以9元/千克收购；
方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．
解：(1)由频率分布直方图知，这组数据的平均数
≈ 0.07×125＋0.15×175＋0.20×225＋0.30×275＋0.25×325＋0.03×375＝255.
(2)利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为a1，a2，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为b1，b2，b3；
从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)．
记事件A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则A有4种不同组合：
(a1，a2)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，
从而P(A)＝＝，
故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为.
(3)方案①收入：y1＝×10 000×9＝×10 000×9＝22 950(元)；
方案②：低于250克的芒果收入为(0.07＋0.15＋0.2)×10 000×2＝8 400(元)；
不低于250克的芒果收入为(0.25＋0.3＋0.03)×10 000×3＝17 400(元)；
故方案②的收入为y2＝84 00＋17 400＝25 800(元)．
由于22 950<25 800，所以选择方案②获利多．
章末综合检测(三)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；
③“明天天津市要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.①④正确．
2．(2019·黑龙江省大庆中学月考)袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红、黑球各一个
D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
解析：选C.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立；
在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；
在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；
在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；故选C.
3．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数m，则事件“3m－2>0”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为事件3m－2>0发生的概率为P＝＝，故选A.
4．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A，则P(A)＝＝.
5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为＝.故选C.
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有9个，其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有3个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为＝.
7．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为＝.
8．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设AC＝x cm，0＜x＜12，则CB＝(12－x) cm，要使矩形面积大于20 cm2，只要x(12－x)＞20，则x2－12x＋20＜0，2＜x＜10，所以所求概率为P＝＝，故选C.
9．小明通过做游戏的方式来确定周末的活动，他随机往单位圆内投掷一颗弹珠(大小忽略)，若弹珠到圆心的距离大于，则周末去逛公园；若弹珠到圆心的距离小于，则去踢足球；否则，在家看书．则小明周末不在家看书的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意画出示意图，如图所示．表示小明在家看书的区域如图中阴影部分所示，则他在家看书的概率为＝，因此他不在家看书的概率为1－＝，故选C.
10．小莉与小明一起用A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选C.根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有6种可能性，则(x，y)的情况有36种，即P点有36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共3个，因此满足条件的概率为＝.
11．如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件A)的概率为，取到方片牌(事件B)的概率是，则取到红色牌(事件C)的概率和取到黑色牌(事件D)的概率分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选A.因为C＝A＋B，且A，B不会同时发生，即A，B是互斥事件，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
又C，D是互斥事件，且C＋D是必然事件，
所以C，D互为对立事件，则P(D)＝1－P(C)＝1－＝.
12．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.记3个红球分别为a1，a2，a3，2个白球分别为b1，b2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的基本事件有(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10个．由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件表示“所取的3个球中没有白球”，则事件包含的基本事件有1个：(a1，a2，a3)．
所以P()＝.
故P(A)＝1－P()＝1－＝.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________．
解析：显然m>2，由几何概型知＝，得m＝3.
答案：3
14．(2019·广西玉林市期末考试)在区间(0，1)中随机取出两个数，则两数之和小于的概率是________．
解析：设取出的两个数为x，y，则，若这两数之和小于，则有，根据几何概型，原问题可以转化为求不等式组表示的区域与表示区域的面积之比问题，如图所示．
易得其概率为＝＝.
答案：
15．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
解析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种．
甲，乙相邻而站有(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共4种．
所以甲，乙两人相邻而站的概率为＝.
答案：
16．袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．
解析：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为，设白球个数为x，则黑球个数为5－x，那么，可知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为.
答案：
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率．
(1)所得的三位数大于400；
(2)所得的三位数是偶数．
解：1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数．
(1)大于400的三位数的个数为4，所以P＝＝.
(2)三位数为偶数的有156，516，共2个，
所以相应的概率为P＝＝.
18．(本小题满分12分)(2019·湖北省荆州中学期末考试)某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A，B，C刚好是边长为3 cm的等边三角形的三个顶点．
(1)第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击(不会打到△ABC外)，则此次射击的着弹点距A，B，C的距离都超过1 cm的概率为多少？(弹孔大小忽略不计)
(2)该运动员前三次射击的成绩(环数)都在区间[7.5，8.5)内，调整一下后，又连打三枪，其成绩(环数)都在区间[9.5，10.5)内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩(记为a和b)进行技术分析．求事件“|a－b|>1”的概率．
解：(1)因为着弹点若与A，B，C的距离都超过1 cm，
则着弹点就不能落在分别以A，B，C为中心，半径为1 cm 的三个扇形区域内，
只能落在图中阴影部分内．
因为S△ABC＝×3×3sin 60°＝，
图中阴影部分的面积为S′＝S△ABC－3××12×＝－，
故所求概率为P＝＝1－.
(2)前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y2，y3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x1，y3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x2，y3)，(x3，y1)，(x3，y2)，(x3，y3)，共15个，其中可使|a－b|>1发生的是后9个基本事件，
故P(|a－b|>1)＝＝.
19．(本小题满分12分)(2018·高考北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.
故所求概率为＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1
＝56＋10＋45＋50＋160＋51
＝372.
故所求概率估计为1－＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
20．(本小题满分12分)(2019·河北省枣强中学期末考试)质量监督局检测某种产品的三个质量指标x，y，z，用综合指标Q＝x＋y＋z核定该产品的等级．若Q≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x，y，z)
(1，1，2)
(2，1，2)
(2，2，2)
(1，3，1)
(1，2，3)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x，y，z)
(1，2，2)
(2，3，1)
(3，2，1)
(1，1，1)
(2，1，1)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率．
解：(1)计算10件产品的综合指标Q，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
Q
4
5
6
5
6
5
6
6
3
4
其中Q≤5的有A1，A2，A4，A6，A9，A10共6件，
故该样本的一等品率为＝0.6，
从而估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A4)，(A1，A6)，(A1，A9)，(A1，A10)，(A2，A4)，(A2，A6)，(A2，A9)，(A2，A10)，(A4，A6)，(A4，A9)，(A4，A10)，(A6，A9)，(A6，A10)，(A9，A10)共15种．
在该样本的一等品中，综合指标均满足Q≤4的产品编号分别为A1，A9，A10，
则事件B发生的所有可能结果为(A1，A9)，(A1，A10)，(A9，A10)共3种，
所以P(B)＝＝.
21．(本小题满分12分)(2019·辽宁省凌源三校联考)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20，45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(第一～五组区间分别为[20，25)，[25，30)，[30，35)，[35，40)，[40，45])．
(1)求选取的市民年龄在[40，45]内的人数；
(2)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中做重点发言，求做重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35，40)内的概率．
解：(1)由题意可知，年龄在[40，45]内的频率为P＝0.02×5＝0.1，
故年龄在[40，45]内的市民人数为200×0.1＝20.
(2)易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3∶2，
所以用分层抽样的方法在第3，4两组市民抽取5名参加座谈，应从第3，4组中分别抽取3人，2人．
记第3组的3名市民分别为A1，A2，A3，第4组的2名市民分别为B1，B2，
则从5名中选取2名做重点发言的所有情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共有10种．
其中第4组的2名B1，B2至少有一名被选中的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共有7种，
所以至少有一人的年龄在[35，40)内的概率为.
22．(本小题满分12分)(2019·安徽省黄山市期末考试)如图，森林的边界是直线l，图中阴影部分是与l垂直的一道铁丝网，兔子和狼分别位于草原上点A和点B处，其中AB＝BC＝1 km，现兔子随机的沿直线AD，以速度2v准备越过森林边界l逃入森林，同时，狼沿线段BM以速度v进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M处，狼就会吃掉兔子，某同学为了探究兔子能否逃脱狼的追捕，建立了平面直角坐标系xCy(如图)，并假设点M的坐标为(x，y)．
(1)求兔子的所有不幸点M(即可能被狼吃掉的地方)组成的区域的面积S；
(2)若兔子随机沿与AC成锐角θ(θ＝∠CAD)的路线越过l向森林逃跑，求兔子能够逃脱的概率．
解：(1)如图所示，狼要想吃掉兔子，就必须先到达M点或与兔子同时到达M点，
即有：t狼＝≤t兔＝.
化简得2|BM|≤|AM|，
即2≤，
两边平方并整理得3x2＋3y2－4y≤0.
即x2＋≤.
所以，兔子的所有不幸点构成的区域为半圆及其内部．
所以S＝π·＝π.
(2)如图，过点A作半圆P：x2＋＝的切线，切点为F，
在Rt△APF中，sin∠PAF＝＝＝，所以∠PAF＝.
兔子要想不被狼吃掉，则不能沿∠CAF以内的方向跑．则θ∈.
又θ∈，
故兔子能逃脱的概率是P＝÷＝.
