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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(二十二)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（二十二） 圆的标准方程
一、题组对点训练
对点练一 圆的标准方程
1．给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为( )
A．4x－y＝0 B．4x＋y＝0
C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0
解析：选B 由圆的标准方程，知圆心为(2，－8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0.
2．方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线x－y＝0对称 D．关于直线x＋y＝0对称
解析：选D 易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D.
3．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，则△ABC的外接圆方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y－2)2＝20 B．(x－2)2＋(y－2)2＝10
C．(x－2)2＋(y－2)2＝5 D．(x－2)2＋(y－2)2＝
解析：选C 易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r＝，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
4．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．
解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.
答案：(x＋2)2＋y2＝4
5．已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0,1)，半径r＝|AB|＝.
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)法一：直线AB的斜率k＝＝－3，
即线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心的坐标是C(3,2)．
∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.
∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则?
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
对点练二 点与圆的位置关系
6．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
解析：选A 把点P(m2,5)代入圆的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故点P在圆外．
7．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1＜a＜1.
答案：(－1,1)
8．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为________．
解析：∵|MA|＝＝5，
|MB|＝＝2，
|MC|＝＝，
∴|MB|＜|MA|＜|MC|，
∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，
∴圆的半径r＝|MA|＝5，
∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
答案：(x－3)2＋(y－4)2＝25
对点练三 与圆有关的最值问题
9．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：选B 由题意，知|PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为6－2＝4.
10．已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是________．
解析：由题意可得，圆C的圆心坐标为(2,4－m)，半径为1，圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即求d＝－1的最小值，当m＝4时，d最小，dmin＝1.
答案：1
二、综合过关训练
1．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为( )
A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4
B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4
C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－3)2＋y2＝4
解析：选A 已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，
∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.
2．圆心为C(－1,2)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝20
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x＋1)2＋(y－2)2＝20
解析：选C 因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r＝＝，又圆心为C(－1,2)，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故选C.
3．方程y＝表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
解析：选D y＝可化为x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆．
4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
解析：选C 直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.由得
∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
5．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．
解析：由可得x＝2，y＝4，
即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，
故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
6．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________．
解析：如图所示，设圆心C(a,0)，则圆心C到直线x＋2y＝0的距离为＝，解得a＝－5，a＝5(舍去)，
∴圆心是(－5,0)．故圆的方程是(x＋5)2＋y2＝5.
答案：(x＋5)2＋y2＝5
7．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．
解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.
又点T(－1,1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
(2)由解得点A的坐标为(0，－2)，
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2,0)，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又r＝|AM|＝＝2，
所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
8．(1)如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值；
(2)已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝，求的取值范围．
解：(1)法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时最大，过圆心A(2,0)作切线l的垂线交于B，
在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝.
∴切线l的倾斜角为60°，∴的最大值为.
同理可得的最小值为－.
法二：令＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立，
消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，
Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，
∴－≤n≤，即的最大值、最小值分别为、－.
(2)可以看成圆上的点P(x，y)到A(2,3)的距离．圆心C(0,1)到A(2,3)的距离为d＝＝2.
由图可知，圆上的点P(x，y)到A(2，3)的距离的范围是.
即 的取值范围是.
