第四章 图形的性质 第26节 多边形与平行四边形■考点1.多边形的有关知识
1.多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为 ．www.21-cn-jy.com
2.多边形的内角和、外角和 ( 1 ) 内角和：n边形内角和公式为
（2）外角和：任意多边形的外角和为 °.
3.正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为 ，每一个外角为 。
(3) 正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
■考点2.平行四边形的性质
1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.
2.平行四边形的性质
（1）边：两组对边分别 且 .
即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：对角 ，邻角互补.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）对角线：互相 .即OA＝OC，OB＝OD
（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
3.平行四边形中的几个解题模型
（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为 三角形，即AB= .21·cn·jy·com
（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的 .2·1·c·n·j·y
（3） 如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4） 根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.
注意：利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的 .
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
■考点3.平行四边形的判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别 的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形.
（2）方法二：两组对边分别 的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形.
（3）方法三：有一组对边 且 的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是平行四边形.
（4）方法四：对角线互相 的四边形是平行四边形.
即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形.
■考点1.多边形的有关知识
◇典例：
1.（2019年广西梧州市）正九边形的一个内角的度数是（ ）
A．108° B．120° C．135° D．140°
【考点】多边形内角与外角
【分析】先根据多边形内角和定理：180°?（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°?（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．
2.（2019年北京市）正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
【考点】多边形内角与外角
【分析】根据多边的外角和定理进行选择．
解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
◆变式训练
1.（2019年福建省）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).
A．12 B．10 C．8 D．6
2.（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．
A．180° B．360° C．540° D．720°
■考点2.平行四边形的性质
◇典例
（2019年广西柳州市）如图，在?ABCD中，全等三角形的对数共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【考点】全等三角形的判定，平行四边形的性质
【分析】平行四边形的性质是：对边相互平行且相等，对角线互相平分．这样不难得出：AD＝BC，AB＝CD，AO＝CO，DO＝BO，再利用“对顶角相等”就很容易找到全等的三角形：△ACD≌△CAB（SSS），△ABD≌△CDB（SSS），△AOD≌△COB（SAS），△AOB≌△COD（SAS）．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OD＝OB，OA＝OC，
∵OD＝OB，OA＝OC，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD≌△COB（SAS），①
同理可得出△AOB≌△COD（SAS），②
∵BC＝AD，CD＝AB，BD＝BD，
∴△ABD≌△CDB（SSS），③
同理可得：△ACD≌△CAB（SSS）．④
因此本题共有4对全等三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，三角形全等的条件有时候是直接给的，有时候是根据已知条件推出的，还有时是由已知图形的性质得出的，做题时要全面考虑．
◆变式训练
（2019年四川省遂宁市）如图，?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，
若?ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（ ）
A．28 B．24 C．21 D．14
■考点3.平行四边形的判定
◇典例：
1.（2019年黑龙江省伊春市）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件_____，使四边形是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定
【分析】可再添加一个条件AD∥BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．
解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键在于掌握判定法则
2.（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，AB与CD相交于点O，AB＝CD，∠AOC＝60°，∠ACD+∠ABD＝210°，则线段AB，AC，BD之间的等量关系式为 ．
【考点】勾股定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质
【分析】过点A作AE∥CD，截取AE＝CD，连接BE、DE，则四边形ACDE是平行四边形，得出DE＝AC，∠ACD＝∠AED，证明△ABE为等边三角形得出BE＝AB，求得∠BDE＝360°﹣（∠AED+∠ABD）﹣∠EAB＝90°，由勾股定理得出BE2＝DE2+BD2，即可得出结果．
解：过点A作AE∥CD，截取AE＝CD，连接BE、DE，如图所示：
则四边形ACDE是平行四边形，
∴DE＝AC，∠ACD＝∠AED，
∵∠AOC＝60°，AB＝CD，
∴∠EAB＝60°，CD＝AE＝AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴BE＝AB，
∵∠ACD+∠ABD＝210°，
∴∠AED+∠ABD＝210°，
∴∠BDE＝360°﹣（∠AED+∠ABD）﹣∠EAB＝360°﹣210°﹣60°＝90°，
∴BE2＝DE2+BD2，
∴AB2＝AC2+BD2，
故答案为：AB2＝AC2+BD2．
【点评】本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、四边形内角和等知识，熟练掌握平行四边形的性质、通过作辅助线构建等边三角形与直角三角形是解题的关键．
◆变式训练
1.（2019年四川省泸州市）四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD
2.（2019年四川省遂宁市）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：
（1）△ADF≌△ECF．
（2）四边形ABCD是平行四边形．
1.（2019年河北省）下列图形为正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2019年云南省）一个十二边形的内角和等于( )
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
3.（2019年贵州省铜仁市）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是( )
A．360° B．540° C．630° D．720°
4.（2019年广东省）一个n边形的内角和为1080°，则n=________.
5.（2019年湖南省株洲市）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝ 度．
6.（2019年山东省德州市）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ．
7.（2019年广西梧州市）如图，?ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝ 度．
8.（2019年福建省）在平面直角坐标系xOy中，□OABC的三个顶点O(0,0)、A(3,0) 、 B(4,2),则其第四个顶点是_______.
9.（2019年吉林省）如图，在?ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．
10.（2019年辽宁省本溪市）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE．
（1）求证：AE＝BC，
（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．
选择题
1.（2019年湖北省咸宁市）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
2.（2019年湖南省湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
3.（2019年广东省广州市）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．EH=HG B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD D．的面积是的面积的2倍
4.（2019年山东省威海市）如图，E是?ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD
填空题
5.（2019年辽宁省辽阳市）已知正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是 ．
6.（2019年湖南省岳阳市）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 ．
7.（2019年江苏省徐州市）如图，A．B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝ ．
8.（2019年四川省宜宾市）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥BC，则∠DAB＝ °．
9.（2019年四川省资阳市）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是______．
10.（2019年湖北省武汉市）如图，在?ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为 ．
11.（2019年四川省达州市）如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为 ．
12.（2019年四川省成都市）如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N，②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'，③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'，④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为 ．
13.（2016年浙江省杭州市）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为 ．
解答题
14.（2019年重庆市（a卷））如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
（1）若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，求△ACD的面积．
（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝CM+2CE．
15.（2019年湖北省荆门市）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．
（1）求平行四边形ABCD的面积，
（2）求证：BD⊥BC．
16.（2019年江苏省徐州市）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：
（1）∠ECB＝∠FCG，
（2）△EBC≌△FGC．
17.（2019年江苏省淮安市）已知：如图，在?ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE＝DF．
18.（2019年江苏省常州市）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．
（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是 ，
（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．
19.（2019年四川省广安市）如图，点E是?ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，，求?ABCD的周长．
20.（2019年广西柳州市）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：
21.（2019年浙江省衢州市）如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点．
（2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点．
22.（2019年湖北省武汉市）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．
（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．
（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．
23.（2019年安徽省）如图，点E在?ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设?ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值
24.（2019年湖南省郴州市）如图，?ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．
25.（2019年江苏省镇江市）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A．C分别作EF的垂线，垂足为G、H．
（1）求证：△AGE≌△CHF，
（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．
26.（2019年江苏省南京 ）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证△ADF≌△CEF．
27.（2019年浙江省湖州市）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形，
（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
第四章 图形的性质 第26节 多边形与平行四边形■考点1.多边形的有关知识
1.多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
2.多边形的内角和、外角和
(1) 内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3.正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为360°/n.
(3) 正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
■考点2.平行四边形的性质
1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.
2.平行四边形的性质
（1）边：两组对边分别平行且相等.
即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：对角相等，邻角互补.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
3.平行四边形中的几个解题模型
（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形，即AB=BF.21教育名师原创作品
（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.【出处：21教育名师】
（3） 如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4） 根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.
注意：利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
■考点3.平行四边形的判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□.
（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是□.
（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是□.
（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是□.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是□.
■考点1.多边形的有关知识
◇典例：
1.（2019年广西梧州市）正九边形的一个内角的度数是（ ）
A．108° B．120° C．135° D．140°
【考点】多边形内角与外角
【分析】先根据多边形内角和定理：180°?（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°?（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．
2.（2019年北京市）正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
【考点】多边形内角与外角
【分析】根据多边的外角和定理进行选择．
解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
◆变式训练
1.（2019年福建省）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).
A．12 B．10 C．8 D．6
【考点】多边形的外角和
【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
2.（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．
A．180° B．360° C．540° D．720°
【考点】多边形的内角和
【分析】根据多边形内角和公式即可求出结果．
解：黑色正五边形的内角和为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．
■考点2.平行四边形的性质
◇典例
（2019年广西柳州市）如图，在?ABCD中，全等三角形的对数共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【考点】全等三角形的判定，平行四边形的性质
【分析】平行四边形的性质是：对边相互平行且相等，对角线互相平分．这样不难得出：AD＝BC，AB＝CD，AO＝CO，DO＝BO，再利用“对顶角相等”就很容易找到全等的三角形：△ACD≌△CAB（SSS），△ABD≌△CDB（SSS），△AOD≌△COB（SAS），△AOB≌△COD（SAS）．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OD＝OB，OA＝OC，
∵OD＝OB，OA＝OC，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD≌△COB（SAS），①
同理可得出△AOB≌△COD（SAS），②
∵BC＝AD，CD＝AB，BD＝BD，
∴△ABD≌△CDB（SSS），③
同理可得：△ACD≌△CAB（SSS）．④
因此本题共有4对全等三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，三角形全等的条件有时候是直接给的，有时候是根据已知条件推出的，还有时是由已知图形的性质得出的，做题时要全面考虑．
◆变式训练
3.（2019年四川省遂宁市）如图，?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，
若?ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（ ）
A．28 B．24 C．21 D．14
【考点】线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质
【分析】先判断出EO是BD的中垂线，得出BE＝ED，从而可得出△ABE的周长＝AB+AD，再由平行四边形的周长为24，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形的周长为28，
∴AB+AD＝14
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，解答本题的关键是判断出OE是线段BD的中垂线．
■考点3.平行四边形的判定
◇典例：
1.（2019年黑龙江省伊春市）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件_____，使四边形是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定
【分析】可再添加一个条件AD∥BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．
解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键在于掌握判定法则
2.（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，AB与CD相交于点O，AB＝CD，∠AOC＝60°，∠ACD+∠ABD＝210°，则线段AB，AC，BD之间的等量关系式为 ．
【考点】勾股定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质
【分析】过点A作AE∥CD，截取AE＝CD，连接BE、DE，则四边形ACDE是平行四边形，得出DE＝AC，∠ACD＝∠AED，证明△ABE为等边三角形得出BE＝AB，求得∠BDE＝360°﹣（∠AED+∠ABD）﹣∠EAB＝90°，由勾股定理得出BE2＝DE2+BD2，即可得出结果．
解：过点A作AE∥CD，截取AE＝CD，连接BE、DE，如图所示：
则四边形ACDE是平行四边形，
∴DE＝AC，∠ACD＝∠AED，
∵∠AOC＝60°，AB＝CD，
∴∠EAB＝60°，CD＝AE＝AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴BE＝AB，
∵∠ACD+∠ABD＝210°，
∴∠AED+∠ABD＝210°，
∴∠BDE＝360°﹣（∠AED+∠ABD）﹣∠EAB＝360°﹣210°﹣60°＝90°，
∴BE2＝DE2+BD2，
∴AB2＝AC2+BD2，
故答案为：AB2＝AC2+BD2．
【点评】本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、四边形内角和等知识，熟练掌握平行四边形的性质、通过作辅助线构建等边三角形与直角三角形是解题的关键．
◆变式训练
1.（2019年四川省泸州市）四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD
【考点】平行四边形的判定
【分析】由平行四边形的判定定理即可得出答案．
解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．
2.（2019年四川省遂宁市）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：
（1）△ADF≌△ECF．
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DAF＝∠E，根据线段中点的定义得到DF＝CF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论，
（2）根据全等三角形的性质得到AD＝EC，等量代换得到AD＝BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF与△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
（2）∵△ADF≌△ECF，
∴AD＝EC，
∵CE＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行双绞线的判定定理是解题的关键．
1.（2019年河北省）下列图形为正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】多边形
【分析】根据正多边形的定义，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
解：正五边形五个角相等，五条边都相等，
故选：D．
【点评】此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．
2.（2019年云南省）一个十二边形的内角和等于( )
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
【考点】多边形的内角和
【分析】根据多边形的内角和公式进行求解即可.
解：多边形内角和公式为，其中为多边形的边的条数，
∴十二边形内角和为，
故选D.
【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键.
3.（2019年贵州省铜仁市）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是( )
A．360° B．540° C．630° D．720°
【考点】多边形内角与外角
【分析】根据多边形的内角和都是180°的倍数即可作出判断．
解：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°.
故选：C.
【点睛】此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于利用三角形内角和定理进行判断
4.（2019年广东省）一个n边形的内角和为1080°，则n=________.
【考点】多边形的内角和
【分析】直接根据内角和公式计算即可求解.
解：（n﹣2）?180°=1080°，解得n=8．
故答案为：8．
【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：.
5.（2019年湖南省株洲市）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝ 度．
【考点】多边形内角与外角
【分析】首先根据正五边形的性质得到∠EAB＝108度，然后根据角平分线的定义得到∠PAB＝54度，再利用三角形内角和定理得到∠APB的度数．
解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠EAB＝108度，
∵AP是∠EAB的角平分线，
∴∠PAB＝54度，
∵∠ABP＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°﹣54°＝66°．
故答案为：66．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理．
6.（2019年山东省德州市）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ．
【考点】多边形内角与外角
【分析】先根据多边形内角和定理：180°?（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°?（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．
7.（2019年广西梧州市）如图，?ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝ 度．
【考点】平行四边形的性质
【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵∠ADC＝119°，DF⊥BC，
∴∠ADF＝90°，
则∠EDH＝29°，
∵BE⊥DC，
∴∠DEH＝90°，
∴∠DHE＝∠BHF＝90°﹣29°＝61°．
故答案为：61．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理，正确得出∠EDH＝29°是解题关键．
8.（2019年福建省）在平面直角坐标系xOy中，□OABC的三个顶点O(0,0)、A(3,0) 、 B(4,2),则其第四个顶点是_______.
【考点】平行四边形的性质、坐标与图形性质
【分析】由题意得出OA＝3，由平行四边形的性质得出BC∥OA，BC＝OA＝3，即可得出结果．
解：∵O（0，0）、A（3，0），
∴OA＝3，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝3，
∵B（4，2），
∴点C的坐标为（4?3，2），即C（1，2）；
故答案为：（1，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9.（2019年吉林省）如图，在?ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．
【考点】全等三角形的判定，平行四边形的性质
【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．
证明：由题意可得：AE＝FC，
在平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠C
在△ABE和△CDF中，，
所以，△ABE≌△CDF（SAS）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键．
10.（2019年辽宁省本溪市）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE．
（1）求证：AE＝BC，
（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．
【考点】等腰直角三角形，平行四边形的判定与性质
【分析】（1）通过证明四边形ABCE是平行四边形，可得结论，
（2）由平行四边形的性质可求DE＝AD＝2，即可求四边形ABCE的面积．
证明：（1）∵AB∥CD，∠B＝45°
∴∠C+∠B＝180°
∴∠C＝135°
∵DE＝DA，AD⊥CD
∴∠E＝45°
∵∠E+∠C＝180°
∴AE∥BC，且AB∥CD
∴四边形ABCE是平行四边形
∴AE＝BC
（2）∵四边形ABCE是平行四边形
∴AB＝CE＝3
∴AD＝DE＝AB﹣CD＝2
∴四边形ABCE的面积＝3×2＝6
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的判定是本题的关键．
选择题
1.（2019年湖北省咸宁市）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
【考点】多边形内角与外角
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．
解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴多边形的每个外角＝360÷5＝72°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
2.（2019年湖南省湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【考点】多边形内角与外角
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，列方程可求解．
解：设所求多边形边数为n，
则（n﹣2）?180°＝1080°，
解得n＝8．
故选：D．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
3.（2019年广东省广州市）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．EH=HG B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD D．的面积是的面积的2倍
【考点】三角形中位线定理,平行四边形的性质
【分析】根据三角形中位线的性质和平行四边形的性质分别判断各选项即可解答，
解：因为E、H为OA．OD的中点，
所以，EH＝＝2，同理，HG＝＝1，所以，A错误；
EH∥AD，EH＝，
FG∥BC，FG＝，
因为平行四边形ABCD中，AD＝BC，且AD∥BC，
所以，EH＝FG，且EH∥FG，
所以，四边形EFGH是平行四边形， B正确。
AC与BD不一定垂直，C错误；
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，知：△ABC的面积是△EFO的面积的4倍，D错误；
故选B.
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质和平行四边形的性质，熟练掌握是解题的关键.
4.（2019年山东省威海市）如图，E是?ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD
【考点】全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A正确，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠CBF，根据全等三角形的性质得到EF＝BF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确，根据平行线的性质得到∠AEB＝∠CBF，求得∠CBF＝∠BCD，求得CF＝BF，同理，EF＝DF，不能判定四边形BCED为平行四边形，故C错误，根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，推出∠BDE＝∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D正确．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CDB，
∴BD∥CE，
∴BCED为平行四边形，故A正确，
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBF，
在△DEF与△CBF中，，
∴△DEF≌△CBF（AAS），
∴EF＝BF，
∵DF＝CF，
∴四边形BCED为平行四边形，故B正确，
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BCD，
∴∠CBF＝∠BCD，
∴CF＝BF，
同理，EF＝DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形，故C错误，
∵AE∥BC，
∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，
∵∠AEC＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
填空题
5.（2019年辽宁省辽阳市）已知正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是 ．
【考点】多边形内角与外角
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．
故答案为：5
【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
6.（2019年湖南省岳阳市）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 ．
【考点】多边形内角与外角
【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出方程（n﹣2）×180°＝360°，求出即可．
解：设多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能根据题意列出方程是解此题的关键．
7.（2019年江苏省徐州市）如图，A．B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝ ．
【考点】多边形内角与外角
【分析】连接OB、OC，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
解：连接OB、OC，
多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为：，
∴∠AOB＝，
∴∠AOD＝40°×3＝120°．
∴∠OAD＝．
故答案为：30°
【点评】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键．
8.（2019年四川省宜宾市）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥BC，则∠DAB＝ °．
【考点】平行线的性质，多边形内角与外角
【分析】先根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°求出六边形的内角和，再除以6即可求出∠B的度数，由平行线的性质可求出∠DAB的度数．
解：在六边形ABCDEF中，
（6﹣2）×180°＝720°，
＝120°，
∴∠B＝120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＝180°﹣∠B＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质等，解题关键是能够熟练运用多边形内角和公式及平行线的性质．
9.（2019年四川省资阳市）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是______．
【考点】多边形的内角和
【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，
该正多边形的内角和为：（6-2）×180°=720°．
故答案为：720°．
【点评】解答本题的关键是求出该正多边形的边数与熟记多边形的内角和公式．
10.（2019年湖北省武汉市）如图，在?ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为 ．
【考点】等腰三角形的性质，平行四边形的性质
【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，得出DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，得出方程，解方程即可．
解：设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，
∴2x＝63°﹣x，
解得：x＝21°，
即∠ADE＝21°，
故答案为：21°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，根据角的关系得出方程是解题的关键．
11.（2019年四川省达州市）如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为 ．
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的性质可得BO＝DO＝BD，进而可得OE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出BC＝2OE，再根据平行四边形的性质可得AB＝CD，从而可得△BCD的周长＝△BEO的周长×2．
解：∵?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴BO＝DO＝BD，BD＝2OB，
∴O为BD中点，
∵点E是AB的中点，
∴AB＝2BE，BC＝2OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴CD＝2BE．
∵△BEO的周长为8，
∴OB+OE+BE＝8，
∴BD+BC+CD＝2OB+2OE+2BE＝2（OB+OE+BE）＝16，
∴△BCD的周长是16，
故答案为16．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及线段中点的定义．关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边平行且相等．②角：平行四边形的对角相等，③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
12.（2019年四川省成都市）如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N，②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'，③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'，④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为 ．
【考点】平行四边形的性质，作图—复杂作图
【分析】利用作法得到∠COE＝∠OAB，则OE∥AB，利用平行四边形的性质判断OE为△ABC的中位线，从而得到OE的长．
解：由作法得∠COE＝∠OAB，
∴OE∥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA，
∴CE＝BE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝×8＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
13.（2016年浙江省杭州市）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标；平行四边形的判定与性质．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出D点坐标，进而利用关于原点对称点的性质得出答案．
解：如图所示：∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分，
∴D点坐标为：（5，3），
∴点D关于坐标原点的对称点的坐标为：（﹣5，﹣3）．
故答案为：（﹣5，﹣3）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及关于原点对称点的性质,正确得出D点坐标是解题关键
解答题
14.（2019年重庆市（a卷））如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
（1）若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，求△ACD的面积．
（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝CM+2CE．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【分析】（1）作CG⊥AD于G，设PG＝x，则DG＝4﹣x，在Rt△PGC和Rt△DGC中，由勾股定理得出方程，解方程得出x＝1，即PG＝1，得出GC＝4，求出AD＝6，由三角形面积公式即可得出结果，
（2）连接NE，证明△NBF≌△EAF得出BF＝AF，NF＝EF，证明△ANB≌△CEA得出∠CAE＝∠ABN，推出∠ABF＝∠FAC＝45°，得出FC＝AF＝BF，再证明△ANE≌△ECM得出CM＝NE，由NF＝NE＝MC，得出AF＝MC+EC，即可得出结论．
（1）解：作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG＝x，则DG＝4﹣x，
在Rt△PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x2，
在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2，
∴17﹣x2＝9+8x﹣x2，
解得：x＝1，即PG＝1，
∴GC＝4，
∵DP＝2AP＝4，
∴AD＝6，
∴S△ACD＝×AD×CG＝×6×4＝12，
（2）证明：连接NE，如图2所示：
∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF＝∠AEB+∠EAF＝∠AEB+∠MEC＝90°，
∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC，
在△NBF和△EAF中，，
∴△NBF≌△EAF（AAS），
∴BF＝AF，NF＝EF，
∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，
∵∠ANB＝90°+∠EAF，∠CEA＝90°+∠MEC，
∴∠ANB＝∠CEA，
在△ANB和△CEA中，，
∴△ANB≌△CEA（SAS），
∴∠CAE＝∠ABN，
∵∠NBF＝∠EAF，
∴∠ABF＝∠FAC＝45°
∴FC＝AF＝BF，
∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF，
在△ANE和△ECM中，，
∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴CM＝NE，
又∵NF＝NE＝MC，
∴AF＝MC+EC，
∴AD＝MC+2EC．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
15.（2019年湖北省荆门市）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．
（1）求平行四边形ABCD的面积，
（2）求证：BD⊥BC．
【考点】勾股定理的逆定理，平行四边形的性质
【分析】（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，设BE＝x，由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积，
（2）利用全等三角形的判定与性质得出AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝，从而求出BD的长，在△BCD中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直．
解：（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：
设BE＝x，CE＝h
在Rt△CEB中：x2+h2＝9①
在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②
联立①②解得：x＝，h＝
∴平行四边形ABCD的面积＝AB?h＝12，
（2）作DF⊥AB，垂足为F
∴∠DFA＝∠CEB＝90°
∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠DAF＝∠CBE
又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC
∴△ADF≌△BCE（AAS）
∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝
在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16
∴BD＝4
∵BC＝3，DC＝5
∴CD2＝DB2+BC2
∴BD⊥BC．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合性较强．
16.（2019年江苏省徐州市）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：
（1）∠ECB＝∠FCG，
（2）△EBC≌△FGC．
【考点】全等三角形的判定，平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题）
【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，即可得到∠ECB＝∠FCG，
（2）依据平行四边形的性质，即可得出∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，即可得到∠B＝∠G，BC＝CG，进而得出△EBC≌△FGC．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，
由折叠可得，∠A＝∠ECG，
∴∠BCD＝∠ECG，
∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，
∴∠ECB＝∠FCG，
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，AD＝BC，
由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，
∴∠B＝∠G，BC＝CG，
又∵∠ECB＝∠FCG，
∴△EBC≌△FGC（ASA）．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等，平行四边形的对角线互相平分．
17.（2019年江苏省淮安市）已知：如图，在?ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE＝DF．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，又由点E、F分别是?ABCD边AD、BC的中点，可得DE＝BF，继而证得四边形BFDE是平行四边形，即可证得结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E、F分别是?ABCD边AD、BC的中点，
∴DE＝AD，BF＝BC，
∴DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
18.（2019年江苏省常州市）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．
（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是 ，
（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．
【考点】平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题）
【分析】（1）根据AD＝C'B，ED＝EB，即可得到AE＝C'E，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'＝∠EC'A＝∠EBD＝∠EDB，进而得出AC'∥BD，
（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB＝∠EBD，进而得出BE＝DE．
解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，
故答案为：AC′∥BD，
（2）EB与ED相等．
由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝DE．
【点评】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
19.（2019年四川省广安市）如图，点E是?ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，，求?ABCD的周长．
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质
【分析】先证明，得到，从而可求平行四边形的周长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又，
．
∴平行四边形ABCD的周长为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是借助全等转化相等线段．
20.（2019年广西柳州市）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：
【考点】全等三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定
【分析】连接AC，由SSS证明△ABC≌△CDA得出∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，证出AB∥CD，BC∥AD，即可得出结论．
证明：连接AC，如图所示：
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．
21.（2019年浙江省衢州市）如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点．
（2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点．
【考点】平行四边形的判定；作图—应用与设计作图．
【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．
（2）根据平行四边形的判定即可解决问题．
解：（1）线段CD即为所求．
（2）平行四边形ABEC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22.（2019年湖北省武汉市）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．
（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．
（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．
【考点】平行线的判定与性质，作图—应用与设计作图
【分析】（1）作平行四边形AFCD即可得到结论，
（2）根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论，
（3）作平行四边形AEMB即可得到结论．
解：（1）如图所示，线段AF即为所求，
（2）如图所示，点G即为所求，
（3）如图所示，线段EM即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，平行线四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出图形是解题的关键．
23.（2019年安徽省）如图，点E在?ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设?ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值
【考点】三角形全等的判定和性质,平行四边形的判定和性质
【分析】（1）已知AD=BC，可以通过证明，来证明（ASA）；
（2）连接EF，易证四边形ABEF，四边形CDFE为平行四边形，则，即可得=2.
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
，
又，
，
，
，
同理可得：，
在和中，
（2）解：连接EF，
，
，
又，
∴四边形ABEF，四边形CDFE为平行四边形，
∴，
∴，
设点E到AB的距离为h1，到CD的距离为h2，线段AB到CD的距离为h，
则h= h1+ h2,
∴，
即=2.
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及相关面积计算，熟练掌握所学性质定理并能灵活运用进行推理计算是解题的关键.
24.（2019年湖南省郴州市）如图，?ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质
【分析】利用平行四边形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形，
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE（ASA），
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
25.（2019年江苏省镇江市）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A．C分别作EF的垂线，垂足为G、H．
（1）求证：△AGE≌△CHF，
（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质
【分析】（1）由垂线的性质得出∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，由平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG＝∠CFH，由AAS即可得出△AGE≌△CHF，
（2）连接AH、CG，由全等三角形的性质得出AG＝CH，证出四边形AHCG是平行四边形，即可得出结论．
（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，
∴∠AEG＝∠CFH，
在△AGE和△CHF中，，
∴△AGE≌△CHF（AAS），
（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：
连接AH、CG，如图所示：
由（1）得：△AGE≌△CHF，
∴AG＝CH，
∵AG∥CH，
∴四边形AHCG是平行四边形，
∴线段GH与AC互相平分．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
26.（2019年江苏省南京 ）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证△ADF≌△CEF．
【考点】平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定
【分析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD＝CE，依据，即可得出∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF．
证明：∵，
∴四边形是平行四边形.
∴.
∵是的中点，
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
27.（2019年浙江省湖州市）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形，
（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的判定定理即可得到结论，
（2）根据直角三角形的性质得到DF＝DB＝DA＝AB＝3，推出四边形BEFD是菱形，于是得到结论．
（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴DF∥BE，EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形，
（2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，
∴DF＝DB＝DA＝AB＝3，
∵四边形BEFD是平行四边形，
∴四边形BEFD是菱形，
∵DB＝3，
∴四边形BEFD的周长为12．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
