2019年秋北师大版八年级上数学第四章一次函数全章教案

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2019年秋北师大版本八年级数学第四章一次函数全章教案
１. 函 数
一、学生起点分析
在七年级上期学习了用字母表示数，体会了字母表示数的意义，学会了探索具体事物之间的关系和变化的规律，并用符号进行了表示；在七年级下期又学习了“变量之间的关系”，使学生在具体的情境中，体会了变量之间的相依关系的普遍性，感受了学习变量之间的关系的必要性和重要性，并且积累了一定的研究变量之间关系的一些方法和初步经验，为学习本章的函数知识奠定了一定的基础。
二、教学任务分析
《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第四章《一次函数》第一节的内容。教材中的函数是从具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，主要是通过学生探索实际问题中存在的大量的变量之间关系，进而抽象出函数的概念。与原传统教材相比，新教材更注重感性材料，让学生分析了大量的问题，感受到在实际问题中存在两个变量，而且这两个变量之间存在一定的关系，它们的表示方式是多样地，如可以通过列表的方法表示，可以通过画图像的方法表示，还可以通过列解析式的方法表示，但都有着共性：其中一个变量依赖于另一个变量。
本节内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量间的关系的考察，让学生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。同时，函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。一次本节课教学目标定位为：
1．初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数；
2．根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值；
3．了解函数的三种表示方法。
4．通过函数概念的学习，初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力；
5.在函数概念形成的过程中，培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神
对学生来讲本节课的难点在于对函数概念的理解
四、教学准备
教具：教材，课件，电脑 学具：教材，笔，练习本
五、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境、导入新课；第二环节：展现背景，提供概念抽象的素材；第三环节：概念的抽象；第四环节：概念辨析与巩固；第五环节：课时小结；第六环节：布置作业
第一环节：创设情境、导入新课
内容：
展示一些与学生实际生活有关的图片，如心电图片，天气随时间的变化图片，抛掷铅球球形成的轨迹，k线图等，提请学生思考问题。
意图：
承接上一学期变量关系的学习，让学生感受到变量之间关系的是通过多种形式表现出来的，感受研究函数的必要性。
效果：
生活实例，激发了学生的研究热情，起到很好的导入效果。

第二环节：展现背景，提供概念抽象的素材
内容：
问题1.你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？你能描述一下坐摩天轮的感觉吗？
当人坐在摩天轮上时，人的高度随时间在变化，那么变化有规律吗？
摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系，右图就反映了时间t(分）与摩天轮上一点的高度h（米)之间的关系.你能从上图观察出，有几个变化的量吗？当t分别取3，6，10时，相应的h是多少？给定一个t值，你都能找到相应的h值吗？
问题2.瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图这样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？

填写下表：

问题3。一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
（1）当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？（2）给定一个大于-273 ℃的t值，你能求出相应的T值吗？
意图：通过上面三个问题的展示，使学生们初步感受到：现实生活中存在大量的变量间的关系，并且一个变量是随着另一个变量的变化而变化的；变量之间的关系表示方式是多样的（图象、列表和解析式等）.
效果：通过图片展示和三个问题的探究，使学生感受生活中的确存在大量的两个变量之间的关系，并且这两个变量之间的关系可以通过三种不同的方式表现，初步了解三种方式表示两个变量之间关系的各自特点.
第三环节：概念的抽象
内容：1．引导学生思考以上三个问题的共同点，进而揭示出函数的概念：
在上面的问题中，都有两个变量，给定其中一个变量（自变量）的值，相应的就确定了另一个变量（因变量）的值.
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
2．点明函数概念中的两个关键词：两个变量,一个x值确定一个y值，它们是判断函数关系的关键。
3．再通过对上面3个情境的比较，引导学生思考三个情境呈现形式的不同（依次以图像、代数表达式、表格的形式反映两个变量之间的关系），得出函数常用的三种表示方法：
图象法 ； （2）列表法 ； （3）解析法。
意图：通过比较异同点，揭示函数的本质概念和不同的表示方法。
效果：教学过程中，由于有了七年级较好的铺垫，学生都能顺利地抽象出有关概念。
第四环节：概念辨析与巩固
内容：1．介绍常量与变量的概念
常量：在某一变化过程中,始终保持不变的量；
变量：在某一变化过程中,可以取不同数值的量．
指出下列关系式中的变量与常量：
（1）球的表面积S（cm2）与球半径R（cm)的关系式是Ｓ＝４R2
（2）以固定的速度V0（米／秒）向上抛一个球，小球的高度ｈ（米）与小球运动的时间ｔ（秒）之间的关系式是ｈ＝V0t-4.9t2.
2．概念应用举例
1. 小明骑车从家到学校速度是15千米/时，你能表示出他走过的路程s与时间t之间的变化关系吗？S是t的函数吗？路程s随时间t的变化的图像是什么？略解：S=15t,是函数，图像略.
2. 如果A、B路程为200千米，一辆汽车从A地到B地行驶的速度v与行驶时间t是怎样的变化关系？V是t的函数吗？速度v随时间t的变化的图像是什么？略解： ，是函数，图像略.
3. 若正方形的边长为x,则面积y与边长x之间的关系是什么？y是x的函数吗？面积y随边长x的变化的图像是什么？
略解：s=x2,是函数，图像通过课件展示给同学们
意图：通过常量与变量区别阐述，进一步理解函数的关键；通过三个例题，对函数概念进行更深入的探讨，再次揭示函数概念的本质特征.
效果：通过对函数基本特征的反复比较与探究，学生能比较深刻地理解函数的概念；同时三个例题涉及了初中阶段将要学到一次函数、反比例函数和二次函数，也为学生将来学习这三种函数留下了一个初步的印象.
第五环节：课时小结
内容：请同学们针对本节的内容进行自我小结，学生之间相互补充后；最后教师总结。
意图：引导学生自己总结本节课的知识要点和数学学习方法，使学生从感性上升到理性，形成系统的知识。
效果：学生各抒己见，然后相互补充完善，最后师生共同完成了小结内容。当然，在学生发言时，教师要注意学生的语言表述的准确性。
最终总结了下面的内容：
1．初步掌握函数的概念，并能判断两个变量之间的关系是否是函数的关系。
理解函数的概念应抓住以下三点：
（1）函数的概念由三句话组成：“两个变量”，“x的每一个值”，“y有确定的值”；
（2）判断两个变量是否有函数关系不是看它们之间是否有关系是存在，更重要的是看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应；
（3）函数不是数，它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系。
2．在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，并能由给定的自变量的值，相应的求出函数的值。
3．函数的三种表达式：
（1）图象法（用图像来表示函数的方法）；
(2)列表法（把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格来表示函数的反方法）；
（3）解析法（用代数式来表示函数的方法，用来表示函数关系的式子叫做函数关系式，函数关系式是等式，在书写时有顺序性，一般写成：“函数=函自变量的代数式”的形式）。
4．学会用辩证唯物主义的观点的看待一个问题。
5．本节课用到的基本思想是：通过观察、分析、对比、归纳等过程获取数学知识.
第六环节：布置作业 习题4.1
六、教学设计反思
（一）突出重点、突破难点的策略
函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对函数的学习一直以来都是中学阶段的一个重要的内容。函数的概念是学习后续“函数知识”的最重要的基础内容，而函数的概念又是一个比较抽象的，对它的理解一直是一个教学难点，学生对这些问题的探索以及研究思路都是比较陌生的，因此，在教学过程中，注意通过对以前学过的“变量之间的关系”的回顾与思考，力求提供生动有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣；并通过层层深入的问题设计，引导学生进行观察、操作、交流、归纳等数学活动，在活动中归纳、概括出函数的概念；并通过师生交流、生生交流、辨析识别等加深学生对函数概念的理解。
（二）评价方式
根据新课标的评价理念，教师在课堂中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需求，鼓励学生探索方式、表达方式和解题方法的多样化。在教学活动中教师要关注学生的参与程度和表现出来的思维水平，应关注的是学生对概念的理解水平和学生的语言表达的能力，应关注学生对概念理解的程度和是否能准确的判断所给的问题是否是函数关系，关注学生能否用辩证唯物主义的观点看待事物，教学中又通过学生“议一议”、“想一想”等活动情况和学生对反馈练习的完成情况，分析学生的认识状况和列出函数关系的能力水平。另外，对于学生的回答教师应给预恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能。
附：板书设计

２．一次函数

一、学生起点分析
在七年级下期学生已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数。本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数.由于有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有部分学生表述上还不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，如将解析式写成等，培养学生良好的书写习惯.

二、教学任务分析
《一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书 八年级 (上) 第四章 《一次函数》的第二节.本节内容安排了1个课时：让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
与原传统教材相比，新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识的安排顺序，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特殊情况给出来的.
本节课教学目标分析是：
(1)理解一次函数和正比例函数的概念；
(2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
(3)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；
(4)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力.
(5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.
(6)在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
本节课教学重点是： 理解一次函数和正比例函数的概念.
本节课教学难点是： 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.
三、教学过程设计
本节课设计了七个环节: 第一环节:复习引入；第二环节：新课讲述；第三环节：巩固练习；第四环节：知识提高；第五环节：反馈练习；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业.
第一环节：复习引入
内容：复习上节课学习的函数,教师提出问题:
什么是函数?
函数有哪些表示方式?
在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢?
意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识.
效果：问题(1)(2)学生都能快而准的回答,问题(3)是在一个开放的环境中回答,学生不能很准确的表述出来,可让学生互相补充,也可教师进行补充、完善.通过学生亲身经历了感受函数在生活中的运用过程,初步形成数学建模的思想,感受成功的喜悦,充分体现了本节课的情感、态度目标.
若课堂气氛比较沉闷,也可由教师先举例,让学生来列函数表达式,激发学生的学习激情,再让学生举例:(如可补充如下习题)
①假设某学生骑自行车的速度为10km/h,则他骑自行车用的时间t(h)和所走过的路程s之间的关系是什么?
②上网费用是2元/小时,则上网t(小时),费用y(元)的关系式是什么?
第二环节：新课讲述
内容：例1 某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
(2)你能写出x与y之间的关系式吗? 答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；(2) .
例2 某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.
(1)完成下表:
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
油箱剩余汽油量y/L
(2)你能写出x与y之间的关系式吗?
(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢?
答案 (1) 100、91、82、73、64、46；
(2) x与y之间的关系式为 ；
(3) 汽车行驶路程x不可能无限增大,因为汽油只有100L,每行驶50km耗油9L,行驶560km后,油箱就没有油了,所以x不会超过560km.y代表油箱剩余油量,所以y应该小于100但不能小于零.
通过观察、探索、总结,归纳出一次函数与正比例函数的概念:
一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成(为常数,≠0)的形式,则称是的一次函数(是自变量,为因变量).特别地,当时,则是的正比例函数.
意图：从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发,通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.
效果：从两个具体问题的函数表达式出发，互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立障,引导学生大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义，提高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力.
主要从函数解析式这一角度去研究一次函数，这是学生第一次正式接触函数的表达式，教学中可根据学生状况多加一些例子，让学生逐步学会从函数表达式去认识函数，进一步掌握一次函数的定义.
第三环节：巩固练习
内容:1.在函数(1),(2),(3),(4),
(5) (6)中是一次函数的是 ,是正比例函数的是 .
2.若函数是一次函数,则应满足的条件是 ；若是正比例函数,则应满足的条件是 .
3.当= 时,函数是关于的一次函数.
意图：对本节知识进行巩固练习.
效果：学生基本能交好的独立完成练习题,收到了较好的教学效果.
在第3题中,学生易忘记≠的条件,而错误的将答案写成±.

第四环节：知识提高
内容：例3 写出下列各题中与之间的关系式,并判断:是否为的一次函数?是否为正比例函数?
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程(千米)与行驶时间(时)之间的关系；
(2)圆的面积(厘米2)与它的半径(厘米)之间的关系；
(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,个月后这棵树的高度为(厘米),则与的关系.
答案: (1)由路程=速度×时间,得,是的一次函数,也是的正比例函数；
(2)由圆的面积公式,得,不是的一次函数,也不是的正比例函数；
(3)这棵树每月长高2厘米,个月长高了厘米,因而,是 的一次函数,但不是的正比例函数.
例4 某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次0.2元.
(1)写出每月电话费(元)与通话次数(＞50)的函数关系式；
(2)求出月通话150次的电话费；
(3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数.
分析:解决此类问题首先要理解题意,然后找出相等关系.此题相等关系为:每月通话费=月租费+超过50次后电话费.
答案: (1)根据题意得: ×,即；
(2)当时,×；
(3)因为＞,可知通话次数大于50次,即当时,求的值.,解得.
意图：通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用,发展学生的抽象思维能力.
充分加强数学与现实的联系,促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展.
效果：根据已知条件写出简单的一次函数的表达式,教学时,学生会出现一定的差异,此时,要给予学生足够的思考时间,必要的时候可组织学生交流讨论,而不能是简单的“告诉”.另外,在教学上还必须注意培养学生的书面表达能力,这些都是逻辑思维训练的一部分.
在例4中的(1)中,易错解为.应让学生仔细审题,找准等量关系；(2)、(3)两问是给定自变量的值,求函数数值，这类问题的实质就是解方程.
第五环节：反馈练习
内容:1.下列语句中,具有正比例函数关系的是( )
(A) 长方形花坛的面积不变,长与宽之间的关系；
(B) 正方形的周长不变,边长与面积之间的关系；
(C) 三角形的一条边不变,这条边上的高与面积之间的关系；
(D) 圆的面积为,半径为,与之间的关系.
2．我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于1600元的部分不收税；月收入超过1600元但低于2100元的部分征收5%的所得税……如果某人月收入1960元.他应缴纳个人工资、薪金所得税为（）×%=（元）.
（1）当月收入大于1600元而又小于2100元时，写出应缴纳所得税（元）与月收入（元）之间的关系式.
（2）某人月收入为1760元，他应该缴纳所得税多少元？
（3）如果某人本月缴所得税元，那么此人本月工资、薪金是多少以元？
意图：对本节知识进行巩固练习.
效果：学生基本能较好地独立完成练习题,收到了较好的教学效果.
在第2题,学生容易遗忘几何的相关内容,在此教师可作适当的提醒,让学生更顺利地完成习题.
第六环节: 课堂小结
内容: 这节课我们学习了一类很有用的函数—— 一次函数，只要解析式可以表示成（为常数，≠0）的形式的函数则称为一次函数.正比例函数是一次函数当时的特殊情形.（方式：师生互相交流总结.）
目的：鼓励学生结合本节课的学习内容,谈谈自己的收获和感想,进一步巩固本节课的知识.
实际效果：学生畅所欲言自己对本节课的感受与收获,都能准确的说出一次函数与正比例函数的概念.但学生容易忽略一次函数与实际生活的联系,教师应做适当补充.
第七环节：布置作业
1．根据下表写出之间的一个关系式.


2. 某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分钟交费0.4元.
（1）写出每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系式；
（2）某手机用户这个月通话时间为152分，他应缴费多少元？
（3）如果该手机用户本月预交了200元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？
3．某电信公司手机的B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分钟收费元.按照此类收费标准，分别完成第2题中各小题.
4．根据上面第2，3题中的条件，完成下列各题：
（1）若每月平均通话时间为300分，你选择哪类收费方式？每月通话多长时间时，按A，B两类收费标准缴费，所交话费相等？
四、教学设计反思
1．本课时在初中数学学习中的重要性
函数是初中阶段数学学习的一个重要内容，学生又是第一次接触函数，充分考虑学生的接受能力，本节从生动有趣的问题情景出发，通过对一般规律的探索过程，从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.又通过具有丰富的现实背景的例题，进一步理解一次函数和正比例函数的概念，为下一步学习《一次函数图象》奠定基础，并形成用函数观点认识现实世界的能力与意识.
2．怎样对学生进行引导
本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识较强,思维活跃,对研究常量的计算问题已掌握了一定的方法,但对函数、变量的变化规律的学习刚刚开始,抽象概括概念的能力尚显不足,为此，我力求以下三个方面对学生进行引导:
(1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程；(2)从学生活动出发,通过以旧引新,顺势教学过程；
(3)借助探索,通过思维深入,领悟教学过程.
3．注意改进的方面
在讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
3. 一次函数的图象（第1课时）
一、学生起点分析
八年级学生已在七年级学习了“变量之间的关系”，对利用图象表示变量之间的关系已有所认识，并能从图象中获取相关的信息，对函数与图象的联系还比较陌生，需要教师在教学中引导学生重点突破函数与图象的对应关系．
二、教学任务分析
《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第三节．本节内容安排了2个课时，第1课时是让学生了解函数与对象的对应关系和作函数图象的步骤和方法，明确一次函数的图象是一条直线，能熟练地作出一次函数的图象。第2课时是通过对一次函数图象的比较与归类，探索一次函数及其图象的简单性质．本课时是第一课时，教材注重学生在探索过程的体验，注重对函数与图象对应关系的认识．
为此本节课的教学目标是:
1．了解一次函数的图象是一条直线， 能熟练作出一次函数的图象．
2．经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
3．已知函数的代数表达式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力．
4．理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系．
教学重点是:初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
教学难点是:理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系．
三、教学过程设计
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境 引入课题；第二环节：画一次函数的图象；第三环节：动手操作，深化探索；
第四环节：巩固练习，深化理解；第五环节：课时小结；第六环节：拓展探究；第七环节：作业布置．
第一环节：创设情境 引入课题
内容： 一天，小明以80米/分的速度去上学，请问小明离家的距离S（米）与小明出发的时间t（分）之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？ S=80t（t≥0）
下面的图象能表示上面问题中的S与t的关系吗？
我们说，上面的图象是函数S=80t（t≥0）的图象,这
就是我们今天要学习的主要内容：一次函数的图象的特殊情况正比例函数的图象。
目的：通过学生比较熟悉的生活情景，让学生在写函数关系式和认识图象的过程中，初步感受函数与图象的联系，激发其学习的欲望．
效果：学生通过对上述情景的分析，初步感受到函数与图象的联系，激发了学生的学习欲望．
第二环节：画正比例函数的图象
内容：首先我们来学习什么是函数的图象？
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph）．
例1 请作出正比例函数y=2x的图象．
解：列表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y=2x … -4 -2 0 2 4 …
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．
连线：把这些点依次连结起来，得到y=2x的图象．
由例1我们发现：作一个函数的图象需要三个步骤：
列表，描点，连线．
目的：通过本环节的学习，让学生明确作一个函数图象的一般步骤，能做出一个函数的图象，同时感悟正比例函数图象是一条直线．
效果：学生通过学习，掌握了作一个函数图象的一般方法，能作出一个函数的图象，同时感悟到正比例函数图象是一条直线．
第三环节：动手操作，深化探索
内容：做一做
（1）作出正比例函数y=3x的图象．
（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y=3x．
请同学们以小组为单位，讨论下面的问题，把得出的结论写出来．
（1）满足关系式y=3x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=3x的图象上吗？
（2）正比例函数y=3x的图象上的点（x，y）都满足关系式y=3x吗？
（3）正比例函数y=kx的图象有什么特点？
明晰,由上面的讨论我们知道：正比例函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足正比例函数的代数表达式的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数的图象上；正比例函数的图象上的点（x，y）都满足正比例函数的代数表达式．正比例函数y=kx的图象是一条直线，以后可以称正比例函数y=kx的图象为直线y=kx．
议一议:既然我们得出正比例函数y=kx的图象是一条直线．那么在画正比例函数图象时有没有什么简单的方法呢？
因为“两点确定一条直线 ”，所以画正比例函数y=kx的图象时可以只描出两个点就可以了．因为正比例函数的图象是一条过原点(0,0)的直线,所以只需再确定一个点就可以了,通常过(0,0),(1,k)作直线.
例2 在同一直角坐标系内作出y=x,y=3x,y=-x,y=-4x的图象．
解：列表
x 0 1
y=x 0 1
y=3x 0 3
y=-x 0 -
y=4x 0 -4
过点（0，0）和（1，1）作直线，则这条直线就是y=x的图象．
过点（0，0）和（1，3）作直线，则这条直线就是y=3x的图象．
过点（0，0）和（1，-）作直线，则这条直线就是y=-x的图象．
过点（0，0）和（1，-4）作直线，则这条直线就是y=-4x的图象．
目的：做一做“作出这几个正比例函数的图象”，意在让学生进一步熟悉如何作一个正比例函数的图象，同时要求学生通过这几个函数的图象，分析正比例函数图象的性质,以及k的绝对值大小与直线倾斜程度的关系.
效果：学生通过作出正比例函数的图象，明确了作函数图象的一般方法．在探究函数与图象的对应关系中加深了理解，并能很快地作出正比例函数的图象．
议一议
上述四个函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化?
在正比例函数y=kx中,
当k＞0时,图象在第一、三象限，y的值随着x值的增大而增大(即从左向右观察图象时,直线是向上倾斜的);当k＜0时, 图象在第二、四象限， y的值随着x值的增大而减小 (即从左向右观察图象时,直线是向下倾斜的).
请你进一步思考:
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数y=-x和y=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
我们发现：越大，直线越靠近y轴。
第四环节：巩固练习，深化理解
内容：练习1：在同一直角坐标系中分别作出y=x与y=-x的图象．
练习2：当时，与的函数解析式为，当时，与的函数解析式为，则在同一直角坐标系中的图象大致为( )




(A) (B) (C ) ( D)
练习3：对于函数的两个确定的值、来说，当时，对应的函数值与 的关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
目的：这里的三个练习题，一是让学生熟练正比例函数图象的作法，二是明确正比例函数图象的性质，要注意自变量的取值范围。
效果：学生通过练习，进一步熟练了正比例函数图象的作法，对正比例函数和正比例函数图象的一般特征有了清楚的认识．
第五环节：课时小结
内容：本节课我们通过对正比例函数图象的研究，掌握了以下内容：
（1）函数与图象之间是一一对应的关系；
（2）正比例函数的图象是一条经过原点的直线．
（3）作正比例函数图象时，只取原点外的另一个点，就能很快作出．
目的：让学生在回忆的过程中，进一步加深对正比例函数图象的理解，同时对本节所学知识有一个总结性的认识．
效果：学生通过对本节学习的回顾和小结，对所学知识更清楚，抓住了重点，明确了关键．
第六环节：拓展探究
内容：
如图所示，你认为下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
目的：对学有余力的学生，能进一步提高，让他们的学习活动深入下去，同时为以后学习正比例函数图象的应用奠定基础．
效果：学生通过对上面问题的探究，对正比例函数图象的认识更深入．
第七环节：作业布置 习题4.3 1、2、3、4题，5题选做。
四、教学设计反思
这节内容是学生利用数形结合的思想去研究正比例函数的图象，对函数与图象的对应关系有点陌生．在教学过程中教师应通过情境创设激发学生的学习兴趣，对函数与图象的对应关系应让学生动手去实践，去发现，对正比例函数的图象是一条直线应让学生自己得出．在得出结论之后，让学生能运用“两点确定一条直线”，很快作出正比例函数的图象．在巩固练习活动中，鼓励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力．
当然，根据学生状况，教学设计也应做出相应的调整。如第一环节：创设情境 引入课题，固然可以激发学生兴趣，但也可能容易让学生关注代数表达式的寻求，甚至队部分学生形成一定的认知障碍，因此该环节也可以直接开门见山，直入主题，如提出问题：正比例函数的代数形式是y=kx，那么，一个正比例函数对应的图形具有什么特征呢？今天我们就研究正比例函数对应的图形特征——-正比例函数图象。
３. 一次函数的图象（第2课时）
学生起点分析
八年级学生已初步认识了变量之间的相依关系，积累了研究变量之间关系以及图象的一些方法和初步经验.在此基础上，学生能在“引导——探究——发现”式的课堂教学中积极参与讨论问题，大胆发表自己的见解和看法.但由于初中学生的年龄特点，他们借助直观、具体的图象更容易理解抽象的一次函数图象的变化规律及其性质.
教学任务分析
《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第三节。本节内容安排了2个课时完成.第1课时让学生了解了作正比例函数图象的方法，并通过作图的操作过程，明确正比例函数的图象性质.本节课为第2课时，主要是通过对一次函数图象的比较与归类，探索一次函数及其图象的简单性质.与原传统教材相比，新教材更注重借助感性材料，让学生在具体操作中获得有关一次函数图象的变化规律以及在具体图象中函数值的增减性和增减速度、具体直线之间的平行、相交等位置关系，实际上，这一过程，也是培养学生数形结合的意识和能力的好机会，并为今后继续学习一次函数的应用以及一次函数与二元一次方程的关系打下基础.
为此，本节课的教学目标是：
1.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质；
2.经历对一次函数图象变化规律的探究过程，学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略；
3.在结合图象探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想；
4.通过对一次函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.
教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节： 图片展示；第二环节：复习引入；第三环节：活动探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置.
第一环节：创设情境
内容：展示一些与实际生活息息相关的图片.说明在我们生活中，有许许多多这样的图案，这些图象当中蕴含着某些规律，人们利用这些规律，能更合理地作出决策或预测.



目的：通过富有现实意义的图片展示，引入生活中熟悉的图片，使学生感受到图象里蕴含的某些规律可以使人们作出合理、科学的决策，激发学生的求知欲望，感受图象的实用价值.
说明：通过欣赏这些生活中的图象，学生感受到图象中所蕴含的规律，激发了学生的好奇心和求知欲.
第二环节：复习引入
内容：在前面，我们已经学会了绘制正比例函数图象，明确了正比例函数图像的有关性质，那么一次函数图象中又蕴含着什么规律，这节课我们就来研究一次函数图象的性质.首先，我们来复习一下上节课所学习的知识.
复习提问：（1）作函数图象有几个主要步骤？
（2）上节课中我们探究得到正比例函数图象有什么特征？
目的：学生回顾上节课学习的内容，为进一步研究一次函数的图象和性质做好铺垫.在上节课的探究中我们得到正比例函数图象是过原点的一条直线.本节课主要内容是对一次函数中常数、b对图象的影响进行探究.
本节课也可从第二环节复习引入开始，直接进入本课题的学习.
说明：学生通过知识回顾，再次明确正比例函数图象的一些特征，为学习本节课在知识上作好准备.
第三环节： 活动探究
1、合作探究，发现规律
内容：观察在同一直角坐标系内的下列一次函数的图象.
；
得出结论：一次函数图像是一条直线.因此作一次函数图像时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了.一次函数的图像也称为直线.
议一议：（1）观察图象，它们分别分布在哪些象限.（2）观察每组三个函数的图象，随着x值的变化，y的值在怎样变化？
（3）从以上观察中，你发现了什么规律？
归纳出一次函数图象的特点：在一次函数中
当时，y随x的增大而增大，当b0时，直线必过一、二、三象限； 当b0时，直线必过一、三、四象限；
当时，y随x的增大而减小，当b0时，直线必过一、二、四象限； 当b0时，直线必过二、三、四象限.
目的：归纳出一次函数图象中系数k，b对函数图象的影响。
说明：本节课主要是结合一次函数的图象，探究一次函数的简单性质，教学内容较多，为更好地突出教学重点，提高课堂教学效率，建议在上一节课的家庭作业中，要求学生绘制上述两组函数图象在作业本上.
本节课首先请学生展示作出的函数图象,师生、生生互评，再让学生结合自己绘制的函数图象来探究一次函数的性质.通过问题串的精心设计，引导学生对k，b两个常数进行分类讨论，探索出k、b值的变化对图象的影响和变化规律.在此过程中渗透分类讨论的思想方法,培养学生数形结合的意识.
学生拿出课前已经做好的函数图象.通过师生互动、生生互动进行批改,互评.让学生再次巩固了已学知识，调动了学生学习的自主意识.在此基础上学生进行观察并分小组对一次函数中k，b的几何意义作了初步的探索.本环节通过独立思考和小组讨论，培养学生的识图能力、探究能力和合作能力.初步感受到了一次函数的图象及函数的性质由常数k、b决定.
2观察思考，深入探究
内容1：右图是某次110米栏比赛中两名选手所跑的路程s（米）和
所用时间t（秒）的函数图象. 观察图象,你能看出谁跑得更快吗?
目的：学生通过对熟悉的实际问题的讨论，体会不同函数图象的倾斜程度不同，函数值的增减速度也不同，为下面进一步探究一次函数图象的性质作了铺垫.
说明：通过具体的实例，学生在观察讨论中发现可以从图象的倾斜程度看出谁跑得更快，那么一次函数图象的倾斜程度又由什么决定呢？再次激发学生的求知欲望，为课堂注入新的活力.
内容2：（1）作出一次函数，和的图象，观察图象，x从0开始逐渐增大，哪个函数的值先到达6？ 直线，和哪个与x轴正方向所成的锐角最大？ 从中你能发现与x轴正方向所成的锐角的大小是由什么决定的？
（2）直线与的位置关系如何？（3）直线与的位置关系如何？
引导学生结合函数图象，回答以上的问题.
结合上面几个例子，你认为平面内不重合的两条直线的位置关系由什么决定？请和同桌交流，看看对你有没有启发.
从而希望学生总结出一次函数图象的特点：
当时，k的值越大，直线与x轴的正方向所成的锐角越大.
同一平面内，不重合的两条直线：与：
当时，； 当时，与相交.
目的：问题（1）在教材中是放在一次函数图象的第一节课，根据教学安排，我们把这个内容调整到了本节课.经过自主探究、合作交流，力图让学生对两直线的位置关系及k，b的几何意义作进一步的探讨，感受在具体图象中平行、相交等位置关系以及函数图象中函数值的增减速度与k值之间的联系.
说明：学生通过讨论，得出所观察到的图象的规律，在教师的引导下，逐步加深对一次函数图象及性质的认识.
内容3：比一比，看谁画得快 一次函数的图象如图所示，你能画出函数和的图象吗？
目的：学生作图（学生可能按常规过两点作直线，也可能利用两直线的位置关系，过直线外一点作已知直线的平行线）.利用所学的知识反过来解决了作图问题，再次强调了数形结合的思想.
说明：通过探究，学生已经了解了一次函数图象的特点.根据一次函数图象的特点，学生能较容易的完成此题.
3归纳总结，认识规律
内容：归纳总结一次函数图象的特点：
1.在一次函数中
当时，y随x的增大而增大，当b0时，直线必过一、二、三象限； 当b0时，直线必过一、三、四象限；
当时，y随x的增大而减小，当b0时，直线必过一、二、四象限； 当b0时，直线必过二、三、四象限.
2.当时，k的值越大，直线与x轴的正方向所成的锐角越大.
3. 同一平面内，不重合的两条直线：与：
当时，； 当时，与相交.
目的：通过师生、生生互动，共同总结，使学生再次明确一次函数图象的特点，为下个环节的知识运用作好准备.
说明：通过教师的引导，学生之间的相互补充，完善，很容易归纳出一次函数图象的特点.
第四环节：反馈练习
内容：1.你能找出下列四个一次函数对应的图象吗？请说出你的理由：
（1）； （2）； （3）； （4）.



2.（1）判断下列各组直线的位置关系：
（A）与； （B）与
（2）已知直线与一条经过原点的直线平行，则这条直线的函数关系式为 .
3.（1）一次函数的图象经过的象限是（ ）
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
（2）一次函数的图象如图所示，则
的取值范围是（ ）
A.， B.，
C.， D. ，
4.小明骑车从家到学校，假设途中他始终保持相同的速度前进，那么小明离家的距离与他骑行时间的图象是下图中的 ；小明离学校的距离与他骑行时间的图象是下图中的 .




答案：1.四个图象对应的函数关系式分别为：（3）、（1）、（2）、（4）.
2.（1）平行，相交； （2）. 3.（1）D；（2）D 4. B，A.
目的：四组练习，旨在检测学生对一次函数的图象和性质的掌握情况.可根据学生情况和上课情况适当调整.若学生在回答第1题时有困难，可先引导学生完成分层教学中基础训练1、2题，若学生完成上述练习比较顺利，可根据上课时间适当选择分层教学中提高训练或知识拓展完成.
说明：四组练习注意了问题的梯度，由浅入深，一步步加深学生对一次函数图象及性质的认识.对同学的回答,教师给予点评，对回答问题暂时有困难的同学,教师应帮助他们树立信心.
第五环节 课时小结
内容：本节课我们结合一次函数的图象对一次函数的一些简单性质进行了探讨，通过这节课，我们学习了以下内容：
1．一次函数中，
当时，y的值随x的增大而增大，图象经过一、三象限；
当时，y的值随x的增大而减小，图象经过二、四象限.
2．同一平面内，不重合的两条直线：与：
当时，；当时，与相交.
用到了以下的数学思想和基本方法：
1．本节课中用到的数学思想：数形结合、分类讨论.
2．本节课中用到的基本方法：通过观察、操作、猜想、推理、类比、归纳等过程获取数学知识.
目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学思想、方法，教师再补充完善，使知识系统化.
说明：学生畅所欲言，相互进行补充,能用自己的话进行归纳总结.
第六环节 作业布置
习题4.4
课外探究
当x＞0时，y与x的关系式；当x≤0时，，则它们在同一直角坐标系中大致图象是（ ）
教学设计反思
（1）突出重点、突破难点的策略:本节课是学生首次接触利用数形结合的思想研究一次函数图象和性质，对他们而言观察对象、探索思路、研究方法都是陌生的，因而在教学过程中教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生观察一次函数的图象，探讨一次函数的简单性质，逐步加深学生对一次函数及性质的认识.在师生互动、生生互动的探索实践活动中，促成学生对一次函数知识结构的构建和完善；在巩固议练活动中，提高学生解决问题的能力.另外，针对于本节内容较多的情况，建议可以将归纳一次函数图像是一条直线的教学过程放到第1课时完成。
（2）评价方式:根据新课标的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化.在教学活动中教师应关注学生的参与程度和表现出来的思维水平，应关注的是学生对图象的理解水平和解决过程中的表述水平，应关注学生对基本知识技能的掌握情况和应用一次函数解决问题的意识的提高状况.教学中可通过学生对“议一议”、“想一想”的探究情况和学生对4组反馈练习的完成情况分析学生的认识状况和应用一次函数图象、性质解决问题的意识和能力水平.对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能.
附：板书设计





４. 一次函数的应用（第1课时）
一、学生起点分析
本节课之前，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法．
二、教学任务分析
本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象、表格等信息，确定一次函数的表达式．与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法；并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件，这个问题虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念?????---基本量．值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于、的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题．因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练．
本节课的教学目标是：①了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题．②经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法；③经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置．
第一环节　复习引入
内容：提问：（1）什么是一次函数？ （2）一次函数的图象是什么？
（3）一次函数具有什么性质？
目的：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新．
第二环节　初步探究
内容1：展示实际情境
提供两个问题情境，供老师选用．
实际情境一：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示．
(1)写出v与t之间的关系式；(2)下滑3秒时物体的速度是多少？
分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．
实际情境二：假定甲、乙二人在一项赛跑中路程与时间
的关系如图所示．
（1）这是一次多少米的赛跑？
（2）甲、乙二人谁先到达终点？
（3）甲、乙二人的速度分别是多少？
（4）求甲、乙二人与的函数关系式．
目的：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．情景一、二可根据学生情况进行选取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式．
教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法．
内容2：想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？
目的：在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于一次函数有两个基本量、，所以需要两个条件来确定．
第三环节　深入探究
内容1：例1 在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm。写出y与x之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度．
解：设，根据题意，得14.5=， ①16=3+，②将代入②，得．
所以在弹性限度内，．当时，（厘米）．
即物体的质量为千克时，弹簧长度为厘米．
目的：引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解．
教学注意事项：学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到与间的关系式．对此，教师应给予肯定，并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同．
内容2：想一想：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求一次函数表达式的步骤．
求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式．2．根据已知条件列出有关方程．
3．解方程．4．把求出的k，b值代回到表达式中即可．
目的：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上，教师可指出这种先将表
达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法．
第四环节　反馈练习
内容：1．如图，直线是一次函数的图象，求它的表达式．
2．若一次函数的图象经过A（－1，1），则 ，该函数图象经过点B（1， ）和点C（ ，0）．
３．如图，直线是一次函数的图象，填空：
（1） ， ；（2）当时， ；
（3）当时， ．
４．已知直线与直线平行，且与y轴交于点（0，2），求直线的表达式．
答案：１． ２．． ３．（1） ；
（2）；（3）．４．．
目的：四个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．
效果：四个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求一次函数的方法．对于问题４，教师可引导学生分析，并教学生要学会画图，利用图象分析问题，体会数形结合方法的重要性．学生若出现解题格式不规范的情况，教师应纠正并给予示范，训练学生规范答题的习惯．
第五环节　课时小结
内容：总结本课知识与方法
1．本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件（根据图象、表格或具体问题）求出，的值，从而确定函数解析式。其步骤如下：（1）设函数表达式；（2）根据已知条件列出有关k，b的方程；（3）解方程，求k，b；4．把k，b代回表达式中，写出表达式．
2．本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想．
目的：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．
第六环节　作业布置
习题４．５：１，２，３，４
目的：进一步巩固当天所学知识。教师也可根据学生情况适当增减，但难度不应过大．
四、教学设计反思
1.设计理念: 本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件，一次函数的确定需要两个条件，能由条件利用待定系数法求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题．本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础．
2．突出重点、突破难点策略:探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到一次函数就在我们身边，应用非常广泛．教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求一次函数表达式的一般方法．教学中还注意到尊重学生的个体差异，使每个学生都学有所获．
3.分层教学: 根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择拓展资源中内容进行补充或拓展，也可留作课后作业．
4. 一次函数的应用（第3课时）
一、学生起点分析
在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用．
二、教学任务分析
本节课是北师大版义务教育教科书八年级（上）第四章《一次函数》第四节的第3课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础．
教学目标:
1.进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；
2.在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；
3.在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．
4.在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣．
教学重点: 一次函数图象的应用
教学难点: 从函数图象中正确读取信息
三、教法学法
1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展”
2．课前准备：教具：教材，课件，电脑 学具：教材，练习本，铅笔，直尺
四、教学过程：
本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置．
第一环节：情境引入
内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.
(1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前 与 之间的关系
(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?
(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?
活动目的：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。
活动效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。
第二环节：问题解决
内容1：例1
小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为 ，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为．
（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？
（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少千米？
分析： 当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？
解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为、，
由题意得：， 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得
⑴两条直线 ，的交点坐标为（1，36）
这说明当小聪追上小慧时，，即离“古刹”，已超过，也就是说，他们已经过了“草甸”
⑵当小聪到达“飞瀑”时，即，此时 ． 所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km）
思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为 ，小慧的解析式为)？
活动目的：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力．
说明：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难，可用以下问题串引导学生进行分析。⑴两个人是否同时起步？
⑵在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否相同？出发地点是否相同？两个人的速度各是多少？⑶这个问题中的两个变量是什么？它们之间是什么函数关系？⑷如果用表示路程，表示时间，那么他们的函数解析式是一样？他们各自的解析式分别是什么？
内容2：深入探究
例2 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇 追赶（如图），下图中， 分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分）之间的关系．
根据图象回答下列问题：
（1）哪条线表示到海岸的距离与时间之间的关系？
解：观察图象，得当时，距海岸0 n mile，即，故表示到海岸的距离与追赶时间之间的关系；
（2），哪个速度快？
解：从0增加到10时，的纵坐标增加了2，而的纵坐标增加了5，即10 min内，行驶了2海里，行驶了5 n mile，所以的速度快．
（3）15 min内能否追上？ 解：可以看出，当时，上对应点在上对应点的下方，
（4）如果一直追下去，那么能否追上？解：如图 ，相交于点P．因此，如果一直追下去，那么一定能追上．
（5）当逃到离海岸海里的公海时，将无法对其进行检查．照此速度，能否在逃到公海前将其拦截？
解：从图中可以看出，与交点P的纵坐标小于，这说明在逃入公海前，我边防快艇能够追上．
活动目的：培养学生良好的识图能力，进一步体会数与形的关系，建立良好的知识联系．
说明：学生在教师的引导下，逐步形成了良好的识图能力．














第三环节：反馈练习
内容：观察甲、乙两图，解答下列问题

1．填空：两图中的（ ）图比较符合传统寓言故事《龟免赛跑》中所描述的情节．
2．根据1中所填答案的图象填写下表：
项目 主人公 （龟或兔） 到达时间（分） 最快速度（米/分） 平均速度（米/分）
红线
绿线
3．根据1中所填答案的图象求：
（1）龟免赛跑过程中的函数关系式（要注明各函数的自变量的取值范围）；
（2）乌龟经过多长时间追上了免子，追及地距起点有多远的路程？
4．请你根据另一幅图表，充分发挥你的想象，自编一则新的“龟免赛跑”的寓言故事，要求如下：
（1）用简洁明快的语言概括大意，不能超过200字；
（2）图表中能确定的数值，在故事叙述中不得少于3个，且要分别涉及时间、路和速度这三个量．
意图：旨在检测学生的识图能力，可根据学生情况和上课情况适当调整。
说明：练习注意了问题的梯度，由浅入深，一步步引导学生从不同的图象中获取信息，对同学的回答，教师给予点评，对回答问题暂时有困难的同学，教师应帮助他们树立信心。
5. 如图，与 分别表示步行与骑车同一路上行驶的路程与时间的关系．
（1）出发时与相距多少千米？（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是多少小时？
（3）出发后经过多少小时与相遇？ 若的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，
那么经过多少时间与相遇？相遇点离的出发点多远？你能用哪些方法解决这个问题？在图中表示出这个相遇点．
6.甲．乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树．设甲班植树的总量为（棵），乙班植树的总量为（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为（时），．分别与之间的部分函数图象如图所示．
（1）当时，分别求．与之间的函数关系式．
（2）如果甲．乙两班均保持前6 h的工作效率，通过计算说明，当时，甲．乙两班植树的总量之和能否超过260棵．
（3）如果6 h后，甲班保持前6 h的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束．当时，两班之间植树的总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵．
第四环节：课时小结
内容：本节课我们学习了一次函数图象的应用，在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关系式完全通过计算解决问题。通过列出关系式解决问题时，一般首先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？当确定是一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果．
意图：引导学生自己小结运用一次函数解决实际问题的主要方法。
说明：让学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用自己的语言进行归纳总结。
第五环节：作业布置 作业：习题6.7
六、教学设计反思
（1）设计理念:函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，是初中阶段数学学习的一个重要内容．在本节教学设计中，进一步体现了“问题情境——建立数学模型——应用与拓展”的模式．让学生从实际问题中抽象出函数及一次函数的概念、图象、性质，进而利用一次函数及其图象解决有关现实问题．
（2）突出重点、突破难点的策略:本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上，对有关知识进行应用和拓展．在教学过程中，教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决实际问题的能力．
附：板书设计








回顾与思考
一、学生起点分析
学生在七年级下册已经学过了第四章《变量之间的关系》，对用表格、关系式及图象表示变量间关系有所了解并初步掌握。通过本章的学习，学生已经经历了从生活中去抽象出函数、一次函数、正比例函数等概念，从数与形两个角度去认识一次函数的三种表示方式及图像的性质．感受到了表格—关系式—图象的转化过程并掌握了确定一次函数表达式的方法，能灵活运用一次函数及其图象解决实际问题．
二、教学任务分析
教科书上通过六个问题的形式要求教师引导学生回顾本章内容，梳理知识结构。本节课的教学重点一次函数图象的特征及一次函数图象的应用，教学中，教师应通过学生举例建立函数模型，关注学生对一次函数的性质与图像的理解水平与应用一次函数解决实际问题的主动意识和能力．
为此，本节课的教学目标是：
1.熟练掌握本章的知识网络结构







2.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展学生的抽象思维能力．
3.经历一次函数的图象及其性质的归纳总结过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和能力．
4.经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力．
5、能根据所给信息确定一次函数表达式，会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——本章重点内容的归纳与知识结构图的建立
第二环节：合作交流 第三环节：典型例题讲解 第四环节：练习巩固 第五环节：课堂小结 第六环节：布置作业
第一环节 课前准备
活动内容：本章重点内容的归纳与知识结构图的建立（提前一天布置）
以6人合作小组为单位，开展自我归纳与总结活动：
（1）各尽所能从课本、笔记本、教辅资料进行本章重点内容的归纳与知识结构图的建立；
（2）根据课本97页回顾与思考提出的五个问题，每一小组准备一个同学就一个问题进行成果汇报．（在必要的情况下，教师可以对学生选择的问题方面给予一定的规定与指导，使合作交流更有实效性）．
活动目的：通过第1个活动，希望学生能自主复习，学会归纳重点内容，通过知识结构图的建立理清本章内容的逻辑关系。培养学生善于总结、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识；而在第2个活动中，学生通过对他们感兴趣的问题展开深入研究，并在此过程中培养学生勇于探索、团结协作的精神．在课堂中用源于学生真实总结归纳展开教学，必将极大地激发了学生学习的积极性与主动性．
活动实际效果：学生通过小组合作方法建立了初步的知识结构图，通过对他们感兴趣的问题展开深入研究，进一步感悟了函数模型．这些都充分展现了学生走进生活感受数学的高涨热情和小组团结合作的精神．
第二环节 合作交流
内容：各小组派代表展示自己课前所归纳的本章重点内容与建立的知识结构图。并针对课本97页回顾与思考提出的五个问题中的一个问题进行成果汇报．（教师选1—3个小组进行点评并形成完整的知识要点知识与结构图）
目的：经历一次函数的图象及其性质的归纳总结过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和能力．
效果：学生在一个开放的环境下展示、讲解亲自所归纳的本章重点内容与建立的知识结构图。并针对课本97页回顾与思考提出的问题进行深入研究成果，感受到自己的劳动成果被认可的喜悦。而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使知识获取更加全面．
第三环节　 典型例题讲解
内容：例1．已知y是x的一次函数（1）根据下表写出函数表达式；
（2）补全下表
x 1 3 4 9 31 ?
y 1 5 7 ? ? ?
（3）作出函数的图象，并回答下列问题．
①随着x值的增加，y值的变化情况是________；②图象与图象与y的交点坐标有_______，与x轴的交点坐标是__________；
③当x__________时，y≥0．
例2： 甲、乙两人同时从相距90 km的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离ｙ（km）与（h）之间的函数关系图像．
（1）求甲从B地返回A地的过程中，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若乙出发后2 h和甲相遇，求乙从A地到B地用了多长时间？
解析：（1）由图象可知与之间是一次函数关系式，选择图象上两点代入即可；
（2）将x=2代人到甲返回时距离和时间的关系中求出离开A地的距离，计算出乙的速度，从而算出时间.
解（1）设，根据题意得，　 　 解得
（2）当时，
∴骑摩托车的速度为（km/h） ∴乙从A地到B地用时为（h）
目的：能根据所给信息确定一次函数表达式，会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
效果：学生理会三种表示方法的内在联系较好
第四环节　 练习巩固
1．直线的图象经过的象限是（　 　 ）
A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限
2．时钟在正常运行时，分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°．在运行过程中，时针与分针的夹角会随时间的变化而变化．设时针与分针的夹角为y（度），运行时间为t（分），当时间从12：00开始到12：30止，y与t之间的函数图象是 （　 　 ）



【答案】A．
3．如图，一次函数=+的图象与轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：
①随的增大而减小； ②＞0；
③关于的方程+=0的解为=2．
其中说法正确的有 （把你认为说法正确的序号都填上）
4．如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，﹣2），求k与b的值．
第五环节　 课堂小结
（1）函数的概念．（2）一次函数的概念 一次函数与正比例函数的关系.
（3）一次函数的不同表示方式.（4）一次函数，正比例函数的图象各有什么特征.
①一次函数的图象是一条直线，经过点（0，b）和(，0)， 正比例函数的图象是经过原点的一条直线.
②在一次函数中，当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
③．直线的位置与k、b的关系：
当k>0时经过一、三象限，当k<0时，经过二、四象限.当b>0时经过一、二象限，当b<0时，经过三、四象限
（5）确定一次函数表达式.（6）一次函数图象的应用.（7）两直线平行则K相等；两直线垂直则K互为负倒数；
第六环节　 布置作业
课本99页6、7、8、9、14
四、教学设计反思
1．把教材留给教师的空间也留给学生:教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整.教材只给出五个问题引导学生我总结与归纳，教师应给学生充分的时间去收集与探究．
2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会:通过课前小组合作归纳总结、课堂展示讲解的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。
3．注意改进的方面:在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性．

函数

1．函数的概念念

2．函数的表示方法：
（1）
（2）
（3）


做一做：
（1）


（2）


（3）


（4）

O

t（分）

S（米）

80

1











x

y

O



.

.

.

























O

x

y

















5

15

5

15



一次函数的图象（二）
一次函数的性质 　做一做
（1）—————————— （1）——————－
（2）——————————　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （2）———————

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）———————　

暂时性板书

保留性板书

海
岸

公
海

A

B

线型

S（千米）

t（时）



O

10

22.5
.5

7.5

0.5

3

1.5

lB

lA

O





y(棵)

x(时)

3

6

8

120

30

一次函数图象的应用（二）
一、例题讲解
二、想一想
三、反馈练习
四、课时小结
五、课后作业

丰富的现实背景

函数

一次函数

函数表达式

图象

函数表达式的确定

图象的应用

30

O

180

y(度)

t(分)

165

A.

30

O

180

y(度)

t(分)

B.

30

O

180

y(度)

t(分)

195

C.

30

O

180

y(度)

t(分)

D.



涉及重大决策事项、重要人事任免、重大项目安排和大额度资金使用等，具有决策、行政执法、行政许可、部门管理等决策、审批、自由裁量、事务管理决定权的领导岗位。broken problem, fill the short Board, so that the majority of party members and fully qualified, comprehensive skills of grass-roots party organizations, grass-roots party level upgrade. Comrades, do a "two" learning education is of great significance, responsibilities, carry significant implications. City levels party and general members cadres, to deep awareness "two learn a do" learning education of importance and need, to height of political consciously and full of political enthusiasm, put "two learn a do" learning education carried out good, for coordination advance "four a full" strategy layout, and achieved "Thirteen-Five" good start, and speed up construction more high ecological vitality happiness of City provides strong powerful guarantee. Two, starting from the revered Constitution respected the party Constitution was XI Jinping, General Secretary to the party's request, 18 six plenary session of the Central Commission for discipline inspection report "five experience" first. 　　Full strictly administering the party, first of all, to exalt the party Constitution, and pipe the whole party, the ruling party of the party Constitution. Revered Constitution reflected in awe. Party a party of ideals and beliefs purpose, summed up the party's fine tradition and style; a clear party members and what can be done and what must be done, what cannot be done. Each Communist Party Constitution to awe and wary eye enhancing the sacred sense of responsibility and mission. 　　Hearts filled with party Constitution, hold the party line, BA obligations unconditionally carry out party members, according to the Constitution of direction towards standards efforts. Respect reflected in the study the party Constitution means. Some party members joined the party Constitution on the shelf, not to learn, some long-term party according to the Constitution of the party's organization, the party is not required to pay membership dues, loose concept, party organizations of the party organization, and turned a blind eye on the tasks assigned by the Organization, were forgotten, forgotten vows performance the party Constitution. 　　Constitution is the fundamental standard of our Communists are slim, the party Constitution to repeatedly learn, practice, thinking, learning and thinking, thinking and row, row, ever-spiraling increase in the learning process. Respect party lines reflected in practice. Two to learn a basic Constitution Party rules, series of speeches, the key to be qualified party members. To be qualified party members, standards are not high, but if he does take a ruler of the party Constitution to "card", truly it is not easy. Carry out study and education, every party must control the party's eight obligations, ask, look for gaps, identify problems, clear direction, work to solve specific problems. Actively practicing in the production life of the eight obligations, to play a vanguard and exemplary role, truly a party banner. "Two" fight to highlight grass-roots party organizations