高中数学人教A版选修4-4课件：1.3 简单曲线的极坐标方程 :29张PPT
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版选修4-4课件：1.3 简单曲线的极坐标方程 :29张PPT |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 909.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-10 12:41:49 | ||
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文档简介
课件29张PPT。三 简单曲线的极坐标方程1.极坐标方程的定义
一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程.
2.圆的极坐标方程
(1)圆心在C(a,0)(a>0),半径为a的圆的极坐标方程为ρ=2acos θ(如图①);?
(2)圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r(如图②);
(3)圆心在点 处且过极点的圆的极坐标方程为ρ=2asin θ(0≤θ≤π)(如图③).?做一做1 在极坐标系中,以(3,0)为圆心,半径等于3的圆的极坐标方程为 .?
答案：ρ=6cos θ3.直线的极坐标方程
(1)若直线l经过极点,从极轴到直线l的角为α(0≤α<π),则直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R);
(2)当直线l经过点M(a,0)且垂直于极轴时,直线l的极坐标方程为ρcos θ=a;
(3)当直线l经过点M 且平行于极轴时,直线l的极坐标方程为ρsin θ=b;
(4)若直线经过点M(ρ0,θ0),且从极轴到此直线的角为α,则直线l的极坐标方程为ρsin(α-θ)=ρ0sin(α-θ0).名师点拨图形的对称性
1.若ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称.
2.若ρ(θ)=ρ(π-θ),则相应图形关于直线θ= 对称.
3.若ρ(θ)=ρ(π+θ),则相应图形关于极点对称.做一做2 过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .?4.规定
若ρ<0,则-ρ>0,我们规定点M(ρ,θ)与点P(-ρ,θ)关于极点对称.5.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化做一做3 直角坐标方程x2+(y-2)2=4化为极坐标方程是 .?
解析：x2+(y-2)2=4可以化为x2+y2=4y,把 代入,得(ρcos θ)2+(ρsin θ)2=4ρsin θ,
化简整理得ρ2=4ρsin θ.
因为曲线经过极点,所以极坐标方程可简化为ρ=4sin θ.
答案：ρ=4sin θ思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在极坐标系中,曲线的极坐标方程是唯一的. ( )
(2)x轴所在的直线在极坐标系中的方程为ρ=0. ( )
(3)极坐标方程ρ=3表示的曲线是圆.( )
(4)圆x2+y2=1化为极坐标方程一定是ρ=1. ( )
(5)极坐标方程cos θ= (ρ≥0)表示的曲线是两条射线.( )× × √ × √ 探究一探究二探究三思维辨析求圆的极坐标方程?
【例1】 在极坐标系中,求半径为r,圆心为C 的圆的极坐标方程.
分析：根据题意画出草图,设出点M(ρ,θ),建立ρ,θ的方程并化简,最后进行检验.
解：由题意知,圆经过极点O,设OA为其一条直径,M(ρ,θ)为圆上除点O,A以外的任意一点,如图,则|OA|=2r,连接OM,AM,则OM⊥MA.
在Rt△OAM中,|OM|=|OA|cos∠AOM,探究一探究二探究三思维辨析反思感悟求圆的极坐标方程的方法步骤
1.建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是圆上任意一点.
2.列出圆上任意一点的极径与极角之间的关系式.
3.将列出的关系式整理、化简.
4.证明所得方程就是圆的极坐标方程.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1 在如图所示的极坐标系中,以M 为圆心,半径r=1的圆M的极坐标方程是 .?探究一探究二探究三思维辨析探究二求直线的极坐标方程?
【例2】 求过点A(1,0)且与极轴所成的角为 的直线的极坐标方程.
分析：本题可用两种解法:
(1)先根据题意画出草图,并设点M(ρ,θ)是直线上除点A外的任意一点,从而由等量关系建立关于ρ,θ的方程并化简,最后检验是不是所求即可;
(2)先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程,然后由公式
化为极坐标方程即可.探究一探究二探究三思维辨析解法一如图,设M(ρ,θ)(ρ≥0)为直线上除点A以外的任意一点,连接OM.化简,得ρ(cos θ-sin θ)=1.
经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程.
所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ-sin θ)=1.探究一探究二探究三思维辨析解法二以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系xOy,直线的斜率k=tan =1,
直线方程为y=x-1.将y=ρsin θ,x=ρcos θ代入上式,得
ρsin θ=ρcos θ-1,所以ρ(cos θ-sin θ)=1.反思感悟解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式,从而建立了以ρ,θ为未知数的方程;解法二先求出直线的直角坐标方程,再利用直角坐标与极坐标的互化公式间接求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析极坐标方程与直角坐标方程的互化?
【例3】 (1)直角坐标方程y2=4x化为极坐标方程为 ;?
(2)直角坐标方程y2+x2-2x-1=0化为极坐标方程为 ;?
(3)极坐标方程θ= (ρ≥0)化为直角坐标方程为 ;?
(4)极坐标方程ρ2cos 2θ=4化为直角坐标方程为 .?探究一探究二探究三思维辨析解析：根据互化公式求解.
(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入y2=4x,
得(ρsin θ)2=4ρcos θ.化简,得ρ2sin2θ=4ρcos θ.
因为极点在曲线上,所以极坐标方程可简化为ρsin2θ=4cos θ.
(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入y2+x2-2x-1=0,得(ρsin θ)2+(ρcos θ)2-2ρcos θ-1=0,
化简,得ρ2-2ρcos θ-1=0.(4)∵ρ2cos 2θ=4,
∴ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即x2-y2=4.
答案：(1)ρsin2θ=4cos θ (2)ρ2-2ρcos θ-1=0
(3)y= x(x≥0) (4)x2-y2=4探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,tan θ= (x≠0)代入曲线的极坐标方程,整理即得曲线的直角坐标方程.
2.解决此类问题常常通过方程变形,构造出形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的式子,进行整体代换.方程的两边同乘(或同除以)ρ或方程两边平方是常用的变形方法.
3.化曲线的直角坐标方程f(x,y)=0为极坐标方程f(ρ,θ)=0,只要将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入到方程f(x,y)=0中即可.化为极坐标方程时,如果不加特殊说明,就认为ρ≥0.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3 (1)极坐标方程ρ=4asin θ化为直角坐标方程为 ;?
(2)极坐标方程ρ=9(cos θ+sin θ)化为直角坐标方程为 .?
(3)直角坐标方程x+y-2=0化为极坐标方程是 ;?
(4)直角坐标方程2x2+2y2-3x+7=0化为极坐标方程是 .?
解析：(1)两边同乘ρ,得ρ2=4aρsin θ.
∵ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,
∴直角坐标方程为x2+y2=4ay.探究一探究二探究三思维辨析(2)把方程变形为ρ2=9(ρcos θ+ρsin θ),
∵ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,
∴直角坐标方程为x2+y2=9(x+y),
即x2+y2-9x-9y=0.
(3)把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x+y-2=0,
得ρcos θ+ρsin θ-2=0.
即ρ(cos θ+sin θ)=2.
(4)把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入2x2+2y2-3x+7=0,
得2ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-3ρcos θ+7=0.
化简得2ρ2-3ρcos θ+7=0.探究一探究二探究三思维辨析极坐标表述不准确致误
典例已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=4cos θ(ρ≥0),则曲线C1与C2交点的极坐标为 .?探究一探究二探究三思维辨析纠错心得在极坐标系中,有序实数对的集合{(ρ,θ)|ρ,θ∈R}与平面上的点集不是一一对应的.给出一个有序实数对(ρ,θ),在平面直角坐标系中可以唯一确定一个点,但对于极坐标系中的一点,它的极坐标不是唯一的,若点M不是极点,(ρ,θ)是它的一个极坐标,则点M有无穷多个极坐标(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)与(-ρ,θ+(2k+1)π)(k∈Z).探究一探究二探究三思维辨析变式训练 极坐标方程θ= (ρ∈R)表示的曲线是( )?
A.直线 B.射线
C.圆 D.半圆答案：A 1 2 3 4 51.在极坐标系中,过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )
A.ρsin θ=-2 B.ρcos θ=-2
C.ρsin θ=2 D.ρcos θ=2解析：过点 与极轴平行的直线为y=-2,
即ρsin θ=-2.
答案：A1 2 3 4 52.极坐标方程为ρ=2cos θ的圆的半径为( )
A.1 B.2
C. D.3
解析：由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,化为直角坐标方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,其对应的半径为1.
答案：A1 2 3 4 53.曲线的极坐标方程ρ=4cos θ化成直角坐标方程为 .?
解析：由已知得ρ2=4ρcos θ,即x2+y2=4x,整理得(x-2)2+y2=4.
答案：(x-2)2+y2=41 2 3 4 54.在极坐标系中,点 到直线ρcos θ=2的距离是 .?
解析：点 的直角坐标为(0,1),直线ρcos θ=2的直角坐标方程为x=2,故点(0,1)到直线x=2的距离d=2.
答案：21 2 3 4 55.求以C(4,0)为圆心,半径等于4的圆的极坐标方程.
解：设圆C交极轴于另一点A,P(ρ,θ)为圆C上任意一点(不与点O,A重合),则|OA|=8.连接OP,PA.
在Rt△AOP中,|OP|=|OA|cos θ,
即ρ=8cos θ,
经验证点O、点A也满足该等式.
所以圆C的极坐标方程为ρ=8cos θ.
一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程.
2.圆的极坐标方程
(1)圆心在C(a,0)(a>0),半径为a的圆的极坐标方程为ρ=2acos θ(如图①);?
(2)圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r(如图②);
(3)圆心在点 处且过极点的圆的极坐标方程为ρ=2asin θ(0≤θ≤π)(如图③).?做一做1 在极坐标系中,以(3,0)为圆心,半径等于3的圆的极坐标方程为 .?
答案：ρ=6cos θ3.直线的极坐标方程
(1)若直线l经过极点,从极轴到直线l的角为α(0≤α<π),则直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R);
(2)当直线l经过点M(a,0)且垂直于极轴时,直线l的极坐标方程为ρcos θ=a;
(3)当直线l经过点M 且平行于极轴时,直线l的极坐标方程为ρsin θ=b;
(4)若直线经过点M(ρ0,θ0),且从极轴到此直线的角为α,则直线l的极坐标方程为ρsin(α-θ)=ρ0sin(α-θ0).名师点拨图形的对称性
1.若ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称.
2.若ρ(θ)=ρ(π-θ),则相应图形关于直线θ= 对称.
3.若ρ(θ)=ρ(π+θ),则相应图形关于极点对称.做一做2 过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .?4.规定
若ρ<0,则-ρ>0,我们规定点M(ρ,θ)与点P(-ρ,θ)关于极点对称.5.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化做一做3 直角坐标方程x2+(y-2)2=4化为极坐标方程是 .?
解析：x2+(y-2)2=4可以化为x2+y2=4y,把 代入,得(ρcos θ)2+(ρsin θ)2=4ρsin θ,
化简整理得ρ2=4ρsin θ.
因为曲线经过极点,所以极坐标方程可简化为ρ=4sin θ.
答案：ρ=4sin θ思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在极坐标系中,曲线的极坐标方程是唯一的. ( )
(2)x轴所在的直线在极坐标系中的方程为ρ=0. ( )
(3)极坐标方程ρ=3表示的曲线是圆.( )
(4)圆x2+y2=1化为极坐标方程一定是ρ=1. ( )
(5)极坐标方程cos θ= (ρ≥0)表示的曲线是两条射线.( )× × √ × √ 探究一探究二探究三思维辨析求圆的极坐标方程?
【例1】 在极坐标系中,求半径为r,圆心为C 的圆的极坐标方程.
分析：根据题意画出草图,设出点M(ρ,θ),建立ρ,θ的方程并化简,最后进行检验.
解：由题意知,圆经过极点O,设OA为其一条直径,M(ρ,θ)为圆上除点O,A以外的任意一点,如图,则|OA|=2r,连接OM,AM,则OM⊥MA.
在Rt△OAM中,|OM|=|OA|cos∠AOM,探究一探究二探究三思维辨析反思感悟求圆的极坐标方程的方法步骤
1.建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是圆上任意一点.
2.列出圆上任意一点的极径与极角之间的关系式.
3.将列出的关系式整理、化简.
4.证明所得方程就是圆的极坐标方程.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1 在如图所示的极坐标系中,以M 为圆心,半径r=1的圆M的极坐标方程是 .?探究一探究二探究三思维辨析探究二求直线的极坐标方程?
【例2】 求过点A(1,0)且与极轴所成的角为 的直线的极坐标方程.
分析：本题可用两种解法:
(1)先根据题意画出草图,并设点M(ρ,θ)是直线上除点A外的任意一点,从而由等量关系建立关于ρ,θ的方程并化简,最后检验是不是所求即可;
(2)先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程,然后由公式
化为极坐标方程即可.探究一探究二探究三思维辨析解法一如图,设M(ρ,θ)(ρ≥0)为直线上除点A以外的任意一点,连接OM.化简,得ρ(cos θ-sin θ)=1.
经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程.
所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ-sin θ)=1.探究一探究二探究三思维辨析解法二以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系xOy,直线的斜率k=tan =1,
直线方程为y=x-1.将y=ρsin θ,x=ρcos θ代入上式,得
ρsin θ=ρcos θ-1,所以ρ(cos θ-sin θ)=1.反思感悟解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式,从而建立了以ρ,θ为未知数的方程;解法二先求出直线的直角坐标方程,再利用直角坐标与极坐标的互化公式间接求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析极坐标方程与直角坐标方程的互化?
【例3】 (1)直角坐标方程y2=4x化为极坐标方程为 ;?
(2)直角坐标方程y2+x2-2x-1=0化为极坐标方程为 ;?
(3)极坐标方程θ= (ρ≥0)化为直角坐标方程为 ;?
(4)极坐标方程ρ2cos 2θ=4化为直角坐标方程为 .?探究一探究二探究三思维辨析解析：根据互化公式求解.
(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入y2=4x,
得(ρsin θ)2=4ρcos θ.化简,得ρ2sin2θ=4ρcos θ.
因为极点在曲线上,所以极坐标方程可简化为ρsin2θ=4cos θ.
(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入y2+x2-2x-1=0,得(ρsin θ)2+(ρcos θ)2-2ρcos θ-1=0,
化简,得ρ2-2ρcos θ-1=0.(4)∵ρ2cos 2θ=4,
∴ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即x2-y2=4.
答案：(1)ρsin2θ=4cos θ (2)ρ2-2ρcos θ-1=0
(3)y= x(x≥0) (4)x2-y2=4探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,tan θ= (x≠0)代入曲线的极坐标方程,整理即得曲线的直角坐标方程.
2.解决此类问题常常通过方程变形,构造出形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的式子,进行整体代换.方程的两边同乘(或同除以)ρ或方程两边平方是常用的变形方法.
3.化曲线的直角坐标方程f(x,y)=0为极坐标方程f(ρ,θ)=0,只要将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入到方程f(x,y)=0中即可.化为极坐标方程时,如果不加特殊说明,就认为ρ≥0.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3 (1)极坐标方程ρ=4asin θ化为直角坐标方程为 ;?
(2)极坐标方程ρ=9(cos θ+sin θ)化为直角坐标方程为 .?
(3)直角坐标方程x+y-2=0化为极坐标方程是 ;?
(4)直角坐标方程2x2+2y2-3x+7=0化为极坐标方程是 .?
解析：(1)两边同乘ρ,得ρ2=4aρsin θ.
∵ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,
∴直角坐标方程为x2+y2=4ay.探究一探究二探究三思维辨析(2)把方程变形为ρ2=9(ρcos θ+ρsin θ),
∵ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,
∴直角坐标方程为x2+y2=9(x+y),
即x2+y2-9x-9y=0.
(3)把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x+y-2=0,
得ρcos θ+ρsin θ-2=0.
即ρ(cos θ+sin θ)=2.
(4)把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入2x2+2y2-3x+7=0,
得2ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-3ρcos θ+7=0.
化简得2ρ2-3ρcos θ+7=0.探究一探究二探究三思维辨析极坐标表述不准确致误
典例已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=4cos θ(ρ≥0),则曲线C1与C2交点的极坐标为 .?探究一探究二探究三思维辨析纠错心得在极坐标系中,有序实数对的集合{(ρ,θ)|ρ,θ∈R}与平面上的点集不是一一对应的.给出一个有序实数对(ρ,θ),在平面直角坐标系中可以唯一确定一个点,但对于极坐标系中的一点,它的极坐标不是唯一的,若点M不是极点,(ρ,θ)是它的一个极坐标,则点M有无穷多个极坐标(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)与(-ρ,θ+(2k+1)π)(k∈Z).探究一探究二探究三思维辨析变式训练 极坐标方程θ= (ρ∈R)表示的曲线是( )?
A.直线 B.射线
C.圆 D.半圆答案：A 1 2 3 4 51.在极坐标系中,过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )
A.ρsin θ=-2 B.ρcos θ=-2
C.ρsin θ=2 D.ρcos θ=2解析：过点 与极轴平行的直线为y=-2,
即ρsin θ=-2.
答案：A1 2 3 4 52.极坐标方程为ρ=2cos θ的圆的半径为( )
A.1 B.2
C. D.3
解析：由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,化为直角坐标方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,其对应的半径为1.
答案：A1 2 3 4 53.曲线的极坐标方程ρ=4cos θ化成直角坐标方程为 .?
解析：由已知得ρ2=4ρcos θ,即x2+y2=4x,整理得(x-2)2+y2=4.
答案：(x-2)2+y2=41 2 3 4 54.在极坐标系中,点 到直线ρcos θ=2的距离是 .?
解析：点 的直角坐标为(0,1),直线ρcos θ=2的直角坐标方程为x=2,故点(0,1)到直线x=2的距离d=2.
答案：21 2 3 4 55.求以C(4,0)为圆心,半径等于4的圆的极坐标方程.
解：设圆C交极轴于另一点A,P(ρ,θ)为圆C上任意一点(不与点O,A重合),则|OA|=8.连接OP,PA.
在Rt△AOP中,|OP|=|OA|cos θ,
即ρ=8cos θ,
经验证点O、点A也满足该等式.
所以圆C的极坐标方程为ρ=8cos θ.