北师大版数学八年级上册6.4.1方差教学设计
课题
6.4.1 方差
单元
第六单元
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识与技能：通过具体的实例让学生全面理解极差、方差的定义,发展学生初步的统计意识和数据处理的能力.
过程与方法：通过描述一组数据离散程度的统计量,掌握极差、方差的计算方法.
情感态度与价值观：鼓励学生独立思考,培养实事求是的科学态度,培养学生学习数学的热情,体会数学与人类生活的密切联系.
重点
了解极差、方差、标准差的意义.
难点
掌握极差、方差的计算方法.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
同学们,本章开头的折线统计图(投影展示)反映了甲、乙、丙三个选手的射击成绩.这三人谁的成绩较好?你是怎么判断的?
从图中可以看出甲、乙两人的射击成绩整体水平比丙的好,所以只需要计算出甲、乙两位选手射击成绩的平均数.
通过计算,可知甲、乙两位选手射击成绩的平均数都是7.9环.
甲、乙的平均成绩相同,你认为哪个选手更稳定?你是怎么看出来的?
由此可知刻画一组数据的稳定性,用数据的集中趋势来解决是不适合的.我们这节课就来探究解决这个问题的方法.
学生自主思考完成.教师巡视,了解学生答题情况.
从学生熟悉的现实生活出发,容易激发学生的学习兴趣,同时也让学生体会到数学来源于生活,服务于生活的道理.
讲授新课
为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近.质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：
甲厂：75,74,74,76,73,76,75,77,77,74,
74,75,75,76,73,76, 73,78,77,72；
乙厂：75,78,72,77,74,75,73,79,72,75,
80,71,76,77,73,78,71,76,73,75;
把这些数据表示成如图所示.
（1）你能从图中估计出甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量吗？
解：甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量大约是75g；
（2） 从甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量分别是多少？在图中画出纵坐标等于平均质量的直线 .
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？乙厂呢？
甲厂：最大值78g，最小值72g，相差6g；
乙厂：最大值80g，最小值71g，相差9g；
(4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂家的鸡腿？
解：平均质量只能反映总体的集中趋势,并不能反映个体的变化情况.从图中看,甲厂的产品更符合要求.
实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况，一组数据中最大数据与最小数据的差（称为极差），就是刻画数据离散程度的一个统计量.
注意：极差越大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定.
【做一做】如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样
调查了20只鸡腿，数据如图所示.
(1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
解：丙厂这20只鸡腿质量的平均数为75.1 g，极差为79-72=7(g).
(2)如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距.
(3)在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？
根据甲、丙两厂的有关数据,外贸公司应该买甲厂的鸡腿.
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画.
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,
即
其中， 是x1,x2,……，xn的平均数，s2是方差，而标准差就是方差的算术平方根.
一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定.
【例】计算从甲厂抽取的20只鸡腿质量的方差。
【解】甲厂20只鸡腿的平均质量：
甲厂20只鸡腿质量的方差：
S2甲=2.5
【做一做】
（1）计算从丙厂抽取的20只鸡腿质量的方差。
（2）根据计算的结果，你认为甲、乙两厂的产品哪个更符合规格？
（2）甲厂更符合规定.
同学们回想一下,刚刚求方差的计算量如何?
方差的计算量太大了.
所以我们可以使用计算器来计算出一组数据的标准差与方差.
注意:计算器一般不具有求方差的功能,可以先求出标准差,再平方即可求出方差.
将两个厂家的数据用一个统计图展示给学生,如果之前没有提及平均差的话,就让同桌之间按顺序分工完成题目中的甲厂和丙厂的问题,得出问题(1)中的数值后汇总就容易发现极差所不能解决的这个实际问题.在解决问题(2)的时候,学生找差距容易带有符号,这时应提出探讨74 g和76 g的鸡腿的偏离程度是否是一样的,因此提出用鸡腿质量和平均数的差的绝对值来刻画,可以将它们求和,也可以将它们求平均数(即平均差).问题(3)的处理可以借助图像直观得出结论,也可以用求和或者求平均差的方法解决.如果前面已经提及平均差的话就可以让学生自主分析选择哪一个更符合要求.
小组研究较简单的记忆方法,交流后让小组代表概括,如果小组代表的语言不够严谨,教师可引导学生完成,可以简单地记作:先平均,后求差,平方后,再平均.
通过一个实际问题情境,让学生感受仅有平均水平是很难对所有事物进行分析的,从而顺利引入研究数据的其他量度:极差.
通过实际问题创设教学情境,让学生感受仅有平均水平是很难对所有事物进行分析的,引起认知冲突,从而顺利引入研究数据的量度:极差.这样,既吸引了学生的注意力,又激发了学生的求知欲,也能让学生感受到数学知识就在生活之中.
通过丙厂与甲厂的对比发现,仅有极差还不能准确刻画一组数据的离散程度,让学生产生一种急于解决问题的心情,从而引起积极探索新知的欲望.
在这里增加一个丙厂,目的是通过与前两个厂的对比,发现仅有极差刻画数据的离散程度是不够的,从而引出其他量.设计丙厂的数据时,让甲和丙的平均数和极差都完全相同,给学生离散程度的比较制造更大的难度,能够更大程度地激起学生的求知欲和探索交流的欲望,也为方差和标准差的呈现做好充分的准备.同时使学生在实际问题的解决过程中认识到离散程度的意义和影响,形成一定的数据意识和解决问题的能力,进一步体会数学的应用价值.
课堂练习
1.已知一组数据:15,13,15,16,17,16,14,15,则这组数据的极差与众数分别是 ( A )
A.4,15 B.3,15 C.4,16 D.3,16
2.若将一组数据中的每一个数减去同一个非零常数,则该数据( A )
A.平均数改变,极差不变B.平均数改变,极差改变
C.平均数不变,极差不变D.平均数不变,极差改变
3.将一组数据中的每个数据都减去同一个数,那么下列结论成立的是( D )
A.方差改变,平均数不变 B.方差和平均数都不变
C.方差改变,平均数改变 D.方差不变,平均数改变
4.天气预报说:今天最高气温是10 ℃,最低气温是零下2 ℃,今天气温的极差是 ( D )
A.6 ℃ B.8 ℃ C.10 ℃ D.12 ℃
5．王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率是98%.现已挂果，经济效益初步显现.为了分析收成情况，他分别从两片山上随机各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如图所示.
（1）分别计算甲、乙两片山样本数据的平均数，并估计出甲、乙两片山杨梅的产量总和；
（2）试通过计算说明哪片山上的杨梅产量较稳定.
6.（2019?锦州）甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是s甲2=0.60，s乙2=0.62，
s丙2=0.58，s丁2=0.45，则这四名同学跳高成绩最稳定的是（ D ）
甲 B．乙 C．丙 D．丁
7.（2019?上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（ A ）
A．甲的成绩比乙稳定
B．甲的最好成绩比乙高
C．甲的成绩的平均数比乙大
D．甲的成绩的中位数比乙大
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
这节课你学到了什么？
1.方差是用来描述一组数据整体波动情况的特征数,方差的单位是原数据单位的平方.对于其意义及应用需掌握以下几点:
①方差越大,数据波动越大,越不稳定;方差越小,数据波动越小,越稳定.
②实际问题中,可能越稳定越好,也可能越不稳定越好.
③有时方差的大小只能说明一种波动大小,不能说明优势劣势.
2.使用计算器可以方便地计算一组数据的标准差,其大体步骤是:进入统计计算状态,输入数据,按键得出标准差.
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
6.4.1 方差
1.刻画数据离散程度的统计量——极差
2.刻画数据离散程度的统计量——方差、标准差
3.探索计算器的使用
课件26张PPT。6.4.1 方差北师版 八年级上新知导入同学们,本章开头的折线统计图(投影展示)反映了甲、乙、丙三个选手的射击成绩.这三人谁的成绩较好?你是怎么判断的?新知导入从图中可以看出甲、乙两人的射击成绩整体水平比丙的好,所以只需要计算出甲、乙两位选手射击成绩的平均数.甲、乙的平均成绩相同,你认为哪个选手更稳定?你是怎么看出来的?由此可知刻画一组数据的稳定性,用数据的集中趋势来解决是不适合的.我们这节课就来探究解决这个问题的方法.通过计算,可知甲、乙两位选手射击成绩的平均数都是7.9环.新知讲解为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近.质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：
甲厂：75,74,74,76,73,76,75,77,77,74,
74,75,75,76,73,76, 73,78,77,72；
乙厂：75,78,72,77,74,75,73,79,72,75,
80,71,76,77,73,78,71,76,73,75;新知讲解把这些数据表示成如图所示.（1）你能从图中估计出甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量吗？解：甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量大约是75g；新知讲解把这些数据表示成如图所示.（2） 从甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量分别是多少？在图中画出纵坐标等于平均质量的直线 .新知讲解 (3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？乙厂呢？甲厂：最大值78g，最小值72g，相差6g；
乙厂：最大值80g，最小值71g，相差9g；新知讲解(4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂家的鸡腿？解：平均质量只能反映总体的集中趋势,并不能反映个体的变化情况.从图中看,甲厂的产品更符合要求.新知讲解实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况，一组数据中最大数据与最小数据的差（称为极差），就是刻画数据离散程度的一个统计量. 注意：极差越大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定.新知讲解【做一做】如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样
调查了20只鸡腿，数据如图所示.
(1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极
差分别是多少？
解：丙厂这20只鸡腿质量的平均数为75.1 g，极差为79-72=7(g).新知讲解【做一做】如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样
调查了20只鸡腿，数据如图所示.
(2)如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其
平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20
只鸡腿质量与其相应平均数的差距.
(3)在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？
为什么？根据甲、丙两厂的有关数据,外贸公司应该买甲厂的鸡腿.新知讲解数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画. 其中， 是x1,x2,……，xn的平均数，s2是方差，而标准差就是方差的算术平方根. 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,
即一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定.新知讲解【例】计算从甲厂抽取的20只鸡腿质量的方差。【解】甲厂20只鸡腿的平均质量：甲厂20只鸡腿质量的方差：=2.5【解】甲厂20只鸡腿的平均质量：新知讲解（2）甲厂更符合规定.【做一做】
（1）计算从丙厂抽取的20只鸡腿质量的方差。
（2）根据计算的结果，你认为甲、乙两厂的产品哪个更符合规格？=4.2新知讲解同学们回想一下,刚刚求方差的计算量如何?
方差的计算量太大了.
所以我们可以使用计算器来计算出一组数据的标准差与方差.注意:计算器一般不具有求方差的功能,可以先求出标准差,再平方即可求出方差.课堂练习1.已知一组数据:15,13,15,16,17,16,14,15,则这组数据的极差与众数分别是 ( )
A.4,15 B.3,15 C.4,16 D.3,16
2.若将一组数据中的每一个数减去同一个非零常数,则该数据( )
A.平均数改变,极差不变B.平均数改变,极差改变
C.平均数不变,极差不变D.平均数不变,极差改变AA课堂练习3.将一组数据中的每个数据都减去同一个数,那么下列结论成立的是
( )
A.方差改变,平均数不变 B.方差和平均数都不变
C.方差改变,平均数改变 D.方差不变,平均数改变
4.天气预报说:今天最高气温是10 ℃,最低气温是零下2 ℃,今天气温的极差是 ( )
A.6 ℃ B.8 ℃ C.10 ℃ D.12 ℃DD拓展提高5．王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率是98%.现已挂果，经济效益初步显现.为了分析收成情况，他分别从两片山上随机各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如图所示.（1）分别计算甲、乙两片山样本数据的平均数，并估计出甲、乙两片山杨梅的产量总和；（2）试通过计算说明哪片山上的杨梅产量较稳定.拓展提高解：(1)
产量总和约为40×100×98%×2＝7 840(kg)．(2)s甲2＝ ×[(50－40)2＋(36－40)2＋(40－40)2＋(34－40)2]＝38，
s乙2＝ ×[(36－40)2＋(40－40)2＋(48－40)2＋(36－40)2]＝24.
因为s甲2＞s乙2，
所以乙山上的杨梅产量较稳定．中考链接6.（2019?锦州）甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是s甲2=0.60，s乙2=0.62，
s丙2=0.58，s丁2=0.45，则这四名同学跳高成绩最稳定的是（ ）DA．甲 B．乙 C．丙 D．丁 中考链接7.（2019?上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（ ）A．甲的成绩比乙稳定
B．甲的最好成绩比乙高
C．甲的成绩的平均数比乙大
D．甲的成绩的中位数比乙大 A课堂总结1.方差是用来描述一组数据整体波动情况的特征数,方差的单位是原数据单位的平方.对于其意义及应用需掌握以下几点:
①方差越大,数据波动越大,越不稳定;方差越小,数据波动越小,越稳定.
②实际问题中,可能越稳定越好,也可能越不稳定越好.
③有时方差的大小只能说明一种波动大小,不能说明优势劣势.
2.使用计算器可以方便地计算一组数据的标准差,其大体步骤是:进入统计计算状态,输入数据,按键得出标准差.这节课你学到了什么？板书设计6.4.1 方差
1.刻画数据离散程度的统计量——极差
2.刻画数据离散程度的统计量——方差、标准差
3.探索计算器的使用作业布置课本 P151 练习题
P151 习题6.5谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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