课件44张PPT。第三章 概率第三章 概率长度(面积或体积)无限多个相等与长度有关的几何概型与面积有关的几何概型与体积有关的几何概型与角度有关的几何概型本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放 [A 基础达标]
1．已知集合A＝{x|－1
A. B.
C. D.
解析：选A.A∩B＝{x|2因为集合A表示的区间长度为5－(－1)＝6，集合A∩B表示的区间长度为3－2＝1，
所以事件“x∈A∩B”的概率为，故选A.
2．(2019·湖南省张家界市期末联考)如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意知，大圆的面积为S＝π·22＝4π；阴影部分的面积为S′＝π·22－π·12＝π，则所求的概率为P＝＝＝.故选D.
3．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为＝，故点P到点O的距离大于1的概率为1－＝.
4．设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.试验的全部结果是平面区域D，由于点到坐标原点的距离大于2，则点应该在圆x2＋y2＝22的外部．
画草图(图略)易知区域D是边长为2的正方形，到坐标原点的距离大于2的点在以坐标原点为圆心，2为半径的圆的外部，所以所求的概率为＝.
5．(2017·高考江苏卷)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为＝.
答案：
6．水池的容积是20 m3，水池里的水龙头A和B的水流速度都是1 m3/h，它们一昼夜(0～24 h)内随机开启，则水池不溢水的概率为________．
解析：如图所示，横坐标和纵坐标分别表示A，B两水龙头开启的时间，则阴影部分是满足不溢水的对应区域，因为正方形区域的面积为24×24，阴影部分的面积是×20×20，所以所求的概率P＝＝.
答案：
7．(2019·福建省三明市质量检测)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它是由正方形ABCD中四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH构成．现设直角三角形的两条直角边长为3和4，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH内的概率为________．
解析：因为直角三角形的两条直角边长为3和4，所以正方形ABCD的边长为a＝＝5，
所以S正方形ABCD＝a2＝25，所以S正方形EFGH＝S正方形ABCD－4S△ABF＝25－4××3×4＝1，
因此，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH内的概率为P＝＝.
答案：
8．在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？
解：如图，边长为5 cm的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P＝＝.
9．小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点至七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？
解：如图所示，方形区域内任一点的横坐标x表示小强到达小明家的时间，纵坐标y表示小明离开家的时间，(x，y)可以看成平面中的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(x，y)|6≤x≤7，6.5≤y≤7.5}，这是一个正方形区域，面积为SΩ＝1×1＝1.事件A表示“小强能见到小明”，所构成的区域为A＝{(x，y)|6≤x≤7，6.5≤y≤7.5，y≥x}，如图中阴影部分所示，面积为SA＝1－××＝.所以P(A)＝＝，即小强能见到小明的概率是.
[B 能力提升]
10．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则( )
A．p1C．p3解析：选B.x，y∈[0，1]，事件“x＋y≥”表示的区域如图(1)中阴影部分S1，事件“|x－y|≤”表示的区域如图(2)中阴影部分S2，事件“xy≤”表示的区域如图(3)中阴影部分S3.由图知，阴影部分的面积S211.(2019·河北省沧州市期末考试)如图，边长为2的正三角形ABC内接于圆O，点P为弧AC上任意一点，则△PBC的面积大于的概率为________．
解析：因为△ABC的边长为2，所以△ABC的高为3，设外接圆O的半径为r，则2r＝＝4，所以r＝2，所以O点到BC的距离为1，过点O作直线与BC平行交弧AC于点D，△DBC的面积恰好为，所以点P由D点向A点移动的过程中，△PBC的面积越来越大；点P由D点向C点移动的过程中，△PBC的面积越来越小，因此，为使△PBC的面积大于，只需点P由D点向A点移动，所以由几何概型可知，△PBC的面积大于的概率等于∠AOD与角∠AOC大小之比．因为∠AOD＝，∠AOC＝，所以△PBC的面积大于的概率为P＝＝.
答案：
12．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0，3]上任取的一个数，b是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为
{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为P(A)＝＝.
13．(选做题)如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个等分点．
(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
(2)在半圆内任取一点S，求△SAB的面积大于8的概率．
解：(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为.
(2)连接MP，ON，OM，OP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，
易求得OD＝2，
当S点在线段MP上时，S△ABS＝×2×8＝8，
所以只有当S点落在阴影部分(不在MP上)时，△SAB的面积才能大于8，而S阴影＝S扇形MOP－S△OMP＝××42－×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于8的概率为＝.
