北师大版数学八年级上册5.6 二元一次方程与一次函数教学设计
课题
5.6 二元一次方程与一次函数
单元
第五单元
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识与技能：1.理解二元一次方程与一次函数的关系.
2.掌握两直线在同一坐标系中的位置关系,能根据图象确定二元一次方程组的解.
过程与方法：通过学生的思考、操作和观察,培养学生归纳、概括的能力.
情感态度与价值观：通过积极参与数学学习活动,培养学生独立思考、积极探索、勇于创新、团结合作的精神.
重点
理解二元一次方程组与一次函数图象的关系.
难点
应用方程与函数的联系解决问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：1.什么叫二元一次方程的解?
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
2.一次函数的图象是什么?
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，
学生思考回答问题。
通过设置问题情境,初步直观地感受到二元一次方程与一次函数之间的相互关系.
讲授新课
师：(1)方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个.
无数个
(2)在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗?
都在一次函数y=5-x的图象上
(3)在一次函数y=5-x的图象上任取一点,它的坐标适合方程x+y=5吗?
适合方程x+y=5
(4)以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗?
相同
你能发现什么？
任何一个二元一次方程都可化成一次函数表达式的形式.一个二元一次方程的解有无数个,以一个二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象相同,是一条直线.例如:方程x+y=5,可化为y=-x+5的形式,方程x+y=5的解有无数个,以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同,是同一条直线.
【例】以下四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是( C )
1.解方程组
解：利用消元法，解方程组得
X=2 y=3
2.请在同一直角坐标系内分别画出函数 y=－x+5与y=2x－1的图象，找出它们的交点坐标，并比较与上述方程的解有什么联系．
思考：方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系？
【总结归纳】
确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；
解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.
现在你有哪些方法求方程组的解?
代入消元法、加减消元法和图象法三种
用图象法解二元一次方程组的步骤：
①将方程组中每个方程分别转化成一次函数表达式；
②在同一坐标系中分别画出转化后的两个一次函数的图象；
③根据两个函数图象的交点坐标写出方程组的解．
【例】用图象法解方程组
解：由x＋y＝2，得y＝－x＋2；
由2x＋y＝1，得y＝－2x＋1.
在同一直角坐标系中作出一函数y＝－x＋2的图象l1和y＝－2x＋1的图象l2，如图，
观察图象，得l1，l2的交点为P(－1，3)．
所以方程组 的解是
想一想：在同一直角坐标系内，一次函数y = x＋１和y=x－2的图象(如图)有怎样的位置关系？方程组解的情况如何？你发现了什么？
两条直线交点的个数与二元一次方程组解的个数的关系：
学生独立在学案上完成后小组讨论交流,小组代表发言,逐步总结出二元一次方程组的解和相应的两条直线的交点的关系,教师适时点拨.
让学生回顾从函数表达式上直接判断两个一次函数图象的关系(两个一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2,若k1≠k2则它们的图象(直线l1与l2)相交).
给学生点出图象法的步骤(方程化成函数关系式、画图象、找交点、估坐标、写出解),要指出利用一次函数的图象可以粗略估计两直线交点坐标,也可以找到二元一次方程组的近似解.要得到准确解,一般还是用代入消元法或加减消元法解方程组.
四人一个小组合作交流,学生根据分工,两名同学解方程组,两名同学在学案的直角坐标系中画出一次函数
y = x＋１和y=x-2的图象.完成后,在小组内交流.教师巡回指导,气氛热烈.
学生先自己列出二元一次方程组,再求解,比直接给出方程组求解理解更深刻,并从中展示学生不同的解法,即代入消元法和加减消元法,为做铺垫.
类比前面的问题和思考方法,由学生自主学习,十分自然地建立了数形结合的意识
学生再次感受到了“数”(二元一次方程组)的问题可以转化为“形”(两条直线)来处理,反之“形”的问题可以转化成“数”来处理,培养了学生的创新意识和变式能力.
类比前面的问题和思考方法,由学生自主学习,十分自然地建立了数形结合的意识
通过“例题探索”使学生初步学会建立适当的图表,理清题目中的数量关系,列出方程组,从而提高学生分析问题和解决问题的能力.
课堂练习
1.若二元一次方程3x－2y＝1所对应的直线是l，则下列各点不在直线l上的是( B )
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(－3，－5) D.
2.若直线y＝－x＋a与直线y＝x＋b的交点坐标为(2，8)，则a－b的值为( B )
A．2 B．4 C．6 D．8
3.把方程x＋y＝2的两组解 和组成有序实数对(1，1)，(0，2)，过这两点画直线l，下列各点不在直线l上的是( B )
A．(4，－2) B．(2，1)
C．(－2，4) D．(－4，6)
4.已知一次函数y＝3x＋6与y＝2x＋b(b为常数)的图象的交点为
P(－10，－24)，求方程组 的解和b的值．
解：由题意，可得方程组的解为
X=-10 y=-24
将X=-10 y=-2代入y＝2x＋b，得－24＝2×(－10)＋b，所以b＝－4.
5.如图，已知直线y＝2x＋3与直线y＝－2x－1.
(1)求两直线的交点C的坐标．
(2)求△ABC的面积．
解：(1)由题意，可得方程组的解为
所以两直线的交点C的坐标为(－1，1)．
(2)直线y＝2x＋3与y轴交点A的坐标为(0，3)，直线y＝－2x－1与y轴交点B的坐标为(0，－1)，
所以OA＝3，OB＝1.所以AB＝4.
所以S△ABC＝×4×1＝2.
6.（呼和浩特）若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y= x+b-1上，则常数b=（ B）
A.B．2 C．-1 D．1
7.（2019?贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组
的解是___________.
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
二元一次方程和一次函数图象的关系：
1.以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上.
2.一次函数图象上的点的坐标都适合对应的二元一次方程.
方程组和对应的两条直线的关系：
（1）方程组的解是对应的两条直线的交点坐标
（2）两条线的交点坐标是对应的方程组的解
特别的：两平行直线的k相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解,对应的两直线平行。
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
5.6二元一次方程与一次函数
1.二元一次方程的解与一次函数图象的关系
2.二元一次方程组与对应两条相交直线的关系
3.二元一次方程组与对应两条平行线的关系
课件27张PPT。5.6 二元一次方程与一次函数北师版 八年级上新知导入1.什么叫二元一次方程的解?适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．2.一次函数的图象是什么?一次函数y=kx+b的图象是一条直线，新知讲解(1)方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个.无数个新知讲解(2)在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗?y=-x+555都在一次函数y=5-x的图象上新知讲解(3)在一次函数y=5-x的图象上任取一点,它的坐标适合方程x+y=5吗?(4)以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗?适合方程x+y=5相同新知讲解任何一个二元一次方程都可化成一次函数表达式的形式.一个二元
次方程的解有无数个,以一个二元一次方程的所有解为坐标的点组
的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象相同,是一条直线
例如:方程x+y=5,可化为y=-x+5的形式,方程x+y=5的解有无数个
以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-x+5的
象相同,是同一条直线.你能发现什么？新知讲解【例】以下四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程
x－2y＝2的解的是( )C新知讲解1.解方程组解：利用消元法，解方程组得新知讲解2.请在同一直角坐标系内分别画出函数 y=－x+5与y=2x－1的图象，找出它们的交点坐标，并比较与上述方程的解有什么联系．新知讲解思考：方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系？新知讲解确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；
解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.现在你有哪些方法求方程组的解?代入消元法、加减消元法和图象法三种【总结归纳】新知讲解用图象法解二元一次方程组的步骤：
①将方程组中每个方程分别转化成一次函数表达式；
②在同一坐标系中分别画出转化后的两个一次函数的图象；
③根据两个函数图象的交点坐标写出方程组的解．新知讲解【例】用图象法解方程组解：由x＋y＝2，得y＝－x＋2；
由2x＋y＝1，得y＝－2x＋1.
在同一直角坐标系中作出一函数y＝－x＋2的图象l1和
y＝－2x＋1的图象l2，如图，
观察图象，得l1，l2的交点为P(－1，3)．
所以方程组 的解是
新知讲解想一想：在同一直角坐标系内，一次函数y = x＋１和y=x－2的图象(如图)有怎样的位置关系？方程组 解的情况如何？你发现了什么？新知讲解两条直线交点的个数与二元一次方程组解的个数的关系：方程组只有一个解；方程组无解；方程组有无数个解． 两条直线有交点(相交) 两条直线无交点(平行)两条直线是同一直线 (重合) 课堂练习1.若二元一次方程3x－2y＝1所对应的直线是l，则下列各点不在直线l上的是( )
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(－3，－5) D.B2.若直线y＝－x＋a与直线y＝x＋b的交点坐标为(2，8)，则a－b的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8B课堂练习3.把方程x＋y＝2的两组解 和 组成有序实数对
(1，1)，(0，2)，过这两点画直线l，下列各点不在直线l上的是( )
A．(4，－2) B．(2，1)
C．(－2，4) D．(－4，6)B课堂练习4.已知一次函数y＝3x＋6与y＝2x＋b(b为常数)的图象的交点为
P(－10，－24)，求方程组 的解和b的值．解：由题意，可得方程组 的解为 .
将 代入y＝2x＋b，得－24＝2×(－10)＋b，所以b＝－4.拓展提高5.如图，已知直线y＝2x＋3与直线y＝－2x－1.
(1)求两直线的交点C的坐标．
(2)求△ABC的面积．
拓展提高解：(1)由题意，可得方程组 的解为
所以两直线的交点C的坐标为(－1，1)．
(2)直线y＝2x＋3与y轴交点A的坐标为(0，3)，直线y＝－2x－1与y轴交点B的坐标为(0，－1)，
所以OA＝3，OB＝1.所以AB＝4.
所以S△ABC＝ ×4×1＝2.中考链接6.（呼和浩特）若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点
（x，y）都在直线y= x+b-1上，则常数b=（ ）B A. B．2 C．-1 D．1 中考链接7.（2019?贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组
的解是___________.课堂总结二元一次方程和一次函数图象的关系：
1.以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上.
2.一次函数图象上的点的坐标都适合对应的二元一次方程.
方程组和对应的两条直线的关系：
（1）方程组的解是对应的两条直线的交点坐标
（2）两条线的交点坐标是对应的方程组的解
特别的：两平行直线的k相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解,对应的两直线平行。板书设计5.6二元一次方程与一次函数
1.二元一次方程的解与一次函数图象的关系
2.二元一次方程组与对应两条相交直线的关系
3.二元一次方程组与对应两条平行线的关系
作业布置课本 P124 练习题
P124 习题5.7谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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