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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(二十六)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（二十六） 空间直角坐标系
一、题组对点训练
对点练一 空间直角坐标系的建立及坐标表示
1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．第一象限内
解析：选C 点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上．
2．在空间直角坐标系中，点P(4,3，－1)关于xOz平面的对称点的坐标是( )
A．(4，－3，－1) B．(4,3，－1)
C．(3，－4,1) D．(－4，－3,1)
解析：选A 过点P向xOz平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOz平面的对称点P′连线的中点，又N(4,0，－1)，所以对称点为P′(4，－3，－1)．
3．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．
解析：设中点坐标为(x0，y0，z0)，
则x0＝＝4，y0＝＝0，z0＝＝－1，
∴中点坐标为(4,0，－1)．
答案：(4,0，－1)
4．点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.
解析：点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(1,0，－1)，∴x＝1，y＝0，z＝－1，∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.
答案：0
5．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．
解：以A为坐标原点，射线AB，AD，
AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，则|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝|AB|＝，所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－＝.
所以点E的坐标为，点F的坐标为(1,2,1)．
6．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．
解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝，∴|DE|＝|CD|sin 30°＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos 60°＝1－＝，
∴点D的坐标为.
对点练二 空间两点间的距离
7．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4 B．6或2
C．3或－4 D．6或－2
解析：选D 由题意得＝2，解得x＝－2或x＝6.
8．在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．
解析：由A(3，－1,2)，中心M(0,1,2)，
所以C1(－3,3,2)．正方体体对角线长为|AC1|＝＝2，
所以正方体的棱长为＝.
答案：
二、综合过关训练
1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
A．9 B.
C．5 D．2
解析：选B 由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝.
2．点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )
A．2 B．4
C．2 D．2
解析：选B 点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，故|BC|＝ ＝4.
3.△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是( )
A. B．2
C. D．3
解析：选C BC的中点坐标为M(1,1,0)，又A(0,0,1)，
∴|AM|＝＝.
4．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设P(x，y，z)，由题意可知
∴x2＋y2＋z2＝，∴＝.
5．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点O的距离|PO|＝________.
解析：点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(1，b，－2)，所以点(a，－1，c－2)与点(1，b，－2)重合，所以a＝1，b＝－1，c＝0，所以|PO|＝＝.
答案：
6．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，F是BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝|CD|，E为C1G的中点，则EF的长为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D为坐标原点，由题意，得F，C1(0,1,1)，C(0,1,0)，G，则E.
所以|EF|＝
＝.
答案：
7．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．
解：如图所示，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，A1(0,0,2)．
∵N为CD1的中点，
∴N.
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，
∴M(1,1,2)．
由两点间距离公式，
得|MN|＝ ＝.
8．如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
解：以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，
由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0，1,2)，F(1,0,0)，
∴|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
