课件23张PPT。
“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(六)”
(单击进入电子文档)
谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（六） 球的体积和表面积
一、题组对点训练
对点练一 球的体积和表面积
1．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为( )
A．2 B.
C. D.
解析：选C 设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝πR3＝2×π×13，得R＝.
2．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是( )
A．S正方体>S球 B．S正方体C．S正方体＝S球 D.无法确定
解析：选A 设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝πR3＝a3，∴a＝，R＝，∴S正方体＝6a2＝6＝，S球＝4πR2＝<.
3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍．
解析：设火星半径为r，则地球半径为2r，＝＝8.
答案：8
4．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×4π＋ π＝3π.
答案：3π
5．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
对点练二 球的截面问题
6．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
解析：选C 根据球的截面的性质，得球的半径R＝＝5(cm)，所以V球＝πR3＝(cm3)．
7．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．
解析：过正方体的对角面作截面如图．
故球的半径r＝，
∴其表面积S＝4π×()2＝8π.
答案：8π
对点练三 与球有关的切、接问题
8．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( )
A．8π B．4π
C．12π D.16π
解析：选C 正方体的体对角线长为2，即2R＝2，
∴R＝，S＝4πR2＝12π.
9．正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )
A．1∶ B．1∶3
C．1∶3 D.1∶9
解析：选C 设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求的比为1∶3.
10．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
解：在底面正六边形ABCDEF中，连接BE、AD交于O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE＝，
在Rt△BEE1中，BE1＝＝2，
所以2R＝2，则R＝，
所以球的体积V球＝πR3＝4π，
球的表面积S球＝4πR2＝12π.
二、综合过关训练
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.
2．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为( )
A.π B.π
C.π D.π
解析：选A 由三视图可知，该几何体是一个圆锥与一个球的组合体．圆锥的底面半径与球的半径均为1，圆锥的高为＝，∴该几何体的体积V＝π×12×＋π×13＝π.
3．若过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.画图可知，R2＝R2＋r2，∴R2＝r2.
∴S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝πR2，
则所得截面的面积与球的表面积的比为＝.故选A.
4．已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接球的体积是( )
A．27 B．16
C．9 D.3
解析：选A 设正四面体的外接球、内切球的半径分别为R，r，则＝3.由题意知πr3＝1，则外接球的体积是πR3＝27×πr3＝27，故选A.
5．如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P-ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．
解析：显然正六棱锥P-ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，由已知，可得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥P-ABCDEF的高为2，则斜高为＝，所以该正六棱锥的侧面积为6××2×＝6.
答案：6
6．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
解析：设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8 cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4 cm.
答案：4
7．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．
解：如右图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC，AC相切于点D，E.
连接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝AC.
∵Rt△AOE∽Rt△ACD，
∴＝.
∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝ cm，
设OE＝r，则AO＝(－r)，
∴＝，∴r＝ cm，
V球＝π3＝π(cm3)，
即球的体积等于π cm3.
8.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)
解：如图所示，
过C作CO1⊥AB于O1.
在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，
∴S球＝4πR2，
S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，
S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，
∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧
＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2.
故旋转所得几何体的表面积为πR2.
