人教版八年级数学上册第十二章-全等三角形知识点及习题复习（无答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册第十二章-全等三角形知识点及习题复习（无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-09 11:23:09 | ||
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文档简介
八年级（上） 第十二章 全等三角形
第十二章 全等三角形
一、基础知识梳理
1、全等形：即能够 的 图形叫全等形。
（1）全等的图形必须满足：（a）形状相同的图形；（b）大小相等的图形；
（2）、能够 叫做全等三角形。
对应顶点： 和 ； 和 ； 和 ；
对应边： = ； = ； = ；
对应角： = ； = ； = ；
(3)全等三角形的表示:全等用符号 表示,读作: .
2、图形变换的三种方式是： 、 、 。经过这三种变换前后的图形 .
3、全等三角形的性质
（1）全等三角形 相等；（2）全等三角形 相等；
(3）全等三角形周长、 相等。
4、全等三角形的判定方法：
（1）三边对应相等的两个三角形全等。简写成“ ”。
几何语言：(如右图所示)
在△ABC和△DEF中
（2）两边和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写成“ ”。
几何语言：(如右图所示)
在△ABC和△DEF中
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写成“ ”。
几何语言：(如右图所示)
在△ABC和△DEF中
（4）两边和其中一个角的对应相等的两个三角形全等。简写成“ ”。
几何语言：(如右图所示)
在△ABC和△DEF中
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“ ”。
几何语言：(如右图所示)
在Rt△ABC和Rt△DEF中
5、尺规作图
只用 和 作图的方法称为尺规作图.
6、角平分线的性质及判定
(1).性质：角平分线上的点到这个角的两边的 .
几何语言：
(2).判定：到一个角的两边距离相等的点
几何语言：
(3).三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．
证明文字命题的一般步骤：
证明文字命题，第一是要根据题意画出合适的图形；第二要根据题意和图形写出已知和求证；第三是写出证明过程。
二、针对训练
1．△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′，的周长为32cm，A′B′＝9 cm，B′C′＝12cm，则AB＝ cm，BC＝ cm；AC＝ cm．
2．如图13—1—9，△ABE≌ACD，∠AEB＝∠ADC＝90°，则其他对应角有 ，对应边有 ．
3．下列命题中正确的是 （ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．两个等边三角形是全等三角形
D．全等三角形周长、面积分别相等
4．已知△DEF≌△ABC，AB＝AC，且△ABC的周长是23cm，BC＝4cm，则△DEF的边中必有一条边等于 （ ）
A．9．5cm B．9．5 cm或9 cm C．6cm D．4cm或9cm
5．下列命题中，真命题的个数是 （ ）
①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等
A．4 B．3 C．2 D．1
6. 能使两个直角三角形全等的条件是( )
A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等
C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等
7．能确定△ABC≌△DEF的条件是 （ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
8．如图4－3，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ）
图4－3
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
9．如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，
若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 _______或 ；
若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 或 ．
10. 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2.求证： △ABD≌△ACE
11. 已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD,AM=CN， BM=DN.求证： AM∥CN，BM∥DN???
7．已知：如图2－4，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.
8．已知：如图4－2，ACBD．求证：OA＝OB，OC＝OD．
9.已知：如图4－6，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．
求证：HN＝PM.
10.如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE，求证：AF=CE.
11、如图（14）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D。
（1）求证：AE=CD，（2）若BD=5㎝，求AC的长。
12.三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A、三条边的垂直平分线的交点
B、三条高的交点 C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点
13．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，∠BAC的平分线AD
交BC于D，且CD∶DB＝3∶5，则D到AB的距离等于 ． 第13题图
14．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，
BE⊥AB，垂足为E，若AB＝20 cm，则△DBE的周长等于 ．
15．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线
交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是 ．
16．如图13—3—2所示，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD.求证：BE＝CF．
17．如图，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．求证：∠CDE=∠CDF．
三、灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、全等三角形的证明思路：
证明的书写步骤
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
注意：
1.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
2.证明线段(或角)相等转化成证明线段(或角)所在的两个三角形全等.
4、常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
6) 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
1.倍长中线（线段）造全等
1、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
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2.截长补短
(1)、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC
3.平移变换
(1).如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.
4.借助角平分线造全等
(1)、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,
CE相交于点O，求证：OE=OD
5.旋转
(1). 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
5、全等三角形证明中常见图形：
6、全等三角形习题精选
1.五大判定定理记忆与应用
1．下列命题中正确的是（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等 C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等
2.下列说法正确的是 （ ）
A.周长相等的两个三角形全等 B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等 D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
3.如图 , 在∠AOB的两边上，AO=BO , 在AO和BO上截取CO=DO , 连结AD和BC交于点P , 则△AOD≌△BOC理由是（ ）
A.ASA B.SAS
C.AAS D.SSS
4.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）
A. 相等 B. 不相等 C. 互余或相等 D. 互补或相等
2.重点图形的识记
1. 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD，求证：AB=BE，BC=DB。
2. 如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，求证：CE=DE
3. 如图：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D。求证：BD=DC。
3.重点证明过程的书写
1.如图，AE=AC， AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证： ED＝CA．
2.如图，已知AB=AD，AC平分∠DAB，求证：。
3.已知：如图, FB=CE , AB∥ED , AC∥FD, F、C在直线BE上．求证：AB=DE , AC=DF．
4.如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．猜想线段AC与EF的关系，并证明你的结论.
4.全等三角形的难点：
1. 复杂图形的分析能力培养
如图和均为等边三角形，求证：DC=BE。
２．条件的发散能力培养
如图∠ABC＝90°AB＝BC，D为AC上一点分别过A.C
作BD的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF＝CF－AE.
5.角平分线性质和判定的运用
1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝5㎝，BD＝3㎝，则点D到AB的距离为______㎝．
2、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28 cm2，AB=20cm，AC=8cm，则DE的长为_________ cm．
3、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， AD平分∠CAB交BC于D，
DE⊥AB于E， AB=10求△BDE的周长
4．已知：如图，BD=CD，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E．求证：AD平分∠BAC．
5.综合运用题
1．△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E
(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明
2．如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD
3．已知点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE
猜想AB与CD数量关系，并说明理由.
4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。
５．在四边形ABCD中，BC>BA，AD＝DC，BD平分，求证：
６．已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD的长。
F
E
F
D
D
A
C
A
D
C
B
F
E
B
C
A
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变形
变形
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第十二章 全等三角形
一、基础知识梳理
1、全等形：即能够 的 图形叫全等形。
（1）全等的图形必须满足：（a）形状相同的图形；（b）大小相等的图形；
（2）、能够 叫做全等三角形。
对应顶点： 和 ； 和 ； 和 ；
对应边： = ； = ； = ；
对应角： = ； = ； = ；
(3)全等三角形的表示:全等用符号 表示,读作: .
2、图形变换的三种方式是： 、 、 。经过这三种变换前后的图形 .
3、全等三角形的性质
（1）全等三角形 相等；（2）全等三角形 相等；
(3）全等三角形周长、 相等。
4、全等三角形的判定方法：
（1）三边对应相等的两个三角形全等。简写成“ ”。
几何语言：(如右图所示)
在△ABC和△DEF中
（2）两边和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写成“ ”。
几何语言：(如右图所示)
在△ABC和△DEF中
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写成“ ”。
几何语言：(如右图所示)
在△ABC和△DEF中
（4）两边和其中一个角的对应相等的两个三角形全等。简写成“ ”。
几何语言：(如右图所示)
在△ABC和△DEF中
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“ ”。
几何语言：(如右图所示)
在Rt△ABC和Rt△DEF中
5、尺规作图
只用 和 作图的方法称为尺规作图.
6、角平分线的性质及判定
(1).性质：角平分线上的点到这个角的两边的 .
几何语言：
(2).判定：到一个角的两边距离相等的点
几何语言：
(3).三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．
证明文字命题的一般步骤：
证明文字命题，第一是要根据题意画出合适的图形；第二要根据题意和图形写出已知和求证；第三是写出证明过程。
二、针对训练
1．△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′，的周长为32cm，A′B′＝9 cm，B′C′＝12cm，则AB＝ cm，BC＝ cm；AC＝ cm．
2．如图13—1—9，△ABE≌ACD，∠AEB＝∠ADC＝90°，则其他对应角有 ，对应边有 ．
3．下列命题中正确的是 （ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．两个等边三角形是全等三角形
D．全等三角形周长、面积分别相等
4．已知△DEF≌△ABC，AB＝AC，且△ABC的周长是23cm，BC＝4cm，则△DEF的边中必有一条边等于 （ ）
A．9．5cm B．9．5 cm或9 cm C．6cm D．4cm或9cm
5．下列命题中，真命题的个数是 （ ）
①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等
A．4 B．3 C．2 D．1
6. 能使两个直角三角形全等的条件是( )
A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等
C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等
7．能确定△ABC≌△DEF的条件是 （ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
8．如图4－3，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ）
图4－3
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
9．如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，
若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 _______或 ；
若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 或 ．
10. 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2.求证： △ABD≌△ACE
11. 已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD,AM=CN， BM=DN.求证： AM∥CN，BM∥DN???
7．已知：如图2－4，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.
8．已知：如图4－2，ACBD．求证：OA＝OB，OC＝OD．
9.已知：如图4－6，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．
求证：HN＝PM.
10.如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE，求证：AF=CE.
11、如图（14）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D。
（1）求证：AE=CD，（2）若BD=5㎝，求AC的长。
12.三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A、三条边的垂直平分线的交点
B、三条高的交点 C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点
13．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，∠BAC的平分线AD
交BC于D，且CD∶DB＝3∶5，则D到AB的距离等于 ． 第13题图
14．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，
BE⊥AB，垂足为E，若AB＝20 cm，则△DBE的周长等于 ．
15．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线
交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是 ．
16．如图13—3—2所示，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD.求证：BE＝CF．
17．如图，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．求证：∠CDE=∠CDF．
三、灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、全等三角形的证明思路：
证明的书写步骤
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
注意：
1.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
2.证明线段(或角)相等转化成证明线段(或角)所在的两个三角形全等.
4、常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
6) 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
1.倍长中线（线段）造全等
1、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
(?http:?/??/?www.czsx.com.cn?)
2.截长补短
(1)、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC
3.平移变换
(1).如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.
4.借助角平分线造全等
(1)、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,
CE相交于点O，求证：OE=OD
5.旋转
(1). 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
5、全等三角形证明中常见图形：
6、全等三角形习题精选
1.五大判定定理记忆与应用
1．下列命题中正确的是（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等 C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等
2.下列说法正确的是 （ ）
A.周长相等的两个三角形全等 B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等 D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
3.如图 , 在∠AOB的两边上，AO=BO , 在AO和BO上截取CO=DO , 连结AD和BC交于点P , 则△AOD≌△BOC理由是（ ）
A.ASA B.SAS
C.AAS D.SSS
4.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）
A. 相等 B. 不相等 C. 互余或相等 D. 互补或相等
2.重点图形的识记
1. 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD，求证：AB=BE，BC=DB。
2. 如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，求证：CE=DE
3. 如图：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D。求证：BD=DC。
3.重点证明过程的书写
1.如图，AE=AC， AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证： ED＝CA．
2.如图，已知AB=AD，AC平分∠DAB，求证：。
3.已知：如图, FB=CE , AB∥ED , AC∥FD, F、C在直线BE上．求证：AB=DE , AC=DF．
4.如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．猜想线段AC与EF的关系，并证明你的结论.
4.全等三角形的难点：
1. 复杂图形的分析能力培养
如图和均为等边三角形，求证：DC=BE。
２．条件的发散能力培养
如图∠ABC＝90°AB＝BC，D为AC上一点分别过A.C
作BD的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF＝CF－AE.
5.角平分线性质和判定的运用
1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝5㎝，BD＝3㎝，则点D到AB的距离为______㎝．
2、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28 cm2，AB=20cm，AC=8cm，则DE的长为_________ cm．
3、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， AD平分∠CAB交BC于D，
DE⊥AB于E， AB=10求△BDE的周长
4．已知：如图，BD=CD，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E．求证：AD平分∠BAC．
5.综合运用题
1．△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E
(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明
2．如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD
3．已知点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE
猜想AB与CD数量关系，并说明理由.
4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。
５．在四边形ABCD中，BC>BA，AD＝DC，BD平分，求证：
６．已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD的长。
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