第四章 图形的性质 第28节 圆的有关概念与性质■考点 1．圆的有关概念
(1)圆：平面上到定点的距离等于 的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为 ，定长为 ．21教育网
(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做 ，简称 ，大于半圆的弧称为 ，小于半圆的弧称为 ．www.21-cn-jy.com
(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做 ，经过圆心的弦叫做 ．
(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．
(5)圆心角：顶点在 的角叫做圆心角．
(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是 ．
(7)确定圆的条件：过已知一点可作 个圆，过已知两点可作 个圆，过不在同一条直线上的三点可作 圆．www-2-1-cnjy-com
(8)圆的对称性：圆是 _____对称图形，其对称轴是 ；圆是 对称图形，对称中心为 ，并且圆具有旋转不变性．2-1-c-n-j-y
■考点2.垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径 ，并且 ．
②平分弦（不是直径）的直径 弦，并且平分弦所对的两条弧，
③弦的垂直平分线经过 ，并且 ．
④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．
■考点3. 圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
■考点4.圆周角定理及推论
①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于 ．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 ．21·世纪*教育网
推论2：直径所对的网周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 ．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 ．
②圆内接四边形的任意一组对角 ．
■考点1.圆的有关概念
◇典例：
【2006?黄石】正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定________个不同的圆．
【考点】确定圆的条件．
【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出．
解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．
【点评】本题主要考查了确定圆的条件，不在同一条直线上的三点可以确定一个圆．
◆变式训练
【2017?宁夏】如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 __________
【考点】确定圆的条件．
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O， 以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆， 由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点， 故答案为：5．
【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
■考点2.垂径定理及其推论
◇典例：
（2018年贵州安顺市）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
【考点】勾股定理；垂径定理
【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM===3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC===4cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC===2cm．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
◆变式训练
（2019年广西梧州市）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
■考点3. 圆心角、弧、弦的关系
◇典例
（2018年黑龙江省牡丹江市）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【分析】延长AD交⊙O于E，利用圆心角、弧、弦的关系证明即可．
证明：延长AD交⊙O于E，
∵OC⊥AD，
∴，AE=2AD，
∵，
∴，
∴AB=AE，
∴AB=2AD．
【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答．
◆变式训练
（2017年浙江省台州市）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求 PC2+PB2的值
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰直角三角形
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证.
（2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.
（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°,
∴∠PEA=∠ABC=45°
又∵PE是⊙O的直径，
∴∠PAE=90°,
∴∠PEA=∠APE=45°,
∴ △APE是等腰直角三角形.
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB,
同理AP=AE,
又∵∠CAB=∠PAE=90°,
∴∠CAP=∠BAE,
∴△CPA≌△BAE,
∴CP=BE,
在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,
∴PB2+BE2=PE2,
∴CP2+PB2=PE2=4.
【点评】?本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
■考点4. 圆周角定理及其推论
◇典例：
（2019年广西贵港市）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
【分析】根据圆周角定理即可求出答案．
解：∵＝，∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠BPC＝∠BOC＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
（2019年湖北省十堰市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（ ）
A．3 B．3 C．4 D．2
【考点】勾股定理，垂径定理，圆内接四边形的性质
【分析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．
解：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CDA，
∴AC＝AD＝5，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝＝＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．
◆变式训练
（2019年辽宁省辽阳市）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝ ．
（2019年江苏省盐城市）如图，点A．B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝ °．
（2019年四川省凉山州）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，②两点之间线段最短，③相等的圆心角所对的弧相等，④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2019年湖北省黄冈市）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
（2019年广西柳州市）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（ ）
A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D
（2019年吉林省）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
（2019年江苏省镇江市）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
（2019年江苏省连云港市）如图，点A．B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 ．
（2019年江苏省常州市）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ °．
（2019年湖南省娄底市）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ ．
（2019年贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为_______；
（2019年浙江省嘉兴市）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
（2019年江苏省南京 ）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．
选择题
（2019年湖南省湘西州）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．相等的两个角是对顶角
D．圆内接四边形对角相等
（2019年四川省广安市）下列命题是假命题的是（ ）
A．函数的图象可以看作由函数的图象向上平移6个单位长度而得到
B．抛物线与x轴有两个交点
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．垂直于弦的直径平分这条弦
（2019年山东省菏泽市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
（2019年北京市）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD，
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N，
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是( )．
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
（2019年湖北省宜昌市）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
（2019年四川省眉山市）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（ ）
A．6 B．3 C．6 D．12
（2019年四川省广元市）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4.8
（2019年山东省威海市）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（ ）
A．+ B．2+ C．4 D．2+2
（2019年山东省聊城市）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（ ）
A．35° B．38° C．40° D．42°
（2019年山东省滨州市（a卷））如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
【考点】圆周角定理
填空题
（2016年浙江省杭州市）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A．C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（ ）
A．DE=EB B． DE=EB C． DE=DO D．DE=OB
（2019年黑龙江省绥化市）半径为的是锐角三角形的外接圆，，连接，延长交弦于点．若是直角三角形，则弦的长为_____．
（2019年天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，，，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．
（Ⅰ）线段AB的长等于_______________；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_____．
（2019年山东省潍坊市）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增，一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 ．（n为正整数）
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为 寸．
（2019年黑龙江省伊春市）如图，在⊙中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为_____．
（2019年湖北省随州市）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为 ．
（2019年湖南省株洲市）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝ 度．
（2019年四川省宜宾市）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是 ．
（2019年四川省凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是 ．
（2019年山东省东营市）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是 ．
（2019年浙江省湖州市）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是 ．
（2019年浙江省台州市）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为 ．
解答题
（2019年黑龙江省哈尔滨市）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上；
（1）在图1中画出以为底边的等腰直角，点在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8.
（2019年四川省自贡市）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.
（2019年广西河池市）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D，连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑），
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．
第四章 图形的性质 第28节 圆的有关概念与性质■考点 1．圆的有关概念
(1)圆：平面上到定点的距离等于 定长 的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为 圆心 ，定长为 半径 ．【版权所有：21教育】
(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 ，简称 弧 ，大于半圆的弧称为 优弧 ，小于半圆的弧称为 劣弧 ．
(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做 弦 ，经过圆心的弦叫做 直径 ．
(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．
(5)圆心角：顶点在 圆心 的角叫做圆心角．
(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是 圆周角 ．
(7)确定圆的条件：过已知一点可作 无数 个圆，过已知两点可作 无数 个圆，过不在同一条直线上的三点可作 一个 圆．
(8)圆的对称性：圆是 轴 对称图形，其对称轴是 直径所在的直线 ；圆是 中心 对称图形，对称中心为 圆心 ，并且圆具有旋转不变性．
■考点2.垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径 平分弦 ，并且 平分弦所对的两条弧 ．
②平分弦（不是直径）的直径 垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧，
③弦的垂直平分线经过 圆心 ，并且 平分弦所对的两条弧 ．
④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．
■考点3. 圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
■考点4.圆周角定理及推论
①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于 它所对圆心角的一半 ．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等 ．
推论2：直径所对的网周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 直径 ．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形 ．
②圆内接四边形的任意一组对角 互补 ．
■考点1.圆的有关概念
◇典例：
【2006?黄石】正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定________个不同的圆．
【考点】确定圆的条件．
【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出．
解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．
【点评】本题主要考查了确定圆的条件，不在同一条直线上的三点可以确定一个圆．
◆变式训练
【2017?宁夏】如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 __________
【考点】确定圆的条件．
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O， 以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆， 由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点， 故答案为：5．
【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
■考点2.垂径定理及其推论
◇典例：
（2018年贵州安顺市）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
【考点】勾股定理；垂径定理
【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM===3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC===4cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC===2cm．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
◆变式训练
（2019年广西梧州市）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【考点】勾股定理，垂径定理
【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2，
证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案．
解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
■考点3. 圆心角、弧、弦的关系
◇典例
（2018年黑龙江省牡丹江市）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【分析】延长AD交⊙O于E，利用圆心角、弧、弦的关系证明即可．
证明：延长AD交⊙O于E，
∵OC⊥AD，
∴，AE=2AD，
∵，
∴，
∴AB=AE，
∴AB=2AD．
【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答．
◆变式训练
（2017年浙江省台州市）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求 PC2+PB2的值
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰直角三角形
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证.
（2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.
（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°,
∴∠PEA=∠ABC=45°
又∵PE是⊙O的直径，
∴∠PAE=90°,
∴∠PEA=∠APE=45°,
∴ △APE是等腰直角三角形.
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB,
同理AP=AE,
又∵∠CAB=∠PAE=90°,
∴∠CAP=∠BAE,
∴△CPA≌△BAE,
∴CP=BE,
在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,
∴PB2+BE2=PE2,
∴CP2+PB2=PE2=4.
【点评】?本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
（2019年湖北省十堰市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（ ）
A．3 B．3 C．4 D．2
【考点】勾股定理，垂径定理，圆内接四边形的性质
【分析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．
解：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CDA，
∴AC＝AD＝5，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝＝＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．
■考点4. 圆周角定理及其推论
◇典例：
（2019年广西贵港市）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
【分析】根据圆周角定理即可求出答案．
解：∵＝，∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠BPC＝∠BOC＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
（2019年湖北省十堰市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（ ）
A．3 B．3 C．4 D．2
【考点】勾股定理，垂径定理，圆内接四边形的性质
【分析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．
解：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CDA，
∴AC＝AD＝5，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝＝＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．
◆变式训练
（2019年辽宁省辽阳市）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝ ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
【分析】连接OB，求出∠D，利用三角形的外角的性质解决问题即可．
解：连接OB．
∵＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝50°，
∴∠BDC＝∠BOC＝25°，
∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，
∴∠OED＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
（2019年江苏省盐城市）如图，点A．B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝ °．
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．
解：连接EA，
∵为50°，
∴∠BEA＝25°，
∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEA+∠C＝180°，
∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，
故答案为：155．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
（2019年四川省凉山州）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，②两点之间线段最短，③相等的圆心角所对的弧相等，④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题与定理
【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可．
解：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，假命题，
②两点之间线段最短，真命题，
③相等的圆心角所对的弧相等，假命题，
④平分弦的直径垂直于弦，假命题，
真命题的个数是1个，
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
（2019年湖北省黄冈市）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【考点】勾股定理的应用，垂径定理的应用
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
（2019年广西柳州市）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（ ）
A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D
【考点】圆周角定理
【分析】直接利用圆周角定理进行判断．
解：∵∠A与∠D都是所对的圆周角，
∴∠D＝∠A．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2019年吉林省）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．
解：∵∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，
∵∠AOP＝55°，
∴∠POB＝45°，
故选：B．
【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．
（2019年江苏省镇江市）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．
解：连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，
∵＝，
∴∠CAB＝∠DAB＝35°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
（2019年江苏省连云港市）如图，点A．B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 ．
【考点】等边三角形的判定和性质，圆周角定理
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．
解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形
∴OB＝BC＝6，
故答案为6．
【点评】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．
（2019年江苏省常州市）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ °．
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
【分析】先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．
解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDB＝∠BOC＝30°．
故答案为30．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2019年湖南省娄底市）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ ．
【考点】圆周角定理
【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．
解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴AD＝AB＝×2＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（2019年贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为_______；
【考点】圆内接四边形的性质
【分析】直接利用圆内接四边形的性质，即可解答
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝100°，
故答案为：100°
【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，难度不大
（2019年浙江省嘉兴市）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
【考点】勾股定理，垂径定理
【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出即可．
解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠COD＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时OC＝，
∴CD的最大值为＝AB＝1＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．
（2019年江苏省南京 ）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定
【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．
解：如图，连接.
∵，
∴.
∴，即.
∴.
∴.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
选择题
（2019年湖南省湘西州）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．相等的两个角是对顶角
D．圆内接四边形对角相等
【考点】命题与定理
【分析】由平行线的判定方法得出A是假命题，由平行四边形的判定定理得出B是真命题，由对顶角的定义得出C是假命题，由圆内接四边形的性质得出D是假命题，即可得出答案．
解：A/同旁内角相等，两直线平行，假命题，
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，真命题，
C．相等的两个角是对顶角，假命题，
D．圆内接四边形对角相等，假命题，
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质，要熟练掌握．
（2019年四川省广安市）下列命题是假命题的是（ ）
A．函数的图象可以看作由函数的图象向上平移6个单位长度而得到
B．抛物线与x轴有两个交点
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．垂直于弦的直径平分这条弦
【考点】命题与定理，一次函数的平移，抛物线与坐标轴的交点、正方形的判定，垂径定理
【分析】利用一次函数的平移、抛物线与坐标轴的交点、正方形的判定及垂径定理分别判断后即可确定正确的选项．
解：A．函数的图象可以看作由函数的图象向上平移6个单位长度而得到，正确，是真命题；
B、抛物线中，与x轴有两个交点，正确，是真命题；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，是假命题；
D、垂直与弦的直径平分这条弦，正确，是真命题，
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解一次函数的平移、抛物线与坐标轴的交点、正方形的判定及垂径定理的知识．
（2019年山东省菏泽市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
【考点】垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定，圆周角定理
【分析】由圆周角定理和角平分线得出∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠OBC，得出∠DBC＝∠OCB，证出OC∥BD，选项A成立，
由平行线的性质得出AD⊥OC，选项B成立，
由垂径定理得出AF＝FD，选项D成立，
△CEF和△BED中，没有相等的边，△CEF与△BED不全等，选项C不成立，即可得出答案．
解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，
∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，
∴AD⊥BD，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，选项A成立，
∴AD⊥OC，选项B成立，
∴AF＝FD，选项D成立，
∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立，
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．
（2019年北京市）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD，
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N，
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作图—复杂作图，圆周角定理
【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
解：由作图知CM＝CD＝DN，
∴∠COM＝∠COD，故A选项正确，
∵OM＝ON＝MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∵CM＝CD＝DN，
∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确，
设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，
则∠OCD＝∠OCM＝，
∴∠MCD＝180°﹣α，
又∵∠CMN＝∠OCN＝α，
∴∠MCD+∠CMN＝180°，
∴MN∥CD，故C选项正确，
∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是( )．
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【考点】圆周角定理
【分析】设圆心为，连接，如图，先证明为等腰直角三角形得到，然后根据圆周角定理确定的度数．
解：设圆心为，连接，如图，
∵弦的长度等于圆半径的倍，
即，
∴，
∴为等腰直角三角形， ，
∴°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2019年湖北省宜昌市）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可得到∠A的度数．
解：∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠A＝∠BOC＝50°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2019年四川省眉山市）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（ ）
A．6 B．3 C．6 D．12
【考点】垂径定理，圆周角定理
【分析】先根据垂径定理得到CE＝DE，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝45°，则△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝3，从而得到CD的长．
解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OC＝×6＝3，
∴CD＝2CE＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
（2019年四川省广元市）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4.8
【考点】勾股定理，垂径定理，圆周角定理
【分析】先根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则利用勾股定理计算出BC＝3，再根据垂径定理得到CD＝AD＝AC＝4，然后利用勾股定理计算BD的长．
解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∵OD⊥AC，
∴CD＝AD＝AC＝4，
在Rt△CBD中，BD＝＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
（2019年山东省威海市）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（ ）
A．+ B．2+ C．4 D．2+2
【考点】坐标与图形性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理
【分析】连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，根据圆周角定理得到∠APB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝30°，由垂径定理得到AD＝BD＝3，解直角三角形得到PD＝，PA＝PB＝PC＝2，根据勾股定理得到CE＝＝＝2，于是得到结论．
解：连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
∵∠ACB＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∵A（﹣5，0），B（1，0），
∴AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2，
∵PD⊥AB，PE⊥BC，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，
∴CE＝＝＝2，
∴OC＝CE+OE＝2+，
∴点C的纵坐标为2+，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
（2019年山东省聊城市）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（ ）
A．35° B．38° C．40° D．42°
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，再由圆周角定理得出∠DOE＝2∠ACD＝40°即可，
解：连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，
∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
（2019年山东省滨州市（a卷））如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
【考点】圆周角定理
【分析】连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，
∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
填空题
（2016年浙江省杭州市）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A．C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（ ）
A．DE=EB B． DE=EB C． DE=DO D．DE=OB
【考点】圆的有关知识，三角形的外角
【分析】连接EO，只要证明∠D=∠EOD即可解决问题．
解：连接EO．
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，
∴∠B+∠D=3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，
∴∠DOE=∠D，
∴ED=EO=OB，
故选D．
【点评】本题考查圆的有关知识、三角形的外角等知识，解题的关键是添加除以辅助线，利用等腰三角形的判定方法解决问题，属于中考常考题型．
（2019年黑龙江省绥化市）半径为的是锐角三角形的外接圆，，连接，延长交弦于点．若是直角三角形，则弦的长为_____．
【考点】垂径定理，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质 ，勾股定理
【分析】分∠ODB=90°与∠DOB=90°两种情况分别进行求解即可.
解：如图1，当时，
即，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
如图2，当，
，
是等腰直角三角形，∠OBC=45°，
，
综上所述，若是直角三角形，则弦的长为或，
故答案为：或.
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意分类讨论思想的运用.
（2019年天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，，，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．
（Ⅰ）线段AB的长等于_______________；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_____．
【考点】应用与设计作图、勾股定理、垂径定理、三角形的全等的性质与判定、等腰三角形的性质
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可求出AB的长
（Ⅱ）先确定圆心，根据∠EAF=取格点E、F并连接可得EF为直径，与AC相交即可确定圆心的位置，先在BO上取点P,设点P满足条件，再根据点D为AB的中点，根据垂径定理得出ODAB，再结合已知条件，得出，设PC和DO的延长线相交于点Q，根据ASA可得,可得OA=OQ，从而确定点Q在圆上，所以连接并延长，交于点，连接并延长，与点的连线相交于点，连接即可找到点P
（Ⅰ）解：
故答案为：
（Ⅱ）取圆与网格线的交点，连接，与相交于点O，
∵∠EAF=，∴EF为直径,
∵圆心在边AC上∴点O即为圆心
∵与网格线的交点D是AB中点，连接OD则ODAB，
连接OB，∵,OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=，∠DOA=∠DOB=，
在BO上取点P ，并设点P满足条件，∵
∵，
∴∠APO=∠CPO=，
设PC和DO的延长线相交于点Q，则∠DOA=∠DOB=∠POC=∠QOC=
∴∠AOP=∠QOP=，
∵OP=OP, ∴ ∴OA=OQ,
∴点Q在圆上，∴连接并延长，交于点，连接并延长，与点的连线相交于点，连接,则点P即为所求
【点睛】本题主要考查了应用与设计作图、勾股定理、垂径定理、三角形的全等的性质与判定、等腰三角形的性质等知识，是一道综合性较强的题目，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
（2019年山东省潍坊市）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增，一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 ．（n为正整数）
【考点】规律型：点的坐标，勾股定理，垂径定理
【分析】连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，由勾股定理得出A1P1＝＝，同理：A2P2＝，A3P3＝，……，得出P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……，得出规律，即可得出结果．
解：连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝＝＝，
同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，
∴P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……，
…按照此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，）
故答案为：（n，）．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理，由题意得出规律是解题的关键．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为 寸．
【考点】勾股定理，垂径定理的应用
【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．
解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：26．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
（2019年黑龙江省伊春市）如图，在⊙中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为_____．
【考点】圆周角与圆心角的关系
【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
解：，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】此题考查圆周角与圆心角，解题关键在于求出
（2019年湖北省随州市）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为 ．
【考点】圆周角定理
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．
解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠C＝∠AOB＝40°．
故答案为40°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2019年湖南省株洲市）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝ 度．
【考点】垂径定理，圆周角定理
【分析】由直角三角形的性质得出∠OCE＝25°，由等腰三角形的性质得出∠ODC＝∠OCE＝25°，求出∠DOC＝130°，得出∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，再由圆周角定理即可得出答案．
解：连接OD，如图：
∵OC⊥AB，
∴∠COE＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCE＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，
∴∠BAD＝∠BOD＝20°，
故答案为：20．
【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
（2019年四川省宜宾市）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是 ．
【考点】圆周角定理
【分析】由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，所以∠A＝∠ACB＝60°，得到△ACB为等边三角形，又AC＝2，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．
解：∵∠A＝∠BDC，
而∠ACB＝∠CDB＝60°，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴△ACB为等边三角形，
∵AC＝2，
∴圆的半径为2，
∴⊙O的面积是4π，
故答案为：4π．
【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．
（2019年四川省凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是 ．
【考点】勾股定理，垂径定理，圆周角定理
【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半径是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
（2019年山东省东营市）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是 ．
【考点】三角形中位线定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质
【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN＝AB，
∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，
连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，
∵AB′是⊙O的直径，
∴∠ACB′＝90°．
∵∠ABC＝45°，AC＝5，
∴∠AB′C＝45°，
∴AB′＝＝＝5，
∴MN最大＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
（2019年浙江省湖州市）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
【分析】直接根据圆周角定理求解．
解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，
∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．
故答案为30°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2019年浙江省台州市）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为 ．
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，轴对称的性质
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．
解：∵圆内接四边形ABCD，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，
∵点D关于AC的对称点E在边BC上，
∴∠D＝∠AEC＝116°，
∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．
故答案为：52°．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出∠AEC的度数是解题关键．
解答题
（2019年黑龙江省哈尔滨市）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上；
（1）在图1中画出以为底边的等腰直角，点在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8.
【考点】线段垂直平分线，垂径定理
【分析】（1）由题可知，点B满足这两个条件，说明点B在AC的垂直平分线上，说明点B在以AC为直径的圆上，故可作的垂直平分线及以为直径的圆，其交点即为所求；（2）由题可知，点D满足CA=CD，故可以为圆心，为半径作圆，交于一格点D，经计算的面积为8，故点D即为所求.
解；（1）作的垂直平分线，作以为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点；
（2）以为圆心，为半径作圆，格点即为点；
【点睛】本题主要考查了利用线段垂直平分线的性质及圆的性质作图，正确理解题意并知晓作图依据是解题的关键.
（2019年四川省自贡市）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.
【考点】圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质
【分析】（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
证明（1）∵AB=CD，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
（2019年广西河池市）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D，连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑），
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．
【考点】圆周角定理，作图—基本作图
【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E，
（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD＝∠BOD，则∠BOD＝∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE＝AC．
解：（1）如图所示，
（2）OE∥AC，OE＝AC．
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∵∠BAD＝∠BOD，
∴∠BOD＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，OE＝AC．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）．也考查了圆周角定理．
