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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(二十四)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（二十四） 直线与圆的位置关系
一、题组对点训练
对点练一 直线与圆的位置关系
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
解析：选D 圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，02．直线l: y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的关系是( )
A．相离 B．相切或相交
C．相交 D．相切
解析：选C l过定点A(1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上，∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，∴l与圆一定相交，故选C.
3．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
解：圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝，
圆的半径r＝2.
(1)若相交，则d所以m∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
(2)若相切，则d＝r，即＝2，
所以m＝±2.
(3)若相离，则d>r，即>2，
所以m∈(－2，2)．
对点练二 圆的切线问题
4．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
解析：选D 圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
5．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2
C. D．3
解析：选C 因为切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离为d＝＝2，圆的半径为1，所以切线长的最小值为＝＝，故选C.
6．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
解析：设切线斜率为k，则由已知得： k·kOP＝－1.
∴k＝－.∴切线方程为x＋2y－5＝0.
答案：x＋2y－5＝0
7．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A，B.求直线PA，PB的方程．
解：切线的斜率存在，设切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
圆心到直线的距离等于，即＝，
∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
故所求的切线方程为y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，
即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
对点练三 圆的弦长问题
8．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A．1 B. C. D．2
解析：选D 直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.
9.如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A交于M，N两点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
解：(1)设圆A的半径为r.
∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝－2，
易得|MN|＝2，符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
取MN的中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝2，
∴|AQ|＝＝1，
∴＝1，得k＝，
∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
二、综合过关训练
1．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．相交 D．不确定
解析：选C 由已知a2＋b2＞r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d＜r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交．
2．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
解析：选D 因为直线3x＋4y＝b与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，所以＝1?b＝2或12，故选D.
3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析：选B 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，则圆心(－1,1)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝.由22＋()2＝2－a，得a＝－4.
4．若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0
解析：选D 圆心是点C(1,0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，又直线AB过点P，所以直线AB的方程为x－y－3＝0.
5．过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是____________________．
解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k(x＋1)，则d＝＝2，解得k＝，此时，直线方程为： 4y－3x－27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知，符合题意．
答案：4y－3x－27＝0或x＝－1
6．直线l: y＝x＋b与曲线C: y＝有两个公共点，则b的取值范围是________．
解析：如图所示，y＝是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y＝x＋b是一个斜率为1的直线，要使两图有两个交点，连接A(－1,0)和B(0,1)，直线l必在AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l的b值，当直线l与AB重合时，b＝1；当直线l与半圆相切时，b＝.所以b的取值范围是[1，)．
答案：[1，)
7．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；
(2)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．
解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，
∴r＝2，
∴＝r＝2，
即|2a＋b＋15|＝10， ①
＝r＝2，
即|2a＋b－5|＝10， ②
又∵过圆心和切点的直线与切线垂直，
∴＝， ③
由①②③解得
∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
(2)将x＝3－2y代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，得5y2－20y＋12＋m＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系可知y1＋y2＝4，y1y2＝.
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0，而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2，∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝，
故＋＝0，解得m＝3.
此时Δ＞0，圆心坐标为，半径为.
8．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆C: x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为.
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋2＝2＋9.所以当x＝－时，|PC|＝9.
所以|AP|min＝＝2.
即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．
