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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(二十五)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测(二十五) 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用
一、题组对点训练
对点练一 圆与圆的位置关系
1.圆O1:x2+y2-4y+3=0和圆O2:x2+y2-16y=0的位置关系是( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.内含
解析:选D 因为r1=1,r2=8,|O1O2|==6,则|O1O2|<r2-r1.所以两圆内含.
2.若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(121,+∞)
C.[1,121] D.(1,121)
解析:选C x2+y2+6x-8y-11=0化成标准方程为(x+3)2+(y-4)2=36.圆心距为d==5,若两圆有公共点,则|6-|≤5≤6+,∴1≤m≤121.
3.两圆x2+y2=r2,(x-3)2+(y+1)2=r2外切,则正实数r的值是________.
解析:由题意得,2r==,即r=.
答案:
4.已知圆C:x2+y2-8x+15=0,直线y=kx+2上至少存在一点P,使得以点P为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的最小值是________.
解析:将圆C的方程化为标准方程,得(x-4)2+y2=1,故圆心为C(4,0),半径r=1.又直线y=kx+2上至少存在一点P,使得以点P为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,所以点C到直线y=kx+2的距离小于或等于2,即≤2,解得-≤k≤0,所以实数k的最小值是-.
答案:-
5.求与圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1)且半径为1的圆的方程.
解:设所求圆的圆心为P(a,b),则=1. ①
(1)若两圆外切,则有=1+2=3, ②
联立①②,解得a=5,b=-1,所以,所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1;
(2)若两圆内切,则有=|2-1|=1, ③
联立①③,解得a=3,b=-1,所以,所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.
综上所述,所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.
对点练二 直线与圆的方程的应用
6.一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )
A.1.4米 B.3.5米
C.3.6米 D.2米
解析:选B 建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h,则A(0.8,h-3.6)所在圆的方程为: x2+(y+3.6)2=3.62,把A(0.8,h-3.6)代入得0.82+h2=3.62.
∴h=4≈3.5(米).
7.某公园有A、B两个景点,位于一条小路(直道)的同侧,分别距小路 km和2 km,且A、B景点间相距2 km,今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果,则观景点应设在何处?
解:所选观景点应使对两景点的视角最大.由平面几何知识知,该点应是过A、B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点.以小路所在直线为x轴,B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系.
由题意,得A(,),B(0,2),
设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2,由A、B两点在圆上,得或由实际意义知a=0,b=,
∴圆的方程为x2+(y-)2=2,切点为(0,0),
∴观景点应设在B景点在小路的投影处.
8.为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7 km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最短距离.
解:以O为坐标原点,过OB,OC的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,
则圆O的方程为x2+y2=1.因为点B(8,0),C(0,8),
所以直线BC的方程为+=1,即x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时,DE为最短距离.所以DE长的最小值为-1=(4-1) km.
二、综合过关训练
1.半径长为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为( )
A.(x-4)2+(y-6)2=6
B.(x±4)2+(y-6)2=6
C.(x-4)2+(y-6)2=36
D.(x±4)2+(y-6)2=36
解析:选D ∵半径长为6的圆与x轴相切,设圆心坐标为(a,b),则b=6(b=-6舍去).再由=5,可以解得a=±4,故所求圆的方程为(x±4)2+(y-6)2=36.
2.已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是( )
A.5 B.7
C.9 D.11
解析:选C 由题意知圆C1的圆心C1(-3,1),半径长r1=2;圆C2的圆心C2(1,-2),半径长r2=2.因为两圆的圆心距d==5>r1+r2=4,所以两圆相离,从而|MN|的最大值为5+2+2=9.故选C.
3.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.(x-5)2+(y-7)2=25
B.(x-5)2+(y-7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15
C.(x-5)2+(y-7)2=9
D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
解析:选D 设动圆圆心为(x,y),若动圆与已知圆外切,则=4+1,∴(x-5)2+(y+7)2=25;若动圆与已知圆内切,则=4-1,∴(x-5)2+(y+7)2=9.
4.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=( )
A.4 B.4
C.8 D.8
解析:选C ∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,
整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17.
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,
∴|C1C2|===8.
5.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=__________.
解析:由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y=,利用圆心(0,0)到直线的距离d===1,解得a=1.
答案:1
6.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圆C2:x2+y2+2x=0.
(1)当m=1时,判断圆C1和圆C2的位置关系;
(2)是否存在实数m,使得圆C1和圆C2内含?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)当m=1时,圆C1的方程为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心为C1(1,-2),半径长为r1=3,
圆C2的方程为(x+1)2+y2=1,圆心为C2(-1,0),半径长为r2=1,
两圆的圆心距d= =2,
又r1+r2=3+1=4,r1-r2=3-1=2,
所以r1-r2<d<r1+r2,所以圆C1和圆C2相交.
(2)不存在实数m,使得圆C1和圆C2内含.理由如下:
圆C1的方程可化为(x-m)2+(y+2)2=9,圆心C1的坐标为(m,-2),半径为3.
假设存在实数m,使得圆C1和圆C2内含,
则圆心距d=<3-1,
即(m+1)2<0,此不等式无解.
故不存在实数m,使得圆C1和圆C2内含.
7.一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?
解:以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图),其中取10 km为单位长度,
则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9,
港口所对应的点的坐标为(0,4),
轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),
则轮船航线所在直线l的方程为+=1,
即4x+7y-28=0.
圆心(0,0)到航线4x+7y-28=0的距离d==,而半径r=3,∴d>r,
∴直线与圆相离,即轮船不会受到台风的影响.