高中数学人教A版选修 4-5课件：2.2 综合法与分析法 :23张PPT

课件23张PPT。二　综合法与分析法1.综合法
一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法,又叫顺推证法或由因导果法.名师点拨用综合法证明不等式的逻辑关系:A?B1?B2?…?Bn?B,由已知逐步推演不等式成立的必要条件,从而得结论.做一做1　若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 (　　)? 答案：A 2.分析法
证明命题时,从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.名师点拨用分析法证明不等式的逻辑关系:B?B1?B2?…?Bn?A,由结论步步寻求使不等式成立的充分条件,从而得到已知(或明显成立的事实).做一做2　用分析：法证明:欲使A>B①,只需CA.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立,即②?①,所以①是②的必要条件.
答案：B思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)用综合法证明时,其实质是由已知逐步推演不等式成立的充分条件,从而得到结论. (　　)
(2)用分析法证明时,其实质是由结论步步寻求使不等式成立的充要条件,从而到已知. (　　)
(3)综合法是直接证明, 分析法是间接证明. (　　)
(4)有些问题的证明,可以将综合法与分析法结合起来使用. (　　)× × × √ 探究一探究二规范解答利用综合法证明不等式?
分析：欲证不等式的结构与基本不等式有关,可考虑利用基本不等式进行证明.探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答反思感悟1.综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果联系,要注重分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系,合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.
2.综合法证明不等式时常用的已知不等式主要有如下几个:
(1)a2≥0(a∈R);
(2)(a-b)2≥0(a,b∈R);(4)a3+b3+c3≥3abc(a,b,c>0);
(5)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.探究一探究二规范解答变式训练1　已知a>0,b>0,c>0,求证a3+b3+c3≥
(a2+b2+c2)(a+b+c).?
证明：因为a2+b2≥2ab,a>0,b>0,所以(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b),
即a3+b3+a2b+ab2≥2a2b+2ab2.
所以a3+b3≥a2b+ab2(当且仅当a=b时,等号成立).
同理可得b3+c3≥b2c+bc2(当且仅当b=c时,等号成立),a3+c3≥a2c+ac2(当且仅当a=c时,等号成立),
将以上三式两边分别相加,得2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2,
所以3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+ab2+b2c)+(c3+bc2+ac2)
=(a+b+c)(a2+b2+c2),
所以a3+b3+c3≥ (a2+b2+c2)(a+b+c)(当且仅当a=b=c时,等号成立).探究一探究二规范解答利用分析法证明不等式?
【例2】 已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2∈R,均有
分析：用分析法证明,从要证明的不等式出发,将要证明的不等式逐步简化,直至得出明显成立的不等式.探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答反思感悟分析法证明不等式应注意的问题
1.分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.
2.分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.
3.用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好反推符号“?”或“要证”“只需证”“即证”等词语.探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答利用综合法与分析法证明不等式
典例已知函数f(x)=ln(x+2),a,b,c是两两不相等的正实数,且a,b,c成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论.
【审题策略】可先利用基本不等式得到a,b,c中间的不等关系,然后再借助对数函数的单调性得到结论.探究一探究二规范解答【规范展示】f(a)+f(c)>2f(b).
证明:因为a,b,c是两两不相等的正实数,
所以由基本不等式可得a+c>2 .
又a,b,c成等比数列,所以b2=ac.
于是a+c>2 =2b.
而f(a)+f(c)=ln(a+2)(c+2)=ln [ac+2(a+c)+4],
2f(b)=2ln(b+2)=ln(b2+4b+4),
因为ac+2(a+c)+4=b2+2(a+c)+4>b2+4b+4,
且函数f(x)=ln(x+2)是单调递增函数,
所以ln [ac+2(a+c)+4]>ln(b2+4b+4),
故f(a)+f(c)>2f(b).探究一探究二规范解答【答题模板】
第1步:给出结论
　　　　　?
第2步:利用基本不等式和已知条件得到a,b,c之间的不等关系
　　　　　?
第3步:代入求得函数值
　　　　　?
第4步:根据对数函数单调性得到结论探究一探究二规范解答失误警示通过阅卷统计分析,造成失分的主要原因是:
(1)解答的开始没有给出结论,一开始就进行证明.对于这类问题,应该先回答问题的结论,然后再进行证明;
(2)忽视了基本不等式等号成立的条件而直接得到a+c≥2 ;
(3)对对数的运算性质不熟练导致变形出现错误,从而无法继续证明;
(4)不能从函数的单调性出发联系要证明的结论,导致证明无法继续.探究一探究二规范解答变式训练?已知a,b是两个不相等的正实数,且a+b=2,求证
证明：因为a,b都是正实数,所以原不等式等价于a2(b+1)+b2(a+1)>(a+1)(b+1).
展开得a2b+a2+b2a+b2>ab+a+b+1,
即a2+b2+ab(a+b)>ab+a+b+1.①
将a+b=2代入①式,只需证a2+b2+2ab>ab+3,
即(a+b)2>ab+3.②
将a+b=2代入②式,整理,得ab<1.
而由已知得2=a+b>2 可得ab<1成立,
故原不等式成立.1 2 3 4A.分析法
B.综合法
C.综合法、分析法综合使用
D.间接证明法
解析：证明过程是由左到右,顺推证明,是综合法.
答案：B1 2 3 42.用分析法证明不等式时的推理过程一定是(　　)
A.正向、逆向均可进行正确的推理
B.只需能进行逆向推理
C.只需能进行正向推理
D.有时能正向推理,有时能逆向推理
答案：B1 2 3 4只需证a2+b2≥2ab,也就是证　　　　　　　　,即证　　　　　　　　　.由于　　　显然成立,因此原不等式成立.?
答案：a2+b2-2ab≥0　(a-b)2≥0　(a-b)2≥0.1 2 3 4