高中数学北师大版选修4-5课件：1.4.3 几何法、反证法 :25张PPT

课件25张PPT。第3课时　几何法、反证法1.几何法
通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为
几何法.
【做一做1】 已知x,y,z∈(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
分析构造一个边长为1的等边三角形,利用三角形的面积关系来证明.
证明如图,构造等边三角形ABC,设其边长为1,BD=x,AF=y,CE=z,则根据面积关系S△ABC>S△BDF+S△AEF+S△DCE,得1·1·sin 60°>x(1-y)sin 60°+y(1-z)sin 60°+z(1-x)sin 60°.
整理,得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1,即得证.2.反证法
反证法证不等式是先假设所要证的不等式不成立,也就是说不等式的反面成立,以此为出发点,结合已知条件,进行推理论证,最后推出矛盾的结果,从而断定假设错误,因而确定要证的不等式成立.
它的步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3)否定假设,肯定结论.名师点拨 反证法中的数学语言
反证法适宜证明“存在性问题”“唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,直接证明有困难时,常采用反证法.下面列举一些常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.
对数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一些特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此.【做一做2】 用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个大于等于60°”时,假设正确的是(　　)
A.三个内角都小于60°
B.三个内角都大于60°
C.三个内角中至多有一个大于60°
D.三个内角中至多有两个大于60°
解析:“至少有一个”的否定是“一个都没有”,则假设为“三个内角都小于60°”.
答案:A思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)用反证法证明命题“若p,则q”时,非q为假,则q即为真.(　　)
(2)要证明“a,b至少有一个为负数”,用反证法应假设为“a,b为正数”.(　　)
(3)“x,y都是偶数”的否定是“x,y都不是偶数”.(　　)
答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√探究一探究二思维辨析 分析从三个根式的结构特点,容易联想到余弦定理,于是可构造图形,利用余弦定理来证明.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析反思感悟 利用几何法证明不等式的关键是构造几何图形,先要研究所证不等式两边的结构特点,再把其中的字母当作图形的边长,最后用几何图形中的不等关系来表示所要证明的不等式.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析 分析(1)代入即可证明;(2)利用反证法,并结合(1)中的结论推得矛盾,从而证明不等式.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析反思感悟 1.利用反证法证明不等式,就是从结论的反面出发,要求结论反面的情况只有有限种,然后证明这种反面的结论都是不可能的,是与已知条件、已知事实或已证明过的定理相矛盾的.
2.凡涉及的证明不等式为否定性命题,唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时,可考虑使用反证法.
3.利用反证法证明不等式要把握三点:
①必须先否定结论,在对原命题进行否定时,应全面、准确,对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不完全的,反证法体现了“正难则反”的策略.
②反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证;否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法.
③推导出来的矛盾可以是多种多样的,有的与已知条件相矛盾,有的与假设相矛盾,有的与定理、公理相违背,有的与已知的事实相矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的.探究一探究二思维辨析 变式训练2设a,b,c,d都是小于1的正数,求证:4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)这四个数不可能都大于1.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析12345答案:D 12345答案:B 12345答案:D 123454.设a,b,c∈R,且a+b+c=0,求证:ab+bc+ca≤0.
证明假设命题不成立,即ab+bc+ca>0,则2ab+2bc+2ca>0.又a2+b2+c2>0,所以(a+b+c)2>0,这与a+b+c=0矛盾,所以原命题成立.12345