2020人教版八年级数学下册第十六章 二次根式16．2 二次根式的乘除教案附教学反思（2课时）
文档属性
| 名称 | 2020人教版八年级数学下册第十六章 二次根式16．2 二次根式的乘除教案附教学反思（2课时） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 22.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-09 13:57:00 | ||
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文档简介
16．2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
1．探索二次根式乘法法则；
2．能根据二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算．
二次根式的乘法法则及其应用．
利用积的算术平方根的性质化简二次根式．
一师一优课 一课一名师 (设计者： )
一、创设情景 明确目标
问题：一块长方形绿化带，长米，宽米，则它的面积是多少？
为了解决此问题，需要列出算式×，怎样计算呢？从而引出新课．
二、自主学习 指向目标
自学教材6至7页，思考下列问题：
1．完成教材第6页探究中的填空，写出你发现的规律．
(1)6，6 (2)20，20 (3)30，30
×＝(a≥0，b≥0)
2．二次根式乘以二次根式，被开方数怎样运算，结果还是二次根式吗？写出二次根式的乘法公式及成立的条件．
(二次根式乘以二次根式，被开方数相乘，结果还是二次根式的样子，若能化简，则需要化简．)
×＝(a≥0，b≥0)
3．二次根式乘法公式反过来有什么作用？你会用它解决例2吗？试一试．
(反过来可以化简二次根式．)
4．二次根式乘法的结果应怎样处理？自学例3，看你有什么发现？
(结果应该化成最简二次根式．带系数的二次根式乘法类似于单项式乘以单项式．)
三、合作探究 达成目标
二次根式乘法法则
活动1：请解答第6页中的“探究”问题，你可以发现一个规律．用字母表示这个规律如下：
展示点评：×＝(a≥0，b≥0)
这就是二次根式的乘法公式．请用语言叙述二次根式的乘法公式(法则)：两个非负数的__算术平方根__相乘，等于__这两个非负数的积的算术平方根__．
例1 计算：(1)×； (2)×.
解：(1)；(2)3.
小组讨论：第一小题的计算依据是什么？第二小题的结果为什么不用表示？
反思小结：这两小题直接套用公式即可解决，第(2)题的结果不能用表示，需要进行化简成最简．
针对训练
1．计算：(1)×；(2)×.
答案：(1)；(2)2.
2．估计×的运算结果应在( A )
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
积的算术平方根
活动2：将×＝(a≥0，b≥0)反过来可以得到
＝×(a≥0，b≥0)
这个性质用文字怎样叙述？它有什么作用？
展示点评：两个非负数的积的算术平方根等于每个非负数的算术平方根的积．利用它可以将二次根式化简．
例2 化简：(1)；(2).
解：(1)36； (2)2ab.
注意：第二小题中的字母没有特别说明，在教材中表示非负数．这两题的解答实质是对二次根式进行化简，说明二次根式中如果被开方数中含有开得尽方的因数或因式时，还可以像例2这样化简．
小组讨论：这两题的化简依据是什么？(＝×(a≥0，b≥0))
反思小结：第(1)小题可以直接用第二个公式解决化简；第(2)小题需要转化成第(1)小题的形式，再用公式解决即可．被开放数中含有开得尽方的因数或因式的二次根式不是最简二次根式．
针对训练
3．化简：(1) (2) (3) (4)
解：(1)15；(2)2；(3)2；(4)4a2.
二次根式乘法公式和积的算术平方根的性质的综合应用
活动3：计算：(1)× (2)3×2 (3)·
解：(1)7；(2)30；(3)x.
展示点评：(1)第一小题各步的计算依据是什么？你还有什么算法？(依据分别是二次根式乘法公式、二次根式的性质等．其他算法：原式＝×＝××＝×()2＝7.)
(2)第二小题与第一小题的区别是什么？(第二小题每个二次根式前面带有系数)系数部分怎样计算？(这可以类比单项式的乘法法则．)
(3)比较这三小题的结果，你发现被开方数中若有开得尽方的因数或因式时，应该怎么办？(把开的尽方的因数或因式用它的算术平方根表示写在根号的前面作为系数的一个因式．)
小组讨论：二次根式乘法与整式乘法有什么联系？
反思小结：第(1)(3)小题可以用乘法公式变形成例2形式后再用例2的化简思路解决；第(2)小题是两个带有系数的二次根式相乘，可以运用单项式乘以单项式的法则处理系数，根号部分相乘同第(1)小题一样．
针对训练
4．计算：(1)× (2)5×2
(3)·
解：(1)6；(2)60；(3)m.
四、总结梳理 内化目标
1．二次根式的乘法法则．
2．被开方数不含分母的二次根式只有把开得尽方的因式或因数移到根号外面后二次根式才是最简的形式．
3．整式的运算法则和运算律在二次根式的计算中同样适用．
五、达标检测 反思目标
1．已知是正整数，则实数n的最大值为( C )
A．12 B．11 C．8 D．3
2.化简的结果是( B )
A．2 B．2 C．－2 D．±2
3．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1－a|＋的结果为( A )
A．1 B．－1 C．1－2a D．2a－1
4．6化简的结果是( C )
A．12 B．24 C．24 D．24
5．化简：×＝__12__．
6．化简：3×5的结果为__240__．
7．化简＝__10__．
8．化简＝__5__．
作业练习 深化目标
上交作业：教材第7页练习第1题，第2题．
课后作业：见学生用书部分．
1．创设情境，给出实例．学生积极主动探索，教师引导启发，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度．
2．二次根式乘法法则的形成过程中，由学生大胆猜测，经过思考、分析、讨论的过程，让学生在交流中体会成功．
第2课时 二次根式的除法
1．探索二次根式的除法法则，会用法则进行除法运算．
2．理解最简二次根式的概念，能将二次根式化为最简二次根式．
二次根式的除法法则的探究和应用．
二次根式的除法法则的双向使用．
一师一优课 一课一名师 (设计者： )
一、创设情景 明确目标
1．二次根式的乘法法则是什么？完成下列填空：
(1)＝__0.15__；2×3＝__6__．
(2)若＝b，则a__≥－1__，b__≥0__．(填取值范围)
2．一个矩形的面积是cm2，一个正方形的面积是矩形面积的倍．这个正方形的面积是多少？这个矩形的面积是正方形面积的几分之几？相信你能列出代数式来，但是怎样化简这两个式子呢？这就是我们这节课学习的主要内容．
二、自主学习 指向目标
自学教材第8页至第10页的内容，思考下列问题：
1．二次根式的除法法则是什么？
＝(a≥0，b＞0)．
(1)你能用文字语言叙述这一法则吗？(一个非负数的算术平方根除以一个正数的算术平方根等于这个非负数与这个正数的商的算术平方根．)
(2)二次根式的乘法与除法法则中b的取值范围不同，你知道为什么吗？(当b＝0时，式子无意义．)
2．商的算术平方根的性质是什么？
＝(a≥0，b＞0)
该性质与二次根式的除法法则有什么关系？(互逆关系．)
3．最简二次根式的特点是：(①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．)
三、合作探究 达成目标
二次根式的除法法则
活动1：阅读教材第8页探究，完成探究题中的填空，思考下列问题：
(1)你发现什么规律？(每组两个计算结果相等．)
(2)你能用字母表示你发现的规律吗？
(3)这个规律的左边表示两个二次根式之间进行什么运算？右边表示它们之间的什么结果？
(左边是两个二次根式相除，右边表示它们的商的结果．)
展示点评：一般地，对二次根式的除法法则是
＝(a≥0，b＞0)．
小组讨论：二次根式除法法则中为什么强调a≥0，b＞0?
反思小结：二次根式的除法公式必须要求公式中的每个二次根式都必须满足二次根式的定义中的条件，对于分母中的二次根式还要让分母不能等于0．这是该公式的重要条件，是今后解决有关计算的理论依据．
针对训练
1.＝__2__，÷＝____；
2.＝成立的条件是a__≥__0，b__＞__0.
二次根式除法法则的应用
活动2：阅读教材第8页例4，思考下列问题：
(1)第(1)小题各步计算的依据是什么？你还有别的算法吗？
展示点评：依据分别是二次根式除法法则、积的算术平方根的性质．
小组讨论：第(2)小题与第(1)小题形式上有什么区别？各步的依据是什么？计算结果都有什么要求？
反思小结：两个二次根式相除，把被开方数相除，再把结果化简．
针对训练
3．计算：
(1)÷； (2).
答案：(1)3 (2)2.
商的算术平方根的性质
活动3：把二次根式的除法公式反过来，就可以得到
＝(a≥0，b＞0)
这就是商的算术平方根的性质，用文字如何叙述这个性质？
展示点评：一个非负数a与正数b的商的商的算术平方根等于非负数a的算术平方根与正数b的算术平方根的商．
小组讨论：(1)第(1)小题中的每一步化简依据是什么？
(2)第(2)小题与第(1)小题的区别在哪里？
反思小结：当二次根式的被开方数中含有分母时，二次根式不是最简形式，因此要用商的算术平方根的性质进行化简．
针对训练
4．化简：(1)(请用两种方法化简)；
(2).
解：(1) (2).
最简二次根式
活动4：观察比较例4、例5、例6的计算结果．
思考：它们是最简二次根式吗？这些结果有什么共同特点？
展示点评：满足(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
小组讨论：如何化去分母中的根号？
反思小结：可用二次根式的性质，乘除法运算法则及分数基本性质化去分母中的根号．
针对训练
6．下列二次根式是最简二次根式的是( A )
A. B. C. D.
7．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) (2) (3) (4)
解：(1)4；(2)2；(3)；(4).
四、总结梳理 内化目标
(1)二次根式除法公式是：＝(a≥0，b＞0)；将它反过来得到公式：＝(a≥0，b＞0)，可以用它化简被开方数含有分母的二次根式；
(2)二次根式的计算方法多样，结果一定要化成最简二次根式或整式；
(3)最简二次根式的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含开的尽方的因数或因式．
五、达标检测 反思目标
1．等式＝成立的条件是( C )
A．a＞－1 B．a＞－2 C．a≥－1 D．a≥－2
2．下列二次根式中，最简二次根式是( C )
A. B. C. D.
3．已知菱形的面积为cm2，其中一条对角线长2cm，则另一条对角线的长为__3cm__．(菱形的面积等于两条对角线的积的一半)．
4．计算与化简：
① ② ③ ④
解：① ② ③ ④
5．计算：÷3×.
解：.
作业练习 深化目标
上交作业：教材第10页习题16.2第2、4题，第11页第8题．
课后作业：见学生用书部分．
1．创设情境，复习二次根式的乘积，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究的兴趣．
2．二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功．
第1课时 二次根式的乘法
1．探索二次根式乘法法则；
2．能根据二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算．
二次根式的乘法法则及其应用．
利用积的算术平方根的性质化简二次根式．
一师一优课 一课一名师 (设计者： )
一、创设情景 明确目标
问题：一块长方形绿化带，长米，宽米，则它的面积是多少？
为了解决此问题，需要列出算式×，怎样计算呢？从而引出新课．
二、自主学习 指向目标
自学教材6至7页，思考下列问题：
1．完成教材第6页探究中的填空，写出你发现的规律．
(1)6，6 (2)20，20 (3)30，30
×＝(a≥0，b≥0)
2．二次根式乘以二次根式，被开方数怎样运算，结果还是二次根式吗？写出二次根式的乘法公式及成立的条件．
(二次根式乘以二次根式，被开方数相乘，结果还是二次根式的样子，若能化简，则需要化简．)
×＝(a≥0，b≥0)
3．二次根式乘法公式反过来有什么作用？你会用它解决例2吗？试一试．
(反过来可以化简二次根式．)
4．二次根式乘法的结果应怎样处理？自学例3，看你有什么发现？
(结果应该化成最简二次根式．带系数的二次根式乘法类似于单项式乘以单项式．)
三、合作探究 达成目标
二次根式乘法法则
活动1：请解答第6页中的“探究”问题，你可以发现一个规律．用字母表示这个规律如下：
展示点评：×＝(a≥0，b≥0)
这就是二次根式的乘法公式．请用语言叙述二次根式的乘法公式(法则)：两个非负数的__算术平方根__相乘，等于__这两个非负数的积的算术平方根__．
例1 计算：(1)×； (2)×.
解：(1)；(2)3.
小组讨论：第一小题的计算依据是什么？第二小题的结果为什么不用表示？
反思小结：这两小题直接套用公式即可解决，第(2)题的结果不能用表示，需要进行化简成最简．
针对训练
1．计算：(1)×；(2)×.
答案：(1)；(2)2.
2．估计×的运算结果应在( A )
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
积的算术平方根
活动2：将×＝(a≥0，b≥0)反过来可以得到
＝×(a≥0，b≥0)
这个性质用文字怎样叙述？它有什么作用？
展示点评：两个非负数的积的算术平方根等于每个非负数的算术平方根的积．利用它可以将二次根式化简．
例2 化简：(1)；(2).
解：(1)36； (2)2ab.
注意：第二小题中的字母没有特别说明，在教材中表示非负数．这两题的解答实质是对二次根式进行化简，说明二次根式中如果被开方数中含有开得尽方的因数或因式时，还可以像例2这样化简．
小组讨论：这两题的化简依据是什么？(＝×(a≥0，b≥0))
反思小结：第(1)小题可以直接用第二个公式解决化简；第(2)小题需要转化成第(1)小题的形式，再用公式解决即可．被开放数中含有开得尽方的因数或因式的二次根式不是最简二次根式．
针对训练
3．化简：(1) (2) (3) (4)
解：(1)15；(2)2；(3)2；(4)4a2.
二次根式乘法公式和积的算术平方根的性质的综合应用
活动3：计算：(1)× (2)3×2 (3)·
解：(1)7；(2)30；(3)x.
展示点评：(1)第一小题各步的计算依据是什么？你还有什么算法？(依据分别是二次根式乘法公式、二次根式的性质等．其他算法：原式＝×＝××＝×()2＝7.)
(2)第二小题与第一小题的区别是什么？(第二小题每个二次根式前面带有系数)系数部分怎样计算？(这可以类比单项式的乘法法则．)
(3)比较这三小题的结果，你发现被开方数中若有开得尽方的因数或因式时，应该怎么办？(把开的尽方的因数或因式用它的算术平方根表示写在根号的前面作为系数的一个因式．)
小组讨论：二次根式乘法与整式乘法有什么联系？
反思小结：第(1)(3)小题可以用乘法公式变形成例2形式后再用例2的化简思路解决；第(2)小题是两个带有系数的二次根式相乘，可以运用单项式乘以单项式的法则处理系数，根号部分相乘同第(1)小题一样．
针对训练
4．计算：(1)× (2)5×2
(3)·
解：(1)6；(2)60；(3)m.
四、总结梳理 内化目标
1．二次根式的乘法法则．
2．被开方数不含分母的二次根式只有把开得尽方的因式或因数移到根号外面后二次根式才是最简的形式．
3．整式的运算法则和运算律在二次根式的计算中同样适用．
五、达标检测 反思目标
1．已知是正整数，则实数n的最大值为( C )
A．12 B．11 C．8 D．3
2.化简的结果是( B )
A．2 B．2 C．－2 D．±2
3．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1－a|＋的结果为( A )
A．1 B．－1 C．1－2a D．2a－1
4．6化简的结果是( C )
A．12 B．24 C．24 D．24
5．化简：×＝__12__．
6．化简：3×5的结果为__240__．
7．化简＝__10__．
8．化简＝__5__．
作业练习 深化目标
上交作业：教材第7页练习第1题，第2题．
课后作业：见学生用书部分．
1．创设情境，给出实例．学生积极主动探索，教师引导启发，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度．
2．二次根式乘法法则的形成过程中，由学生大胆猜测，经过思考、分析、讨论的过程，让学生在交流中体会成功．
第2课时 二次根式的除法
1．探索二次根式的除法法则，会用法则进行除法运算．
2．理解最简二次根式的概念，能将二次根式化为最简二次根式．
二次根式的除法法则的探究和应用．
二次根式的除法法则的双向使用．
一师一优课 一课一名师 (设计者： )
一、创设情景 明确目标
1．二次根式的乘法法则是什么？完成下列填空：
(1)＝__0.15__；2×3＝__6__．
(2)若＝b，则a__≥－1__，b__≥0__．(填取值范围)
2．一个矩形的面积是cm2，一个正方形的面积是矩形面积的倍．这个正方形的面积是多少？这个矩形的面积是正方形面积的几分之几？相信你能列出代数式来，但是怎样化简这两个式子呢？这就是我们这节课学习的主要内容．
二、自主学习 指向目标
自学教材第8页至第10页的内容，思考下列问题：
1．二次根式的除法法则是什么？
＝(a≥0，b＞0)．
(1)你能用文字语言叙述这一法则吗？(一个非负数的算术平方根除以一个正数的算术平方根等于这个非负数与这个正数的商的算术平方根．)
(2)二次根式的乘法与除法法则中b的取值范围不同，你知道为什么吗？(当b＝0时，式子无意义．)
2．商的算术平方根的性质是什么？
＝(a≥0，b＞0)
该性质与二次根式的除法法则有什么关系？(互逆关系．)
3．最简二次根式的特点是：(①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．)
三、合作探究 达成目标
二次根式的除法法则
活动1：阅读教材第8页探究，完成探究题中的填空，思考下列问题：
(1)你发现什么规律？(每组两个计算结果相等．)
(2)你能用字母表示你发现的规律吗？
(3)这个规律的左边表示两个二次根式之间进行什么运算？右边表示它们之间的什么结果？
(左边是两个二次根式相除，右边表示它们的商的结果．)
展示点评：一般地，对二次根式的除法法则是
＝(a≥0，b＞0)．
小组讨论：二次根式除法法则中为什么强调a≥0，b＞0?
反思小结：二次根式的除法公式必须要求公式中的每个二次根式都必须满足二次根式的定义中的条件，对于分母中的二次根式还要让分母不能等于0．这是该公式的重要条件，是今后解决有关计算的理论依据．
针对训练
1.＝__2__，÷＝____；
2.＝成立的条件是a__≥__0，b__＞__0.
二次根式除法法则的应用
活动2：阅读教材第8页例4，思考下列问题：
(1)第(1)小题各步计算的依据是什么？你还有别的算法吗？
展示点评：依据分别是二次根式除法法则、积的算术平方根的性质．
小组讨论：第(2)小题与第(1)小题形式上有什么区别？各步的依据是什么？计算结果都有什么要求？
反思小结：两个二次根式相除，把被开方数相除，再把结果化简．
针对训练
3．计算：
(1)÷； (2).
答案：(1)3 (2)2.
商的算术平方根的性质
活动3：把二次根式的除法公式反过来，就可以得到
＝(a≥0，b＞0)
这就是商的算术平方根的性质，用文字如何叙述这个性质？
展示点评：一个非负数a与正数b的商的商的算术平方根等于非负数a的算术平方根与正数b的算术平方根的商．
小组讨论：(1)第(1)小题中的每一步化简依据是什么？
(2)第(2)小题与第(1)小题的区别在哪里？
反思小结：当二次根式的被开方数中含有分母时，二次根式不是最简形式，因此要用商的算术平方根的性质进行化简．
针对训练
4．化简：(1)(请用两种方法化简)；
(2).
解：(1) (2).
最简二次根式
活动4：观察比较例4、例5、例6的计算结果．
思考：它们是最简二次根式吗？这些结果有什么共同特点？
展示点评：满足(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
小组讨论：如何化去分母中的根号？
反思小结：可用二次根式的性质，乘除法运算法则及分数基本性质化去分母中的根号．
针对训练
6．下列二次根式是最简二次根式的是( A )
A. B. C. D.
7．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) (2) (3) (4)
解：(1)4；(2)2；(3)；(4).
四、总结梳理 内化目标
(1)二次根式除法公式是：＝(a≥0，b＞0)；将它反过来得到公式：＝(a≥0，b＞0)，可以用它化简被开方数含有分母的二次根式；
(2)二次根式的计算方法多样，结果一定要化成最简二次根式或整式；
(3)最简二次根式的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含开的尽方的因数或因式．
五、达标检测 反思目标
1．等式＝成立的条件是( C )
A．a＞－1 B．a＞－2 C．a≥－1 D．a≥－2
2．下列二次根式中，最简二次根式是( C )
A. B. C. D.
3．已知菱形的面积为cm2，其中一条对角线长2cm，则另一条对角线的长为__3cm__．(菱形的面积等于两条对角线的积的一半)．
4．计算与化简：
① ② ③ ④
解：① ② ③ ④
5．计算：÷3×.
解：.
作业练习 深化目标
上交作业：教材第10页习题16.2第2、4题，第11页第8题．
课后作业：见学生用书部分．
1．创设情境，复习二次根式的乘积，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究的兴趣．
2．二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功．