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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(二十三)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（二十三） 圆的一般方程
一、题组对点训练
对点练一 圆的一般方程
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y－3)2＝16 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16
解析：选C 将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.
2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.
解析：选A 方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．
3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2 B.或
C．2或0 D．－2或0
解析：选C 由圆的方程得圆心坐标为(1,2)．再由点到直线的距离公式得＝，解得a＝2或a＝0.
4．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．
解析：∵r＝ ＝ ，∴当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
答案：(0，－1)
5．求过点(－1,1)，且圆心与已知圆x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圆心相同的圆的方程．
解：设所求的圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又圆x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圆心为(3,4)，依题意得解此方程组，可得
∴所求圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.
6．已知圆C: x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
解：圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－－1＝0，
即D＋E＝－2.①
又∵半径长r＝＝，
∴D2＋E2＝20.②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.
则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
对点练二 轨迹方程
7．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中心M的轨迹方程是________．
解析：设M的坐标为(x，y)，由题意可知圆心A为(2，－1)，P(2x－2,2y＋1)在圆上，故(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.
答案：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
8．已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．
解：设动点P的坐标为(x，y)，根据题意可知AP⊥OP.
当AP垂直于x轴时，P的坐标为(1,0)，此时x＝1；
当x＝0时，y＝0；
当x≠0，且x≠1时，有kAP·kOP＝－1，
∵kAP＝，kOP＝，
∴·＝－1，
即x2＋y2－x－2y＝0(x≠0，且x≠1)．
经检验，点(1,0)，(0,0)适合上式．
综上所述，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
二、综合过关训练
1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析：选B ∵圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1,2)，∴3x＋y＋a＝0过点(－1,2)，即－3＋2＋a＝0，∴a＝1.
2．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有( )
A．D＋E＝0 B．D＝E
C．D＝F D．E＝F
解析：选B 由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－＝－，即D＝E.
3．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为( )
A．2 B.－1
C．2－1 D．1
解析：选C 圆心(－2,1)到已知直线的距离为d＝2，圆的半径为r＝1，故所求距离dmin＝2－1.
4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：选B 设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，知 ＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.
5．关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述中：①圆心在直线y＝－x上；②其圆心在x轴上；③过原点；④半径为a.其中叙述正确的是________(要求写出所有正确命题的序号)．
解析：将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a，a)，半径为|a|，故①③正确．
答案：①③
6．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．
解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦．易求出圆心为C(4,1)，kCM＝＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0.
答案：x－y－3＝0 x＋y－3＝0
7．点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P、Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程．
解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为P(2x－2,2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
即x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
8．已知圆C: x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，
∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，
∴a＝4，P(4,5)，
∴|PQ|＝＝2，
kPQ＝＝.
(2)∵圆心C的坐标为(2,7)，
∴|QC|＝＝4，
圆的半径是2，点Q在圆外，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
