高中数学北师大版选修4-4课件：2.3 参数方程化成普通方程 :27张PPT

课件27张PPT。§3　参数方程化成普通方程一二一、代数法消去参数
1.代入法
从参数方程中选出一个方程,解出参数,然后把参数的表达式代入另一个方程,消去参数,得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.
2.代数运算法
通过代数方法,如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形,然后把参数方程中的两个方程进行代数运算,消去参数.一二做一做1　参数方程 (t为参数,t≠0)表示的曲线是
(　　)?
A.直线 B.圆 C.双曲线 D.椭圆答案：C 一二二、利用三角恒等式消去参数
如果参数方程中的x,y都表示为参数的三角函数,那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数.常用的三角恒等式有:sin2θ+cos2θ=1, -tan2θ=1,(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=1等.名师点拨将参数方程化为普通方程时,要注意两个方面:
(1)根据参数条件,明确x,y的取值范围;
(2)消去参数后,普通方程要与原参数方程中的取值范围保持一致.一二做一做2　与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程为(t为参数)(　　)?解析：A化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1].
B化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1].
C化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[0,+∞),y∈(-∞,1].
D化为普通方程为x2+y-1=0,x∈R,y∈(-∞,1].
答案：D一二思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)将曲线的普通方程化为参数方程时,选取的参数不同,同一条曲线的参数方程会有不同的形式. (　　)√ × √ √ 探究一探究二探究三思维辨析参数方程化为普通方程?
【例1】 将下列参数方程化为普通方程,并说明方程表示的曲线.分析：解答本题只要消去参数,建立关于x,y的二元方程即可. 探究一探究二探究三思维辨析4x+3y-4=0,它就是所求的普通方程,它表示的是一条直线.
(2)∵0≤t≤π,-1≤cos t≤1,0≤sin t≤1.
∴-3≤x≤5,-2≤y≤2,
(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16.
∴(x-1)2+(y+2)2=16(-3≤x≤5,-2≤y≤2),
它表示的曲线是以(1,-2)为圆心,半径为4的上半圆.
(3)由y=-1+cos 2θ,可得y=-2sin2θ,把sin2θ=x-2代入y=-2sin2θ可得y=-2(x-2),即2x+y-4=0,
又∵2≤x=2+sin2θ≤3,
∴所求的方程是2x+y-4=0(2≤x≤3),它表示的是一条线段.探究一探究二探究三思维辨析反思领悟1.将参数方程化为普通方程,关键是消去参数,常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程,那么在运用代入消元或加减消元之前需做必要的变形.另外,熟悉一些常见的恒等式至关重要,如sin2α+cos2α=1,(ex+e-x)2-(ex-e-x)2=4,

=1等.
2.把普通方程化成参数方程后,很容易改变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1 方程 (t为参数)表示的曲线是(　　)?
A.双曲线 B.双曲线的上支
C.双曲线的下支 D.圆解析：方法一:x2-y2=(2t-2-t)2-(2t+2-t)2=-4,即y2-x2=4,
所以与以上参数方程等价的普通方程为
y2-x2=4(y≥2).
显然它表示焦点在y轴上,以原点为中心的双曲线的上支,故选B.探究一探究二探究三思维辨析所以与以上参数方程等价的普通方程为y2-x2=4(y≥2).
显然它表示焦点在y轴上,以原点为中心的双曲线的上支,故选B.
答案：B探究一探究二探究三思维辨析普通方程化为参数方程?
【例2】 求方程4x2+y2=16的参数方程:
(1)设y=4sin θ,θ为参数;
(2)若令y=t(t为参数),如何求曲线的参数方程?若令x=2t(t为参数),如何求曲线的参数方程?
分析：解答本题(1)可以直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x即可;(2)可以把y=t,x=2t分别代入即可.
解：(1)把y=4sin θ代入方程,得到4x2+16sin2θ=16,于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ,∴x=±2cos θ.
由于参数θ的任意性,可取x=2cos θ,探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思领悟1.将普通方程化为参数方程的一般方法: 2.将普通方程化为参数方程,其步骤如下:
(1)选择合适的参数t,一般地,常选取有实际意义的变数作为参数,如角、有向线段的数量、斜率、某一点的横坐标(或纵坐标)等;
(2)将x=f(t)(或y=g(t))代入普通方程,解出y(或x);
(3)写出普通方程对应的参数方程.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2 根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程.?探究一探究二探究三思维辨析参数方程与普通方程的互化及应用?
【例3】 在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.
(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.
分析：(1)将直角坐标方程化为极坐标方程,再求交点;(2)将极坐标系下的交点坐标化为直角坐标系下的交点坐标,再写出公共弦的参数方程,或先定义x=1,再写出公共弦的参数方程.探究一探究二探究三思维辨析解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ=2,
圆C2的极坐标方程为ρ=4cos θ.探究一探究二探究三思维辨析反思领悟参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式,解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化,达到方便解题的目的.同时注意参数的范围.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3 如图,已知定点A(2,0),点Q是圆C:x2+y2=1上的动点,∠AOQ的平分线交AQ于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.?探究一探究二探究三思维辨析因不注意参数的取值范围而致误
典例曲线y=x2的一种参数方程为(　　)错解选A,B,C. 正解：在y=x2中,x∈R,y≥0.
在选项A中,x=t2≥0,不符合题意.
在选项B中,x=sin t∈[-1,1],不符合题意.
在选项C中,x= ≥0,不符合题意.故选D.
答案：D探究一探究二探究三思维辨析纠错心得1.并不是所有的参数方程都能化为普通方程.
2.参数方程化为普通方程时要保证转化过程的等价性.坐标x,y的变化范围不能扩大或缩小,即对应曲线上的点的坐标不能有增减.实际上,坐标x,y的取值范围是由参数方程给定的,所以为了防止转化过程中出现范围的变化,也可以先由参数方程讨论x,y的变化范围,再对方程进行转化.探究一探究二探究三思维辨析变式训练?指出下列参数方程表示什么曲线:探究一探究二探究三思维辨析1 2 31.方程 表示的曲线是(　　)
A.一条直线 B.两条射线
C.一条线段 D.抛物线的一部分答案：B 1 2 3答案：(2,1) 1 2 3答案：60°