北师大版数学八年级上册5.4 应用二元一次方程组——增收节支教学设计
课题
5.4 应用二元一次方程组——增收节支
单元
第五单元
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识与技能：1.会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系,列出相应的二元一次方程组解决简单的实际问题.2.加强学生列方程组的技能训练,形成解决实际问题的一般性策略.
过程与方法：通过列方程组解决实际问题.
情感态度与价值观：通过列方程组解决实际问题,培养应用数学的意识,提高学习数学的趣味性、现实性、科学性.
重点
用列表的方式分析题目中的各个量的关系,加强学生列方程组的技能训练.
难点
借助列表分析问题中所蕴含的数量关系.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：用方程组解应用题的一般步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_____________；
(2)设元：用字母表示题目中的未知数，可________设未知数，也可__________设未知数；
(3)列方程组：挖掘题中的所有条件，找出两个与未知数相关的__________，并依此列出_________；
(4)解方程组：利用______________或____________解所列方程组，求出未知数的值；
(5)检验作答：检验所求的解是否符合题目的实际意义，然后作答．
生：数量关系
直接；间接；等量关系；方程组；代入消元法；加减消元法
提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．
讲授新课
某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?
【思考】某工厂去年的总收入设为x万元,今年的总收入比去年增加了20%,今年的总收入为 .?
今年的总收入=去年的总收入×(1+20%)=(1+20%)x万元.
【思考】这个工厂去年的总支出设为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出为 .?
今年的总支出=去年的总支出×(1-10%)=(1-10%)y万元.
【思考】这个工厂今年的利润为780万元,根据问题1,2,可得_________ =780万元.?
根据“利润=总收入-总支出”,得出(1+20%)x-(1-10%)y=780万元.
【分析】设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有
找出等量关系.
去年的总产值-去年的总支出=200万元，
今年的总产值-今年的总支出=780万元 ．
你能列出方程组吗？
解:设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有
因此,去年的总产值是2 000万元,总支出是1800万元.
【例】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要?
每餐甲、乙原料中含蛋白质如何表示呢?
每餐甲原料中含蛋白质=0.5×每餐甲原料的质量;
每餐乙原料中含蛋白质=0.7×每餐乙原料的质量;
每餐甲、乙原料中含铁质如何表示呢?
每餐甲原料中含铁质=1×每餐甲原料的质量;
每餐乙原料中含铁质=0.4×每餐乙原料的质量.
设每餐需甲原料x g,乙原料y g,那么你们能完成下面的图表吗?
你能从上面图表中找出等量关系吗?
营养品中的蛋白质=甲原料中所含蛋白质+乙原料中所含蛋白质;
营养品中的铁质=甲原料中所含铁质+乙原料中所含铁质.
根据等量关系,列出方程组,请完成问题的解答.
解:设每餐需甲原料x g,需乙原料y g,
根据题意,得方程组
0.5x+0.7y=35
x+0.4y=40
化简,得
5x+7y=350 ①
5x+2y=200 ②
②,得 5y=150 y=30
把y=30代入①,得x=28,即方程组的解为：
x=28
y=30
所以每餐需甲原料28 g,乙原料30 g.
通过上面两题的计算，你能发现什么？
由此我们可知，图表分析有利于理清题中的未知量、已知量以及等量关系，很容易列出方程组解决问题.
方程组解应用题时应掌握的几个技巧:
(1)列方程组时,要抓住关键词语,如:和、差、倍、几分之几、多、少、大、小等,要挖掘各类问题中的相等关系,如:相遇问题,相遇时二人所走路程之和等于两地的距离;浓度问题,稀释前后溶质不变;追及问题,速度差×时间=追及前相隔距离等;
(2)借助几何图形或表格,帮助我们理解题意,如:工程问题、行程问题可以利用线段图形来分析理解,浓度问题可以借助表格来帮助理解题意;
学生作相等关系、数量关系的分析，教师教学生画表格分析数量关系，并共同解答。
学生设出未知数，教师帮助学生画表格来分析数量关系并引导学生类比直接设未知数与间接设未知数的优劣。表示数量关系时，若有错误，及时纠正并着重讲解以免再次出现错误。
学生根据问题找出等量关系。
学生根据等量关系列出方程组。
学生在教师的引导下总结归纳。
本环节的安排,让学生真正地感受到数学来源于生活,通过自己亲身经历的事情以及遇到的一些常见的数学问题,要求学生能回顾一下增收节支的一些基础问题并解决这些问题,使学生能了解一下利润问题,为本节课的学习减少了一些困难.
通过学生熟悉的生活中的经济问题去激发学生学习本节课的兴趣.让学生明确“利润=收入-支出”这个关系式,为后面的学习做好铺垫,打下基础.通过完成表格使学生初步感受用适当的图表,可以帮助理清题目中的数量关系,从而提高分析问题和解决问题的能力.在实际问题的解决过程中,进一步提高学生解方程组的技能.
学生独立解决,教师巡视、指导学生,鼓励学生板演,完成后,教师校正答案、评价,并展示正确答案,规范解题步骤.
通过“例题探索”使学生初步学会建立适当的图表,理清题目中的数量关系,列出方程组,从而提高学生分析问题和解决问题的能力.
课堂练习
1.某所中学现有学生4 200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数依次是( A)
A．1 400人和2 800人 B．1 900人和2 300人
C．2 800人和1 400人 D．2 300人和1 900人
2.在社会主义新农村建设中，某村积极响应党的号召，大力发动农户扩大烟叶和蔬菜的种植面积，取得了较好的经济效益．今年该村的烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了800亩，其中烟叶种植面积增加了20%，蔬菜种植面积增加了30%，从而使该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了4 200亩．问该村去年种植烟叶和蔬菜的面积分别是多少亩？
解：设该村去年种植烟叶和蔬菜的面积分别为x亩、y亩．
依题意，得
解这个方程组，得
答：该村去年种植烟叶和蔬菜的面积分别是2 200亩、1 200亩．
3.长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%.现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为( B )
A．562.5元 B．875元
C．550元 D．750元
4.学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元，3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
解：(1)设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，
根据题意，得
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元．
(2)设购进A型节能灯m只，总费用为W元．
根据题意，得W＝5m＋7(50－m)＝－2m＋350.
50× ＝37.5，因为A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，所以m≤37.5.
由W＝350－2m可知，m的值越大，W的值越小．而m为正整数，
所以当m＝37时，W取最小值．
此时50－37＝13.
答：当购买A型节能灯37只，B型节能灯13只时，最省钱．
5.（2019?宁波）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ A ）
A．31元 B．30元 C．25元 D．19元
6.（2019?邵阳）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ D ）
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
这节课你学到了什么？
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
5.4列方程组解决实际问题
增长率、利润问题
利用图表分析等量关系
课件27张PPT。5.4 应用二元一次方程组——增收节支北师版 八年级上新知导入用方程组解应用题的一般步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_____________；
(2)设元：用字母表示题目中的未知数，可________设未知数，也可__________设未知数；
(3)列方程组：挖掘题中的所有条件，找出两个与未知数相关的__________，并依此列出_________；
(4)解方程组：利用______________或____________解所列方程组，求出未知数的值；
(5)检验作答：检验所求的解是否符合题目的实际意义，然后作答．数量关系直接间接等量关系方程组代入消元法加减消元法新知讲解某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?【思考】某工厂去年的总收入设为x万元,今年的总收入比去年增加了20%,今年的总收入为 .?今年的总收入=去年的总收入×(1+20%)=(1+20%)x万元.新知讲解某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?【思考】这个工厂去年的总支出设为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出为 .?今年的总支出=去年的总支出×(1-10%)=(1-10%)y万元.新知讲解某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?【思考】这个工厂今年的利润为780万元,根据问题1,2,可得_________ =780万元.?根据“利润=总收入-总支出”,得出(1+20%)x-(1-10%)y=780万元.新知讲解【分析】设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有(1+20﹪)x(1-10﹪)y780xy200找出等量关系.新知讲解去年的总产值-去年的总支出=200万元， 今年的总产值-今年的总支出=780万元 ．解:设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有因此,去年的总产值是2 000万元,总支出是1800万元.你能列出方程组吗？新知讲解【例】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要?每餐甲、乙原料中含蛋白质如何表示呢?
每餐甲原料中含蛋白质=0.5×每餐甲原料的质量;
每餐乙原料中含蛋白质=0.7×每餐乙原料的质量;新知讲解【例】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要?每餐甲、乙原料中含铁质如何表示呢?
每餐甲原料中含铁质=1×每餐甲原料的质量;
每餐乙原料中含铁质=0.4×每餐乙原料的质量.新知讲解设每餐需甲原料x g,乙原料y g,那么你们能完成下面的图表吗?0.5xx0.7y0.4y3540你能从上面图表中找出等量关系吗?
营养品中的蛋白质=甲原料中所含蛋白质+乙原料中所含蛋白质;
营养品中的铁质=甲原料中所含铁质+乙原料中所含铁质.新知讲解根据等量关系,列出方程组,请完成问题的解答.解:设每餐需甲原料x g,需乙原料y g,所以每餐需甲原料28 g,乙原料30 g.新知讲解由此我们可知，图表分析有利于理清题中的未知量、已知量以及等量关系，很容易列出方程组解决问题.通过上面两题的计算，你能发现什么？新知讲解方程组解应用题时应掌握的几个技巧:
(1)列方程组时,要抓住关键词语,如:和、差、倍、几分之几、多、少、大、小等,要挖掘各类问题中的相等关系,如:相遇问题,相遇时二人所走路程之和等于两地的距离;浓度问题,稀释前后溶质不变;追及问题,速度差×时间=追及前相隔距离等;
(2)借助几何图形或表格,帮助我们理解题意,如:工程问题、行程问题可以利用线段图形来分析理解,浓度问题可以借助表格来帮助理解题意;【拓展提高】课堂练习1.某所中学现有学生4 200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数依次是( )
A．1 400人和2 800人 B．1 900人和2 300人
C．2 800人和1 400人 D．2 300人和1 900人A课堂练习2.在社会主义新农村建设中，某村积极响应党的号召，大力发动农户扩大烟叶和蔬菜的种植面积，取得了较好的经济效益．今年该村的烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了800亩，其中烟叶种植面积增加了20%，蔬菜种植面积增加了30%，从而使该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了4 200亩．问该村去年种植烟叶和蔬菜的面积分别是多少亩？课堂练习解这个方程组，得
答：该村去年种植烟叶和蔬菜的面积分别是2 200亩、1 200亩．课堂练习3.长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%.现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为( )
A．562.5元 B．875元
C．550元 D．750元B拓展提高4.学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元，3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．拓展提高解：(1)设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，
根据题意，得 答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元．拓展提高由W＝350－2m可知，m的值越大，W的值越小．而m为正整数，
所以当m＝37时，W取最小值．
此时50－37＝13.
答：当购买A型节能灯37只，B型节能灯13只时，最省钱．中考链接5.（2019?宁波）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）
A．31元 B．30元 C．25元 D．19元 A中考链接6.（2019?邵阳）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ）D课堂总结实际问题 数学问题
[方程(组)]数学问题的解实际问题的答案 板书设计5.4列方程组解决实际问题增长率、利润问题利用图表分析等量关系作业布置课本 P118 练习题
P119 习题5.5谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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