第四章 图形的性质 第29节 直线与圆的位置关系■考点1与圆有关的位置关系
(1)点与圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
①点在圆外 d r；
②点在圆上 d r；
③点在圆内 d r．
(2)直线与圆的位置关系
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
①直线与圆相交 d ②直线与圆相切 d=r；
③直线与圆相离 d>r．
■考点2．切线的性质与判定
(1)切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(2)切线的性质：圆的切线垂直于 ；
过圆心且垂直于切线的直线必经过 ；
经过切点且垂直于切线的直线必过该圆的 ．
(3)切线判定方法：
①定义法：
②设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，若 ，则直线与圆相切：
③经过半径的外端且 这条半径的直线是圆的切线．
(4)切线长定理：从圆外一点向圆引的两条切线长 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 ．21教育网
■考点3.三角形与圆
(1)三角形的内切圆：三角形内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 ，它到三角形的 的距离相等． 【来源：21·世纪·教育·网】
(2)三角形的外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形 的交点 ，叫做三角形的 ．2-1-c-n-j-y
锐角三角形外心在三角形的 ，直角三角形外心在三角形的 ，钝角三角形外心在三角形的 ．
■考点1与圆有关的位置关系
◇典例：
1.（2017年山东枣庄市）在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）
A．2＜r＜ B．＜r≤3 C．＜r＜5 D．5＜r＜
【考点】 点与圆的位置关系； 勾股定理．
【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．
解：给各点标上字母，如图所示．
AB==2，AC=AD==，AE==3，AF==，AG=AM=AN==5，
∴＜r≤3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．
故选B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离是解题的关键．
2.（2018年湖南省湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【考点】直线与圆的位置关系
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．
解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，
∴直线和圆相切．
故选：B．
【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
◆变式训练
1.（2018年四川省宜宾市）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
2.（2018年甘肃省定西市）如图，在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．
．
■考点2．切线的性质与判定
◇典例
（2019年浙江省台州市）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4﹣
【考点】等边三角形的性质，切线的性质
【分析】设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，根据等边三角形的性质得到AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，由切线的性质得到∠BAO＝∠CAO＝BAC＝30°，求得∠AOC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
解：设⊙O与AC的切点为E，
连接AO，OE，
∵等边三角形ABC的边长为8，
∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，
∵圆分别与边AB，AC相切，
∴∠BAO＝∠CAO＝BAC＝30°，
∴∠AOC＝90°，
∴OC＝AC＝4，
∵OE⊥AC，
∴OE＝OC＝2，
∴⊙O的半径为2，
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
◆变式训练
（2019年广西河池市）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．
（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC，
（2）若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．
■考点3.三角形与圆
◇典例：
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）已知：在△ABC中，AB=AC．
(1)求作：△ABC的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S☉O= ．
【考点】作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心
【分析】(1)作线段的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，为半径作，即为所求．
(2)在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
解：(1)如图即为所求．
(2)设线段的垂直平分线交于点．
由题意，
在中，，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
◆变式训练
（2019年四川省广元市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是 ．
一．选择题（共5小题）
（2019年广东省广州市）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
（2019年黑龙江省哈尔滨市）如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
（2019年江苏省苏州市）如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
（2019年浙江省杭州市）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2019年湖南省娄底市）如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
二．填空题
（2019年浙江省温州市）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于 度．
（2019年广西河池市）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ °．
三．解答题
（2019年江苏省盐城市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．
（1）若⊙O的半径为，AC＝6，求BN的长，
（2）求证：NE与⊙O相切．
（2019年四川省凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线，
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．
选择题
（2019年河北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B． C． D．
（2019年福建省）如图，PA．PB是⊙O切线，A．B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
（2019年重庆市（a卷））如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
（2019年江苏省无锡市）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
（2019年山东省泰安市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（ ）
A．32° B．31° C．29° D．61°
（2019年浙江省嘉兴市）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）
A．2 B． C． D．
（2019年湖南省益阳市）如图，PA．PB为圆O的切线，切点分别为A．B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB
B．∠BPD＝∠APD
C．AB⊥PD
D．AB平分PD
（2019年云南省）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA．AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
（2019年湖北省荆门市）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（ ）
A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定
（2019年四川省泸州市）如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC＝6，则DE的长是（ ）
A． B． C． D．
填空题
（2019年湖南省衡阳市）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 ．
（2019年江苏省南京 ）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是_______．
（2019年江苏省南京 ）如图，PA．PB是的切线，A．B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝_________°．
（2019年四川省眉山市）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为 ．
（2019年湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A．B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为 ．
（2019年江苏省宿迁市）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为_____．
解答题
（2019年北京市）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD＝CD，
（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
（2019年广西玉林市）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．
（1）求证：EF是△CDB的中位线，
（2）求EF的长．
（2019年广西贺州市）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．
（1）求∠ADB的度数，
（2）求AC的长度．
（2019年贵州省毕节市）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A．B.
（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；
（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝（90°﹣∠P）成立.请你写出推理过程.
（2019年辽宁省大连市）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP
（1）求证：∠BAC＝2∠ACD，
（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．
（2019年天津市）已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
（2019年江苏省宿迁市）在中，．
（1）如图①，点在斜边上，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，与边相切于点．求证：；
（2）在图②中作，使它满足以下条件：
①圆心在边上；②经过点；③与边相切．
（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
（2019年浙江省绍兴市）在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答．
（2）以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长
小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．
参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．
第四章 图形的性质 第29节 直线与圆的位置关系■考点1与圆有关的位置关系
(1)点与圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
①点在圆外 d ＞ r；
②点在圆上 d = r；
③点在圆内 d ＜ r．
(2)直线与圆的位置关系
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
①直线与圆相交 d ②直线与圆相切 d=r；
③直线与圆相离 d>r．
■考点2．切线的性质与判定
(1)切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(2)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 ；
经过切点且垂直于切线的直线必过该圆的 圆心 ．
(3)切线判定方法：
①定义法：
②设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，若d=r ，则直线与圆相切：
③经过半径的外端且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线．
(4)切线长定理：从圆外一点向圆引的两条切线长 相等 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 ．
■考点3.三角形与圆
(1)三角形的内切圆：三角形内切圆的圆心是三角形 三个角平分线 的交点，叫做三角形的 内心 ，它到三角形的 三边 的距离相等．2·1·c·n·j·y
(2)三角形的外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形 三边垂直平分线 的交点 ，叫做三角形的 外心．21cnjy.com
锐角三角形外心在三角形的 内部 ，直角三角形外心在三角
形的 斜边中点处 ，钝角三角形外心在三角形的 外部 ．
■考点1与圆有关的位置关系
◇典例：
1.（2017年山东枣庄市）在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）
A．2＜r＜ B．＜r≤3 C．＜r＜5 D．5＜r＜
【考点】 点与圆的位置关系； 勾股定理．
【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．
解：给各点标上字母，如图所示．
AB==2，AC=AD==，AE==3，AF==，AG=AM=AN==5，
∴＜r≤3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．
故选B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离是解题的关键．
2.（2018年湖南省湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【考点】直线与圆的位置关系
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．
解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，
∴直线和圆相切．
故选：B．
【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
◆变式训练
1.（2018年四川省宜宾市）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
【考点】矩形的性质；点与圆的位置关系
【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．
解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN=DE=2，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．
2.（2018年甘肃省定西市）如图，在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．
【考点】复杂作图，角平分线的性质与作法，直线与圆的位置关系
【分析】（1）首先利用角平分线的作法得出CO，进而以点O为圆心，OB为半径作⊙O即可；
（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．
解：（1）如图所示：
；
（2）相切；过O点作OD⊥AC于D点，
∵CO平分∠ACB，
∴OB=OD，即d=r，
∴⊙O与直线AC相切，
【点评】此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键．
■考点2．切线的性质与判定
◇典例
（2019年浙江省台州市）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4﹣
【考点】等边三角形的性质，切线的性质
【分析】设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，根据等边三角形的性质得到AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，由切线的性质得到∠BAO＝∠CAO＝BAC＝30°，求得∠AOC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
解：设⊙O与AC的切点为E，
连接AO，OE，
∵等边三角形ABC的边长为8，
∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，
∵圆分别与边AB，AC相切，
∴∠BAO＝∠CAO＝BAC＝30°，
∴∠AOC＝90°，
∴OC＝AC＝4，
∵OE⊥AC，
∴OE＝OC＝2，
∴⊙O的半径为2，
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
◆变式训练
（2019年广西河池市）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．
（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC，
（2）若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．
【考点】圆周角定理，切线的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【分析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出∠ADE＝∠DBC，证明△ADE≌△DBC，即可得出结论，
（2）连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，则∠OHG＝∠OHB＝90°，由切线的性质得出∠FCG＝90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF＝CG，OG＝OH，由等边三角形的性质得出∠OBH＝30°，由直角三角形的性质得出OH＝OB＝1，OG＝，即可得出答案．
（1）证明：∵AE＝DC，
∴，
∴∠ADE＝∠DBC，
在△ADE和△DBC中，，
∴△ADE≌△DBC（AAS），
∴DE＝BC，
（2）解：连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，如图所示：
则∠OHG＝∠OHB＝90°，
∵CF与⊙O相切于点C，
∴∠FCG＝90°，
∵∠F＝45°，
∴△CFG、△OGH是等腰直角三角形，
∴CF＝CG，OG＝OH，
∵AB＝BD＝DA，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠OBH＝30°，
∴OH＝OB＝1，
∴OG＝，
∴CF＝CG＝OC+OG＝2+．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
■考点3.三角形与圆
◇典例：
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）已知：在△ABC中，AB=AC．
(1)求作：△ABC的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S☉O= ．
【考点】作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心
【分析】(1)作线段的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，为半径作，即为所求．
(2)在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
解：(1)如图即为所求．
(2)设线段的垂直平分线交于点．
由题意，
在中，，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
◆变式训练
（2019年四川省广元市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是 ．
【考点】圆周角定理，三角形的外接圆与外心
【分析】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，解直角三角形即可得到结论．
解：过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，
则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，
∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，
∴OP＝OA＝6，
∴OM＝OA＝×6＝3，
∴PM＝OP+OM＝6+3，
∴则点P到AC距离的最大值是6+3，
故答案为：6+3．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
一．选择题（共5小题）
（2019年广东省广州市）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【考点】点与圆的位置关系,切线的判定
【分析】首先判断点与圆的关系，然后再分析P可作⊙O的切线条数即可解答.
解：因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，
所以，过点P可作⊙O的切线有2条；
故选C.
【点睛】本题考查了点与圆的关系、切线的定义，熟练掌握是解题的关键.
（2019年黑龙江省哈尔滨市）如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
【考点】切线的性质，圆周角定理
【分析】连接.，由切线的性质可知，由四边形内角和可求出的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知的度数.
解：连接.，
∵.分别与相切于.两点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.
（2019年江苏省苏州市）如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【考点】切线的性质，三角形的外角性质
【分析】由切线性质得到，再由等腰三角形性质得到，然后用三角形外角性质得出
解：切线性质得到
故选D
【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
（2019年浙江省杭州市）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】三角形全等的判定和性质，切线长定理
【分析】连接OA．OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB＝PA＝3．
解：连接OA．OB、OP，
∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
在Rt△AOP和Rt△BOP中，
，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），
∴PB＝PA＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了切线长定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．
（2019年湖南省娄底市）如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【考点】等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心
【分析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB＝60°，CH⊥AB，则∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝3，然后利用正切的定义计算出OH即可．
解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，
∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，
在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，
∴OH＝×＝1，
即△ABC内切圆的半径为1．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．
二．填空题
（2019年浙江省温州市）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于 度．
【考点】圆周角定理，四边形内角和定理，切线的性质
【分析】连接OE，OF，由切线的性质可得OE⊥AB，OF⊥AC，由四边形内角和定理可求∠EOF＝114°，即可求∠EPF的度数．
解：连接OE，OF
∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F
∴OE⊥AB，OF⊥AC
又∵∠BAC＝66°
∴∠EOF＝114°
∵∠EOF＝2∠EPF
∴∠EPF＝57°
故答案为：57°
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性质是本题的关键．
（2019年广西河池市）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ °．
【考点】切线长定理
【分析】由切线的性质得出PA＝PB，PA⊥OA，得出∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，由已知得出∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．
解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°，
故答案为：76．
【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题．
三．解答题
（2019年江苏省盐城市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．
（1）若⊙O的半径为，AC＝6，求BN的长，
（2）求证：NE与⊙O相切．
【考点】直角三角形斜边上的中线，切线的判定
【分析】（1）由直角三角形的性质可求AB＝10，由勾股定理可求BC＝8，由等腰三角形的性质可得BN＝4，
（2）欲证明NE为⊙O的切线，只要证明ON⊥NE．
解：（1）连接DN，ON
∵⊙O的半径为，
∴CD＝5
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD＝5，
∴AB＝10，
∴BC＝＝8
∵CD为直径
∴∠CND＝90°，且BD＝CD
∴BN＝NC＝4
（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，
∴CD＝DA＝DB＝AB，
∴∠BCD＝∠B，
∵OC＝ON，
∴∠BCD＝∠ONC，
∴∠ONC＝∠B，
∴ON∥AB，
∵NE⊥AB，
∴ON⊥NE，
∴NE为⊙O的切线．
【点评】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2019年四川省凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线，
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．
【考点】切线的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质
【分析】（1）连接OD，由AB为⊙O的直径得∠BDC＝90°，根据BE＝EC知∠1＝∠3、由OD＝OB知∠2＝∠4，根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°，得证，
（2）根据直角三角形的性质得到∠F＝30°，BE＝EF＝2，求得DE＝BE＝2，得到DF＝6，根据三角形的内角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：（1）如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
∴DF为⊙O的切线，
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
选择题
（2019年河北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的外接圆与外心，作图—基本作图
【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图格选项进行判断．
解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
（2019年福建省）如图，PA．PB是⊙O切线，A．B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
【考点】多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理
【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°?90°?90°?110°＝70°．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
（2019年重庆市（a卷））如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【考点】切线的性质
【分析】由切线的性质得出∠BAC＝90°，求出∠ABC＝40°，由等腰三角形的性质得出∠ODB＝∠ABC＝40°，再由三角形的外角性质即可得出结果．
解：∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC＝40°，
∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质，熟练运用切线的性质是本题的关键．
（2019年江苏省无锡市）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【考点】切线的性质，圆周角定理
【分析】连接OA，由切线的性质可得∠OAP=90°，继而根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP=50°，再根据圆周角定理即可求得答案.
解：连接OA，如图：
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=90°-40°=50°，
∴∠B=∠AOB=25°，
故选B.
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确添加辅助线，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键.
（2019年山东省泰安市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（ ）
A．32° B．31° C．29° D．61°
【考点】等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，切线的性质
【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．
解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°，
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（2019年浙江省嘉兴市）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】圆周角定理，切线的性质
【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．
解：连接OA，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，
∴∠OAP＝90°，
∵OA＝OC＝1，
∴AP＝OAtan60°＝1×＝，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
（2019年湖南省益阳市）如图，PA．PB为圆O的切线，切点分别为A．B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB
B．∠BPD＝∠APD
C．AB⊥PD
D．AB平分PD
【考点】切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质，切线的性质
【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD，再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立，
∠BPD＝∠APD，所以B成立，
∴AB⊥PD，所以C成立，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质．
（2019年云南省）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA．AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【考点】三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质
【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.
解：∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
∴S四边形AEOF=r2，
连接AO，BO，CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴，
∴r=2，
∴S四边形AEOF=r2=4，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.
（2019年湖北省荆门市）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（ ）
A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定
【考点】三角形外角性质，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心
【分析】连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI＝DB．
解：连接BI，如图，
∵△ABC内心为I，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2，
∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，
即∠4＝∠DBI，
∴DI＝DB．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．
（2019年四川省泸州市）如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC＝6，则DE的长是（ ）
A． B． C． D．
【考点】等腰三角形的性质，垂径定理，三角形的内切圆与内心
【分析】连接OA．OE、OB，OB交DE于H，如图，利用切线的性质和切线长定理得到OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，再根据等腰三角形的性质判断点A．O、E共线，BE＝CE＝3，利用勾股定理计算出AE＝4，则AD＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO＝4﹣r，利用勾股定理得到r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，于是可计算出OB＝，然后证明OB垂直平分DE，接着利用面积法求出HE，从而得到DE的长．
解：连接OA．OE、OB，OB交DE于H，如图，
∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，
∴点A．O、E共线，
即AE⊥BC，
∴BE＝CE＝3，
在Rt△ABE中，AE＝＝4，
∵BD＝BE＝3，
∴AD＝2，
设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO＝4﹣r，
在Rt△AOD中，r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，
在Rt△BOE中，OB＝＝，
∵BE＝BD，OE＝OD，
∴OB垂直平分DE，
∴DH＝EH，OB⊥DE，
∵HE?OB＝OE?BE，
∴HE＝＝＝，
∴DE＝2EH＝．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．
填空题
（2019年湖南省衡阳市）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 ．
【考点】三角形的外接圆与外心
【分析】易得正三角形的中心角为120°，那么中心角的一半为60°，利用60°的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长．
解：如图，圆半径为6，求AB长．
∠AOB＝360°÷3＝120°
连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，
∵OA＝OB，
∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA×sin60°＝6×＝3，
∴AB＝2AC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，先利用垂径定理和相应的三角函数知识得到AC的值是解决本题的关键．
（2019年江苏省南京 ）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是_______．
【考点】三角形的三边关系，直角三角形的性质，等边三角形的性质
【分析】作△ABC的外接圆，求出当∠BAC＝90°时，BC是直径最长＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案．
解：作△ABC的外接圆，如图所示：
∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，
当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，
∴AC＝，
∴BC＝；
当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，
∵∠BAC＞∠ABC，
∴BC长的取值范围是4＜BC≤；
故答案为：4＜BC≤．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出△ABC的外接圆进行推理计算是解题的关键．
（2019年江苏省南京 ）如图，PA．PB是的切线，A．B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝_________°．
【考点】切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质
【分析】连接AB，根据切线的性质得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝（180°?102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB＋∠C＝180°，于是得到结论．
解：连接AB，
∵PA．PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180°?102°）＝39°，
∵∠DAB＋∠C＝180°，
∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，
故答案为：219°．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
（2019年四川省眉山市）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为 ．
【考点】勾股定理．等腰直角三角形，切线的性质
【分析】首先连接OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
解：连接OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，
∴AB＝OA＝8，
∴OP＝＝4，
∴PQ＝＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．
（2019年湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A．B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为 ．
【考点】切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理
【分析】连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A．B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP＝8，则AB的最大长度为16．
解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A．B，此时AB的长度最大，
∵C（3，4），
∴OC＝＝5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为3，
∴OP＝OA＝OB＝8，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴AB长度的最大值为16，
故答案为16．
【点评】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到OP的最大值是解题的关键．
（2019年江苏省宿迁市）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为_____．
【考点】三角形的内切圆与内心，勾股定理
【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）求解．
解：直角三角形的斜边，
所以它的内切圆半径.
故答案为2．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）．
解答题
（2019年北京市）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD＝CD，
（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
【考点】角平分线的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心
【分析】（1）利用圆的定义得到图形G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD＝∠CBD得到＝，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD＝CD，
（2）如图，证明CD＝CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G的公共点个数．
（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，
∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴＝，
∴AD＝CD，
（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，
∴CD＝CM，
∵DM⊥BC，
∴BC垂直平分DM，
∴BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∵＝，
∴OD⊥AC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线，
∴直线DE与图形G的公共点个数为1．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定．
（2019年广西玉林市）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．
（1）求证：EF是△CDB的中位线，
（2）求EF的长．
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，切线的性质
【分析】（1）连接AE，由圆周角定理得∠ADB＝∠AEB＝90°，由等腰三角形的性质得出BE＝CE＝3，证出OE是△ABC的中位线，得出OE∥AC，得出BD∥EF，即可得出结论，
（2）由勾股定理得出AE＝＝4，由三角形面积得出BD＝＝，由三角形中位线定理即可得出EF＝BD＝．
（1）证明：连接AE，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，BD⊥AC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝3，
∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴OE⊥BD，
∴BD∥EF，
∵BE＝CE，
∴CF＝DF，
∴EF是△CDB的中位线，
（2）解：∵∠AEB＝90°，
∴AE＝＝＝4，
∵△ABC的面积＝AC×BD＝BC×AE，
∴BD＝＝＝，
∵EF是△CDB的中位线，
∴EF＝BD＝．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
（2019年广西贺州市）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．
（1）求∠ADB的度数，
（2）求AC的长度．
【考点】圆周角定理，切线的性质
【分析】（1）由切线的性质得出AF⊥OA，由圆周角定理好已知条件得出∠F＝∠DBC，证出AF∥BC，得出OA⊥BC，求出∠BOA＝90°﹣30°＝60°，由圆周角定理即可得出结果，
（2）由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，得出AB＝AC，证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB，由直角三角形的性质得出OE＝OB，BE＝OE＝4，求出OE＝，即可得出AC＝AB＝OB＝2OE＝．
解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，
∴AF⊥OA，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠F＝30°，
∴∠F＝∠DBC，
∴AF∥BC，
∴OA⊥BC，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADB＝∠AOB＝30°，
（2）∵OA⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝4，
∴AB＝AC，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∵∠OBE＝30°，
∴OE＝OB，BE＝OE＝4，
∴OE＝，
∴AC＝AB＝OB＝2OE＝．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OA⊥BC是解题的关键．
（2019年贵州省毕节市）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A．B.
（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；
（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝（90°﹣∠P）成立.请你写出推理过程.
【考点】切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质
【分析】(1)由直径所对的圆周角是直角，以及∠A=30°可得∠ABC=60°，从而可判断△OBC是等边三角形，得到∠COB=60°，再结合切线的性质可求得∠P＝30°，继而可推得PB=OB，再根据AB=2OB，即可确定AP与BP的数量关系；
(2)连接OC，由圆周角定理以及切线的性质结合等角对等边可以推导得出∠BCP＝∠A，再由三角形内角和定理即可确定出两角的关系.
解：(1)连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠COB=60°，
∵PC是⊙O的切线，OC是半径，
∴∠OCP=90°，
∴∠P＝90°-∠BOC＝30°，
∴PO=2OC，
∴PB=OB，
∵AB=2OB，
∴AP=AB+PB=3PB；
(2)如图，连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
∵PC是⊙O的切线，OC是半径，
∴∠OCP=90°，即∠BCP+∠BCO=90°，
∴∠BCP=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠BCP＝∠A，
∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，
∴2∠BCP＝180°﹣∠P，
∴∠BCP＝(90°﹣∠P).
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.
（2019年辽宁省大连市）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP
（1）求证：∠BAC＝2∠ACD，
（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质
【分析】（1）作DF⊥BC于F，连接DB，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠DBC＝∠DCB，得到DB＝DC，根据线段垂直平分线的性质、圆周角定理证明即可，
（2）根据垂径定理求出FC，证明△DEC≌△CFD，根据全等三角形的性质得到DE＝FC＝3，根据射影定理计算即可．
（1）证明：作DF⊥BC于F，连接DB，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠PAC＝90°，即∠P+∠ACP＝90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，即∠PCA+∠DAC＝90°，
∴∠P＝∠DAC＝∠DBC，
∵∠APC＝∠BCP，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC，
∵DF⊥BC，
∴DF是BC的垂直平分线，
∴DF经过点O，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠BDC＝2∠ODC，
∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD，
（2）解：∵DF经过点O，DF⊥BC，
∴FC＝BC＝3，
在△DEC和△CFD中，
，
∴△DEC≌△CFD（AAS）
∴DE＝FC＝3，
∵∠ADC＝90°，DE⊥AC，
∴DE2＝AE?EC，
则EC＝＝，
∴AC＝2+＝，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（2019年天津市）已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
【考点】切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质
【分析】（Ⅰ）连接OA．OB，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算；
（Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
解：（Ⅰ）如图，连接．
∵是的切线，
∴，．
即．
∵，
∴在四边形中，．
∵在中，，
∴．
（Ⅱ）如图，连接．
∵为的直径，
∴．
由（Ⅰ）知，，
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
又是的一个外角，有，
∴．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键
（2019年江苏省宿迁市）在中，．
（1）如图①，点在斜边上，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，与边相切于点．求证：；
（2）在图②中作，使它满足以下条件：
①圆心在边上；②经过点；③与边相切．
（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
【考点】切线的性质，基本作图
【分析】（1）连接，可证得，结合平行线的性质和圆的特性可求得，可得出结论；
（2）由（1）可知切点是的角平分线和的交点，圆心在的垂直平分线上，由此即可作出．
（1）证明：如图①，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）如图②所示为所求．①
①作平分线交于点，
②作的垂直平分线交于，以为半径作圆，
即为所求．
证明：∵在的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与边相切．
【点睛】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，
（2019年浙江省绍兴市）在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答．
（2）以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长
小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．
参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．
【考点】全等三角形的判定，圆周角定理，切线的性质
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD＝90°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD＝2，然后计算OA+OD即可，
（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠A＝∠DCB＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求AC的长．
解：（1）连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝2，
∴AD＝AO+OD＝1+2＝3，
（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长，
解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠DCB＝90°，
∴∠ACO＝∠DCB，
∵∠ACO＝∠A，
∴∠A＝∠DCB＝30°，
在Rt△ACB中，BC＝AB＝1，
∴AC＝BC＝．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
