第四章图形的性质第30节 与圆有关的计算
■考点1.正多边形与圆
(1)正多边形：各边 ，各角 的多边形叫做正多边形．
(2)圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
(3)正n边形酌内角和= ；正n边形的每个内角度数= ；正n边形外角和= ；正n边形的每个外角度数= ．
边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.
特殊正多边形中各中心角、长度比：
中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2:1:2 a:r:R=2:：2
■考点2.与圆有关的计算
1．弧长公式：（n为圆心角的度数，r为圆的半径，该公式涉及f，n，r三个量，已知其中任意两个量，都可求第三个量．）
2．有关阴影部分面积的求法
(1)扇形的面积公式：S=（n为圆心角的度数．r为圆的半径．l表示弧长）．
(2)求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积，常用方法有：①割补法：②拼凑法：③等积变形法．
3．圆柱的侧面展开图是 ，圆柱侧面积= ，圆柱全面积= ．
■考点1.正多边形与圆
◇典例：
（2019年广西河池市）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】正多边形和圆
【分析】过点B作BG⊥AC于点G．，正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，即∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，于是AG＝AC＝，AB＝2，
解：如图，过点B作BG⊥AC于点G．
正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴AG＝AC＝，
∴GB＝1，AB＝2，
即边长为2．
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形，熟练运用正多边形的内角和公式是解题的关键．
◆变式训练
（2019年湖北省孝感市）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝ ．
■考点2.与圆有关的计算
◇典例
（2019年湖北省武汉市）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A．B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆周角定理，轨迹，弧长公式计算
【分析】如图，连接EB．设OA＝r．易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．
解：如图，连接EB．设OA＝r．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E是△ACB的内心，
∴∠AEB＝135°，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝DB＝r，
∴∠ADB＝90°，
易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，
∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
（2019年湖北省咸宁市）如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【考点】圆周角定理，扇形面积的计算
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD和∠COB的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去△AOC和扇形BOC的面积．
解：连接OC、BC，作CD⊥AB于点D，
∵直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∠COB＝60°，
∴AC＝3，
∵∠CDA＝90°，
∴CD＝，
∴阴影部分的面积是：＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．
【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（2019年江苏省徐州市）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为 cm．
【考点】圆锥的计算
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，
设圆锥的母线长为R，则：＝4π，
解得R＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长，弧长公式为：．
◆变式训练
（2019年黑龙江省哈尔滨市）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是________度.
（2019年河南省 (1)）如图，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．若，则阴影部分的面积为_____．
（2019年广西贵港市）如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为 ．
（2019年江苏省宿迁市）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A． B． C． D．
（2019年四川省成都市）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
（2019年浙江省温州市）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
（2019年湖南省长沙市）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）
A．2π B．4π C．12π D．24π
（2019年山东省枣庄市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（ ）
A．8﹣π B．16﹣2π C．8﹣2π D．8﹣π
（2019年贵州省遵义市）圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）
A．5cm B．10cm C．6cm D．5cm
（2019年贵州省贵阳市 ）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是________．
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是 cm．
（2019年江苏省泰州市）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 cm．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠BAD＝∠CBD，
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
选择题
（2019年贵州省贵阳市）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
（2019年四川省自贡市）如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）
A． B． C． D．
（2019年浙江省湖州市）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．70° C．72° D．144°
（2019年山东省泰安市）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．3π
（2019年山东省青岛市）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（ ）
A．π B．2π C．2π D．4π
（2019年浙江省绍兴市）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．2π
（2019年江苏省宿迁市）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
（2019年四川省遂宁市）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．4π﹣8 B．2π C．4π D．8π﹣8
（2019年四川省南充市）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6π B．π C．π D．2π
（2019年四川省广安市）如图，在中，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2019年浙江省金华市、丽水市）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A．2 B． C． D．
（2019年湖北省荆州市）如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l：l＝1：3（l表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A．1：3 B．1：π C．1：4 D．2：9
、填空题（本大题共6小题，每小题0分，共0分）
（2019年浙江省杭州市）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 cm2（结果精确到个位）．
（2019年广西梧州市）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A．B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是 ．
（2019年重庆市（a卷））如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A．点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
（2019年山东省烟台市）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为 ．
（2019年山东省泰安市）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A．点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为 ．
（2019年山东省德州市）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是 ．
、解答题（本大题共5小题，共0分）
（2019年江苏省镇江市）【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．
【实际应用】
观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．
（1）求∠POB的度数，
（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．（π取3.1）
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠BAD＝∠CBD，
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
（2019年贵州省铜仁市）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)已知FG＝2，求图中阴影部分的面积.
（2019年黑龙江省伊春市）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
（2019年湖南省邵阳市）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积，
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
第四章图形的性质第30节 与圆有关的计算
■考点1.正多边形与圆
(1)正多边形：各边 相等 ，各角 相等 的多边形叫做正多边形．
(2)圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
(3)正n边形酌内角和= 180°(n-2) ；正n边形的每个内角度数= ；正n边形外角和= 360°；正n边形的每个外角度数= ．
边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.
特殊正多边形中各中心角、长度比：
中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2:1:2a:r:R=2:：2
■考点2.与圆有关的计算
1．弧长公式：（n为圆心角的度数，r为圆的半径，该公式涉及f，n，r三个量，已知其中任意两个量，都可求第三个量．）
2．有关阴影部分面积的求法
(1)扇形的面积公式： S=（n为圆心角的度数．r为圆的半径．l表示弧长）．
(2)求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积，常用方法有：①割补法：②拼凑法：③等积变形法．
3．圆柱的侧面展开图是 矩形 ，圆柱侧面积= 底面周长×高 ，圆柱全面积= 侧面积+2×底面积 ．
■考点1.正多边形与圆
◇典例：
（2019年广西河池市）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】正多边形和圆
【分析】过点B作BG⊥AC于点G．，正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，即∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，于是AG＝AC＝，AB＝2，
解：如图，过点B作BG⊥AC于点G．
正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴AG＝AC＝，
∴GB＝1，AB＝2，
即边长为2．
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形，熟练运用正多边形的内角和公式是解题的关键．
◆变式训练
（2019年湖北省孝感市）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝ ．
【考点】数学常识，正多边形和圆
【分析】根据圆的面积公式得到⊙O的面积S＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×1×sin30°＝3，即可得到结论．
解：∵⊙O的半径为1，
∴⊙O的面积S＝3.14，
∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，
∴过A作AC⊥OB，
∴AC＝OA＝，
∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×＝3，
∴则S﹣S1＝0.14，
故答案为：0.14．
【点评】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．
■考点2.与圆有关的计算
◇典例
（2019年湖北省武汉市）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A．B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆周角定理，轨迹，弧长公式计算
【分析】如图，连接EB．设OA＝r．易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．
解：如图，连接EB．设OA＝r．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E是△ACB的内心，
∴∠AEB＝135°，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝DB＝r，
∴∠ADB＝90°，
易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，
∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
（2019年湖北省咸宁市）如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【考点】圆周角定理，扇形面积的计算
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD和∠COB的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去△AOC和扇形BOC的面积．
解：连接OC、BC，作CD⊥AB于点D，
∵直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∠COB＝60°，
∴AC＝3，
∵∠CDA＝90°，
∴CD＝，
∴阴影部分的面积是：＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．
【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（2019年江苏省徐州市）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为 cm．
【考点】圆锥的计算
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，
设圆锥的母线长为R，则：＝4π，
解得R＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长，弧长公式为：．
◆变式训练
（2019年黑龙江省哈尔滨市）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是________度.
【考点】弧长的计算
【分析】将扇形弧长和半径的值代入弧长的计算公式（r为圆的半径，为扇形的圆心角度数，为扇形的弧长）即可求解.
解：根据，
解得：，
故答案为：110．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式，熟练掌握公式，正确理解公式中每个字母所表示的含义是解题的关键.
（2019年河南省 (1)）如图，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．若，则阴影部分的面积为_____．
【考点】扇形面积的计算
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积与扇形OBC的面积之和再减去的面积，本题得以解决．
解：作于点F，
在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．，
，，，
，
，，，，
，
阴影部分的面积是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（2019年广西贵港市）如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为 ．
【考点】圆锥的计算
【分析】利用弧长＝圆锥的底面周长这一等量关系可求解．
解：连接AB，过O作OM⊥AB于M，
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠BAO＝30°，AM＝，
∴OA＝2，
∵＝2πr，
∴r＝
故答案是：
【点评】本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键．
（2019年江苏省宿迁市）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A． B． C． D．
【考点】正多边形与圆
【分析】图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和﹣（大圆的面积﹣正六边形的面积）即可得到结果．
解：6个月牙形的面积之和，
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
（2019年四川省成都市）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
【考点】圆周角定理，正多边形和圆
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题，
解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2019年浙江省温州市）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
【考点】弧长的计算
【分析】根据弧长公式计算．
解：该扇形的弧长＝＝3π．
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算：弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
（2019年湖南省长沙市）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）
A．2π B．4π C．12π D．24π
【考点】扇形面积的计算
【分析】根据扇形的面积公式S＝计算即可．
解：S＝＝12π，
故选：C．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．
（2019年山东省枣庄市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（ ）
A．8﹣π B．16﹣2π C．8﹣2π D．8﹣π
【考点】正方形的性质，扇形面积的计算
【分析】根据S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE计算即可．
解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
（2019年贵州省遵义市）圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）
A．5cm B．10cm C．6cm D．5cm
【考点】圆锥的计算
【分析】设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π?5=，然后解方程即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
解：设圆锥的母线长为R，
根据题意得2π?5，
解得R＝10．
即圆锥的母线长为10cm，
∴圆锥的高为：5cm．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（2019年贵州省贵阳市 ）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是________．
【考点】正多边形和圆，正方形的性质
【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，求出圆的半径，由圆的周长公式即可得出结果．
解：由题意得：
四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，
∴四叶幸运草的周长＝2×2π×2＝8π；
故答案为：8π．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长=2个圆的周长是解题的关键．
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是 cm．
【考点】弧长的计算
【分析】由弧长公式：l＝计算．
解：由题意得：圆的半径R＝180×2.5π÷（75π）＝6cm．
故本题答案为：6．
【点评】本题考查了弧长公式．
（2019年江苏省泰州市）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 cm．
【考点】等边三角形的性质，弧长的计算
【分析】直接利用弧长公式计算即可．
解：该莱洛三角形的周长＝3×＝6π（cm）．
故答案为6π．
【点评】本题考查了弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了等边三角形的性质．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠BAD＝∠CBD，
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
【考点】圆周角定理，三角形的外接圆与外心，弧长的计算
【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论，
（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC＝55°，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，求得∠CAE＝35°，得到∠BOD＝2∠BAD＝70°，根据弧长公式即可得到结论．
（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD，
（2）解：连接OD，
∵∠AEB＝125°，
∴∠AEC＝55°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝35°，
∴∠DAB＝∠CAE＝35°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝70°，
∴的长＝＝π．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．
选择题
（2019年贵州省贵阳市）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】正多边形和圆、等腰三角形的性质
【分析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．
（2019年四川省自贡市）如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）
A． B． C． D．
【考点】正多边形和圆，圆周角定理，正方形的性质
【分析】连接AC，根据正方形的性质得到∠B=90°，根据圆周角定理得到AC为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可．
解：连接AC，
设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC为圆的直径，
∴AC=AB=a，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：，
故选C.
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键．
（2019年浙江省湖州市）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．70° C．72° D．144°
【考点】多边形的内角和定理，圆周角定理，正多边形和圆
【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD＝CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．
解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，
故选：C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n﹣2）×180°是解题的关键．
（2019年山东省泰安市）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．3π
【考点】垂径定理，弧长的计算，翻折变换（折叠问题）
【分析】连接OA．OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
解：连接OA．OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴的长＝＝2π，
故选：C．
【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
（2019年山东省青岛市）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（ ）
A．π B．2π C．2π D．4π
【考点】等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，弧长的计算
【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝4，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．
解：连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴AC＝OC＝4，
∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，
∴OD＝BD，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴的长度为：＝2π，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD＝90°是解题的关键．
（2019年浙江省绍兴市）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．2π
【考点】圆周角定理，三角形的外接圆与外心，弧长的计算
【分析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．
解：连接OB，OC．
∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BC＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴的长为＝π，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2019年江苏省宿迁市）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体，勾股定理，圆的周长公式，扇形面积公式
【分析】根据勾股定理得出底面半径，易求周长以及母线长，从而求出侧面积．
解：由勾股定理可得：底面圆的半径，则底面周长，底面半径=3，
由图得，母线长=5，
侧面面积.
故选：B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
（2019年四川省遂宁市）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．4π﹣8 B．2π C．4π D．8π﹣8
【考点】三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝90°，根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOC﹣S△BOC＝﹣×4×4＝4π﹣8，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
（2019年四川省南充市）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6π B．π C．π D．2π
【考点】扇形面积的计算，平行四边形的性质
【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB=OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OC∥AB，
∴S△AOB=S△ABC，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB=
故选：A．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
（2019年四川省广安市）如图，在中，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积公式，直角三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理
【分析】根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵在中，，
，
，
，BC为半圆O的直径，
，
，
，
图中阴影部分的面积
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积。
（2019年浙江省金华市、丽水市）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】等边三角形的判定与性质，圆锥的计算．
【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
解：∵∠A＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BD＝AB，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BD＝AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
（2019年湖北省荆州市）如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l：l＝1：3（l表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A．1：3 B．1：π C．1：4 D．2：9
【考点】垂径定理，弧长的计算，圆锥的计算
【分析】连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解．
解：连接OD交OC于M．
由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°，
∴∠OAM＝30°，
∴∠AOM＝60°，
∵且：＝1：3，
∴∠AOB＝80°
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
＝2πr，
∴r：i＝2：9．
故选：D．
【点评】本题运用了弧长公式和轴对称的性质，关键是运用了转化的数学思想．
、填空题（本大题共6小题，每小题0分，共0分）
（2019年浙江省杭州市）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 cm2（结果精确到个位）．
【考点】近似数和有效数字，圆锥的计算
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
解：这个冰淇淋外壳的侧面积＝×2π×3×12＝36π≈113（cm2）．
故答案为113．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（2019年广西梧州市）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A．B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是 ．
【考点】圆周角定理，扇形面积的计算
【分析】根据三角形外角的性质得到∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，根据等腰三角形的性质得到∠AOC＝50°，由扇形的面积公式即可得到结论．
解：∵∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，
∴∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝65°，
∴∠AOC＝50°，
∴阴影部分的扇形OAC面积＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠AOC是解题的关键．
（2019年重庆市（a卷））如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A．点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【考点】等边三角形的判定与性质，菱形的性质，扇形面积的计算
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，根据直角三角形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴AO＝AB＝1，
由勾股定理得，OB＝＝，
∴AC＝2，BD＝2，
∴阴影部分的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣π，
故答案为：2﹣π．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
（2019年山东省烟台市）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为 ．
【考点】等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心，扇形面积的计算
【分析】连接OB，作OD⊥BC于D，如图，利用等边三角形的性质得AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，再根据三角形内切圆的性质得OH为⊙O的半径，∠OBH＝30°，再计算出BH＝CH＝1，OH＝BH＝，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分面积＝3S弓形AB+S△ABC﹣S⊙O＝3（S扇形ACB﹣S△ABC）+S△ABC﹣S⊙O进行计算．
解：连接OB，作OD⊥BC于D，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OH为⊙O的半径，∠OBH＝30°，
∵O点为等边三角形的外心，
∴BH＝CH＝1，
在Rt△OBH中，OH＝BH＝，
∵S弓形AB＝S扇形ACB﹣S△ABC，
∴阴影部分面积＝3S弓形AB+S△ABC﹣S⊙O＝3（S扇形ACB﹣S△ABC）+S△ABC﹣S⊙O＝3S扇形ACB﹣2S△ABC﹣S⊙O＝3×﹣2××22﹣π×（）2＝π﹣2．
故答案为π﹣2．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质和扇形面积公式．
（2019年山东省泰安市）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A．点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为 ．
【考点】等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，扇形面积的计算
【分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
解：连接OC，作CH⊥OB于H，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，
由勾股定理得，OB＝＝3，
∵OA＝OC，∠OAB＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴CO＝CB，CH＝OC＝，
∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．
（2019年山东省德州市）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是 ．
【考点】勾股定理，切线的性质，扇形面积的计算
【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再证明BD＝BC，进而由AD＝AB﹣BD可求出AD的长度，利用特殊角的锐角三角函数可求出∠A的度数，则圆心角∠DOA的度数可求出，在直角三角形ODA中求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
解：在Rt△ABC中，∵BC＝，AC＝3．
∴AB＝＝2，
∵BC⊥OC，
∴BC是圆的切线，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴BD＝BC，
∴AD＝AB﹣BD＝2﹣＝，
在Rt△ABC中，∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，
∵＝tanA＝tan30°，
∴＝，
∴OD＝1，
∴S阴影＝＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
、解答题（本大题共5小题，共0分）
（2019年江苏省镇江市）【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．
【实际应用】
观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．
（1）求∠POB的度数，
（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．（π取3.1）
【考点】切线的性质，弧长的计算
【分析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，则∠DHC＝67°，证出∠HBD＝∠DHC＝67°，由平行线的性质得出∠BEO＝∠HBD＝67°，由直角三角形的性质得出∠BOE＝23°，得出∠POB＝90°﹣23°＝67°，
（2）同（1）可证∠POA＝31°，求出∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝36°，由弧长公式即可得出结果．
解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示：
则∠DHC＝67°，
∵∠HBD+∠BHD＝∠BHD+∠DHC＝90°，
∴∠HBD＝∠DHC＝67°，
∵ON∥BH，
∴∠BEO＝∠HBD＝67°，
∴∠BOE＝90°﹣67°＝23°，
∵PQ⊥ON，
∴∠POE＝90°，
∴∠POB＝90°﹣23°＝67°，
（2）同（1）可证∠POA＝31°，
∴∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝67°﹣31°＝36°，
∴＝＝3968（km）．
【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠BAD＝∠CBD，
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
【考点】圆周角定理，三角形的外接圆与外心，弧长的计算
【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论，
（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC＝55°，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，求得∠CAE＝35°，得到∠BOD＝2∠BAD＝70°，根据弧长公式即可得到结论．
（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD，
（2）解：连接OD，
∵∠AEB＝125°，
∴∠AEC＝55°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝35°，
∴∠DAB＝∠CAE＝35°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝70°，
∴的长＝＝π．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．
（2019年贵州省铜仁市）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)已知FG＝2，求图中阴影部分的面积.
【考点】切线的判定，等边三角形的判定，扇形面积
【分析】（1）连接OF，AO，根据题意可得∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，再利用OB＝OF，证明AB∥OF，即可解答
（2）先利用等弧对等角求出△AOF是等边三角形，再证明S△ABF＝S△AOF，即可解答
(1)证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
(2)解：∵，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝.
【点睛】此题考查切线的判定，等边三角形的判定，扇形面积，解题关键在于利用等弧对等角
（2019年黑龙江省伊春市）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
【考点】作图-轴对称变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算
【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（3）根据题意可以求得OA的长，从而可以求得线段OA在旋转过程中扫过的面积
解：（1）如右图所示，
点的坐标是；
（2）如右图所示，
点的坐标是；
（3）点，
，
线段在旋转过程中扫过的面积是：．
【点睛】此题考查作图-轴对称变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算，解题关键在于掌握作图法则
（2019年湖南省邵阳市）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积，
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，扇形面积的计算，圆锥的计算
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，则可计算出BD＝6，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S扇形EAF进行计算，
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，解得r＝2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．
解：∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BD＝AD＝6，
∴BC＝2BD＝12，
∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×6×12﹣＝36﹣12π，
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝2，
这个圆锥的高h＝＝4．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式．
