[A 基础达标]
1．(2019·四川省宜宾市教学质量监测)在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减8后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．平均数 B．标准差
C．众数 D．中位数
解析：选B.A样本数据为42，43，46，52，42，50，其平均数为＝，众数为42，中位数为＝，由题可得，B样本数据为34，35，38，44，34，42，其平均数为＝，众数为34，中位数为＝，所以A、B两样本的下列数字特征：平均数，众数，中位数都不同．故选B.
2．(2019·广东省惠州市期末考试)某班有50名学生，男女人数不相等．随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如图所示，则下列说法一定正确的是( )
A．这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差
B．这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数
C．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
D．这种抽样方法是一种分层抽样
解析：选A.5名男生成绩的平均数为＝90，
5名女生成绩的平均数为＝91，
这5名男生成绩的方差为×(22＋42＋22＋42)＝8，女生成绩的方差为×(22×3＋32×2)＝6，男生方差大于女生方差，所以男生标准差大于女生标准差，所以A对；
这5名男生成绩的中位数是90, 5名女生成绩的中位数为93，所以B错；
该班男生和女生成绩的平均数可通过样本估计，但不能通过样本计算得到平均数准确值，所以C错；若抽样方法是分层抽样，因为男生女生不等，所以分别抽取的人数不等，所以D错．故选A.
3．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解析：选C.由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．
4．(2019·河南省信阳高级中学期末考试)某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是( )
A．70和50 B．70和67
C．75和50 D．75和67
解析：选B.设更正前甲、乙、…的成绩依次为a1，a2，…，a50，
则a1＋a2＋…＋a50＝50×70，即60＋90＋a3＋…＋a50＝50×70，
(a1－70)2＋(a2－70)2＋…＋(a50－70)2＝50×75，
即102＋202＋(a3－70)2＋…＋(a50－70)2＝50×75，
更正后平均分为＝×(80＋70＋a3＋…＋a50)＝70；
方差为s2＝×[(80－70)2＋(70－70)2＋(a3－70)2＋…＋(a50－70)2]
＝×[100＋(a3－70)2＋…＋(a50－70)2]＝×[100＋50×75－102－202]＝67.
故选B.
5．(2019·江西省上饶市期末统考)甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮，每轮甲、乙各投篮10次，投篮命中次数的情况如图所示(实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图)，则以下说法错误的是( )
A．甲投篮命中次数的众数比乙的小
B．甲投篮命中次数的平均数比乙的小
C．甲投篮命中次数的中位数比乙的大
D．甲投篮命中的成绩比乙的稳定
解析：选B.由折线图可知，甲投篮5轮，命中的次数分别为5，8，6，8，8，
乙投篮5轮，命中的次数分别为3，7，9，5，9，
则甲投篮命中次数的众数为8，乙投篮命中次数的众数为9，所以A正确；
甲投篮命中次数的平均数为7，乙投篮命中次数的平均数为6.6，所以B不正确；
甲投篮命中次数的中位数为8，乙投篮命中次数的中位数为7，所以C正确；
甲投篮命中次数的数据集中在平均数的左右，方差较小，乙投篮命中次数的数据比较分散，方差较大，所以甲的成绩更稳定一些，所以D正确．
故选B.
6．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)
解析：分析表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙．
答案：丙
7．(2019·陕西省西安市长安区第一中学期末考试)一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据中的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是________，方差是________．
解析：设该组数据为x1，x2，…，xn；则新数据为x1＋20，x2＋20，…，xn＋20；
因为＝＝28，
所以′＝＝20＋28＝48.
因为s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，
所以s′2＝[(x1＋20－(＋20))2＋(x2＋20－(＋20))2＋…＋(xn＋20－(＋20))2]＝s2＝4.
答案：48 4
8．(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本平均数为1，则样本方差为________．
解析：因为样本的平均数为1，所以×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.
所以样本的方差为
×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
答案：2
9．甲、乙两种冬小麦实验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/km2)：
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
若某村要从中引进一种冬小麦大量种植，给出你的建议．
解：由题意得甲＝乙＝10.
s＝×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，
s＝×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，
甲、乙两种冬小麦的平均产量都等于10，且s＜s，所以产量比较稳定的为甲种冬小麦，推荐引进甲种冬小麦大量种植．
10．为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图：
(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，2，估计1－2 的值．
解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n.
由题意知＝0.05，解得n＝600.
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－＝.
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为1′，2′.
根据样本茎叶图可知30(1′－2′)＝301′－302′
＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92
＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.
因此1′－2′＝0.5.故1－2的估计值为0.5分．
[B 能力提升]
11．(2019·湖南省张家界市期末联考)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9，(x，y∈N)，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A.由这组数据的平均数为10，方差为2可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，因为不要直接求出x、y，只要求出|x－y|，设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8得t2＝4；所以|x－y|＝2|t|＝4.故选A.
12．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万， 被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为( )
A．s＝s1 B．s＜s1
C．s＞s1 D．不能确定
解析：选C.由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，
则s＝
，
s1＝
.
若比较s与s1的大小，只需比较(15－)2＋(23－)2与(20－)2＋(18－)2的大小即可．而(15－)2＋(23－)2＝754－76＋22，(20－)2＋(18－)2＝724－76＋22，所以(15－)2＋(23－)2＞(20－)2＋(18－)2.从而s＞s1.
13．为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：
第一档
第二档
第三档
每户每月用电量
(单位：度)
[0，200]
(200，400]
(400，＋∞)
电价(单位：元/度)
0.61
0.66
0.91
例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65＝266.5(元)，若采用阶梯电价收费标准，应交电费200×0.61＋(400－200)×0.66＋(410－400)×0.91＝263.1(元)．
为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户居民的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.
组别
月用电量
频数统计
频数
频率
①
[0，100]
②
(100，200]
③
(200，300]
④
(300，400]
⑤
(400，500]
⑥
(500，600]
合计
(1)完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；
(2)根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
(3)设某用户11月用电量为x度(x∈N)，按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y2，并求当y2≤y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？
解：(1)频率分布表如下：
组别
月用电量
频数统计
频数
频率
①
[0，100]
4
0.04
②
(100，200]
12
0.12
③
(200，300]
24
0.24
④
(300，400]
30
0.3
⑤
(400，500]
26
0.26
⑥
(500，600]
4
0.04
合计
100
1
频率分布直方图如图：
(2)该100户用户11月的平均用电量
＝50×0.04＋150×0.12＋250×0.24＋350×0.3＋450×0.26＋550×0.04＝324(度)，
所以估计全市住户11月的平均用电量为324度．
(3)y1＝0.65x，
y2＝.
由y2≤y1得或
或，
解得x≤≈423.1.
因为x∈N，故x的最大值为423.
根据频率分布直方图，x≤423时的频率为0.04＋0.12＋0.24＋0.3＋23×0.002 6＝0.759 8>0.75，
故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠．
14．(选做题)某工厂36名工人的年龄数据如下表．
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
11
31
20
43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
42
36
39
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；
(3)36名工人中年龄在－s与＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?
解：(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，根据题意，所抽取工人编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34，相应工人的年龄数据为44，40，36，43，36，37，44，43，37.
(2)样本均值＝×(44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37)＝40.
样本方差s2＝×[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝×[42＋02＋(－4)2＋32＋(－4)2＋(－3)2＋42＋32＋(－3)2]＝.
(3)由于＝40，s＝＝≈3.33，36名工人中年龄在－s≈36.67与＋s≈43.33之间有23人，所占比例为≈63.89%.
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