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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢阶段质量检测（四） 圆 与 方 程
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是( )
A．2 B．2
C．9 D.
解析：选D 由空间直角坐标系中两点间距离公式得：
|AB|＝＝.
2．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意得1＋1＋4m>0，解得m>－.
3．已知圆O以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．无法判断
解析：选B 点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝＝5，故点M在圆O上．
4．已知A(2,0)，B(1，－2)，则以AB为直径的圆的方程为( )
A.2＋(y－1)2＝
B.2＋(y＋1)2＝
C.2＋(y－1)2＝
D.2＋(y＋1)2＝
解析：选D 以AB为直径的圆的方程为(x－2)(x－1)＋(y－0)(y＋2)＝0，化简得x2＋y2－3x＋2y＋2＝0，即2＋(y＋1)2＝，故选D.
5．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A 依题意，直线l与圆C相切，则＝，解得k＝±1.又k＜0，所以k＝－1，于是直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝＝＜，所以直线l与圆D相交，故选A.
6．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－ B．1
C．2 D.
解析：选C 因为点P(2,2)为圆(x－1)2＋y2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直．因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k＝2，故过点P(2,2)的切线斜率为－，所以直线ax－y＋1＝0的斜率为2，因此a＝2.
7．一条光线从点A(－1,1)出发，经x轴反射到⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上，则光走过的最短路程为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选D A(－1,1)关于x轴的对称点B(－1，－1)，圆心C(2,3)，所以光走过的最短路程为|BC|－1＝4.
8．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为( )
A．x＝1 B．y＝1
C．x－y＋1＝0 D．x－2y＋3＝0
解析：选D 当CM⊥l，即弦长最短时，∠ACB最小，
∴kl·kCM＝－1，∴kl＝，
∴l的方程为： x－2y＋3＝0.
9．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为A(3,0)．因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝＝－，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
10．在平面直角坐标系中，圆M的方程为x2＋(y－4)2＝4，若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 依题意，圆M的圆心为M(0,4)，半径r＝2.若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则在直线上至少存在一点P，使得|MP|≤2＋2成立，又点M到直线的距离为，则≤4，解得m≤，故选D.
11．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解析：选A 设P(3,1)，圆心C(1,0)，切点为A、B，则P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径，∴四边形PACB的外接圆方程为(x－2)2＋2＝， ①
圆C：(x－1)2＋y2＝1， ②
①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．
12．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
解析：选A 由题意知，圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心分别为C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4，点C1(2，3)关于x轴的对称点为C(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．
解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，∴B1(a，b，c)．
答案：(a，b，c)
14．在平面直角坐标系中，若圆Q：x2＋y2－4ax＋2ay＋5a2－1＝0上所有的点都在第二象限内，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，圆Q的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝1，圆心为Q(2a，－a)，半径为r＝1.若圆Q上所有的点都在第二象限内，则解得a＜－1.
答案：(－∞，－1)
15．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
解析：依题意，知圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于×2＝，于是有＝，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±.
答案：4±
16．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．
答案：[－1,1]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，
(1)直线平分圆；
(2)直线与圆相切．
解：(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m＝0.
(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
∴d＝＝＝2，m＝±2.
即m＝±2时，直线l与圆相切．
18．(本小题满分12分)已知直线l1：x－y－1＝0，直线l2：4x＋3y＋14＝0，直线l3：3x＋4y＋10＝0，求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．
解：设圆心为C(a，a－1)，半径为r，
则点C到直线l2的距离d1＝＝.
点C到直线l3的距离d2＝＝.
由题意，得
解得a＝2，r＝5，即所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝25.
19．(本小题满分12分)一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，设圆的半径长为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1米后，可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得2x0＝2，即当水面下降1米后，水面宽2米．
20．(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.
(1)求圆H的标准方程；
(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；
(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上始终存在不同的两点M，N，使得M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．
解：(1)设圆H的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则由题意，可知解得
所以圆H的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.
(2)设圆心到直线l的距离为d，则1＋d2＝10，所以d＝3.
若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，则直线方程为x＝3，满足题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)＋2，
圆心到直线l的距离为d＝＝3，解得k＝，
所以直线l的方程为4x－3y－6＝0.
综上可知，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.
(3)由题意得0＜|CP|－r≤2r，即r＜|CP|≤3r恒成立，
所以
解得≤r＜.
于是圆C的半径r的取值范围为.
21．(本小题满分12分)已知圆C: x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．
解：把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.
(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件．
当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝－.
∴l的方程为y－3＝－(x－1)，
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，|PO|2＝x2＋y2.
∵|PM|＝|PO|，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，
整理，得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0，
22．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．
(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径．
(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．
解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．
因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.
由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，
解得a＝0或a＝4.
故⊙M的半径r＝2或r＝6.
(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．
理由如下：
设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.
由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，
所以存在满足条件的定点P.
