第四章 图形的性质第31节 尺规作图■考点1．网格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在网格中作图称为网格作图
■考点2．尺规作图
(1)尺规作图的定义：
在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图．
(2)五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线．
(3)尺规作图的步骤：
①已知：写出已知的线段和角，画出图形：
②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：
③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹：
④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件，
⑤对所作图形下结论．
(4)作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形．
(5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．
■考点1．网格作图
◇典例：
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，
（3）请写出A1、A2的坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换，作图﹣平移变换
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案，
（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案，
（3）利用所画图象得出对应点坐标．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
（3）A1（2，3），A2（﹣2，﹣1）．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
◆变式训练
（2019年江苏省淮安市）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A．B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1，
（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2，
（3）连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．
■考点2．尺规作图
◇典例
（2019年广西玉林市）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨），
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定与性质，作图—复杂作图
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D，
（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，再利用DA＝DB得到∠ABD＝∠A＝36°，所以∠BDC＝72°，从而可判断△BCD是等腰三角形．
（1）解：如图，点D为所作，
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．
◆变式训练
（2019年湖北省咸宁市）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．
（1）求证：四边形DEFC是矩形，
（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2019年湖北省宜昌市）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
（2019年广西贵港市）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．
（2019年山东省青岛市）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠α，直线l及l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．
（2019年四川省达州市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D，
②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．
（2019年山东省枣庄市）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F，（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
（2019年广东省）如图，在中，点是边上的一点.
（1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求的值.
（2019年山东省菏泽市）如图，四边形ABCD是矩形．
（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹），
（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．
（2019年山东省德州市）如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法），
（2）请说明作图理由．
（2019年四川省攀枝花市）如图1，有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心（保留作图痕迹，不写做法）
如图2，设是该残缺圆的直径，是圆上一点，的角平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点。
（1）求证：；（2）若，，求残缺圆的半圆面积。
选择题
（2019年浙江省嘉兴市）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
（2019年河北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B． C． D．
（2019年北京市）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD，
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N，
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
（2019年吉林省长春市）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
（2019年山东省潍坊市）如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．
②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．
③连接OE交CD于点M．
下列结论中错误的是（ ）
A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MD
C．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED＝CD?OE
（2019年广东省深圳市）如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
（2019年贵州省贵阳市 ）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
填空题
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）已知：在△ABC中，AB=AC．
(1)求作：△ABC的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S☉O= ．
（2019年四川省成都市）如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N，②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'，③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'，④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为 ．
解答题
（2019年广西桂林市）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1，
（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐为（﹣4，3），
（3）在（2）的条件下，直接写出点A1的坐标．
（2019年广西河池市）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D，连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑），
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．
（2019年广西柳州市）已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D，
②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′，
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′，
④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
根据上面的作法，完成以下问题：
（1）使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′（请保留作图痕迹）．
（2）完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．
证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝ ，
∴△C′O′D′≌△COD（ ）
∴∠A′O′B′＝∠AOB．（ ）
（2019年福建省）如图，已知△ABC为和点A'.
(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC，S△A'B'C'=4S△ABC;
(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'.
（2019年黑龙江省绥化市）按要求解答下列各题：
（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在∠ABC的边AC上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东600方向上，且在港口C的北偏西450方向上．测得AB=40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）
（2019年广东省广州市）如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC。
（1）尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长。
（2019年江苏省盐城市）如图，AD是△ABC的角平分线．
（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F，（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）连接DE、DF，四边形AEDF是 形．（直接写出答案）
（2019年江苏省宿迁市）在中，．
（1）如图①，点在斜边上，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，与边相切于点．求证：；
（2）在图②中作，使它满足以下条件：
①圆心在边上；②经过点；③与边相切．
（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
（2019年江苏省无锡市）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在◇ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;
②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH
（2019年江苏省泰州市）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
（2019年湖北省孝感市）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G，分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK，
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题，
（1）线段CD与CE的大小关系是 ，
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．
（2019年江苏省南京 ）如图①，在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．
（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形；
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．
（2019年黑龙江省伊春市）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
（2019年安徽省）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB.
（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD.
（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点.（作出一个菱形即可）
（2019年四川省巴中市）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
第四章 图形的性质第31节 尺规作图■考点1．网格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在网格中作图称为网格作图
■考点2．尺规作图
(1)尺规作图的定义：
在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图．
(2)五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线．
(3)尺规作图的步骤：
①已知：写出已知的线段和角，画出图形：
②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：
③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹：
④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件，
⑤对所作图形下结论．
(4)作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形．
(5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．
■考点1．网格作图
◇典例：
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，
（3）请写出A1、A2的坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换，作图﹣平移变换
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案，
（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案，
（3）利用所画图象得出对应点坐标．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
（3）A1（2，3），A2（﹣2，﹣1）．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
◆变式训练
（2019年江苏省淮安市）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A．B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1，
（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2，
（3）连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．
【考点】作图﹣平移变换，作图﹣旋转变换
【分析】（1）根据网格结构找出点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，
（2）根据网格结构找出点B2的位置，然后连接即可，
（3）利用正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可得解．
解：（1）线段A1B1如图所示，
（2）线段A1B2如图所示，
（3）S＝4×4﹣×2×2﹣×2×4﹣×2×4＝6．
【点评】本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
■考点2．尺规作图
◇典例
（2019年广西玉林市）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨），
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定与性质，作图—复杂作图
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D，
（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，再利用DA＝DB得到∠ABD＝∠A＝36°，所以∠BDC＝72°，从而可判断△BCD是等腰三角形．
（1）解：如图，点D为所作，
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．
◆变式训练
（2019年湖北省咸宁市）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．
（1）求证：四边形DEFC是矩形，
（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
【考点】直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，作图—复杂作图
【分析】（1）首先证明四边形DEFC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO即可．
（1）证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE∥FC，EF∥CD，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵∠DCF＝90°，
∴四边形DEFC是矩形．
（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求．
【点评】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2019年湖北省宜昌市）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】作图—复杂作图
【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
解：作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
（2019年广西贵港市）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．
【考点】全等三角形的判定，作图—复杂作图
【分析】先作一个∠D＝∠A，然后在∠D的两边分别截取ED＝BA，DF＝AC，连接EF即可得到△DEF，
解：如图，
△DEF即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
（2019年山东省青岛市）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠α，直线l及l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．
【考点】直角三角形的性质，作图—复杂作图
【分析】先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．
解：如图，△ABC为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
（2019年四川省达州市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D，
②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．
【考点】勾股定理，作图—复杂作图，相似三角形的判定与性质
【分析】（1）利用基本作图，先画出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E，
（2）利用CD平分∠ACB得到∠BCD＝45°，再判断△CDE为等腰直角三角形，所以DE＝CE，然后证明△BDE∽△BAC，从而利用相似比计算出DE．
解：（1）如图，DE为所作，
（2）∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴DE＝CE，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴DE＝．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
（2019年山东省枣庄市）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F，（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质，菱形的性质，作图—基本作图
【分析】（1）分别以A．B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可，
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可，
解：（1）如图所示，直线EF即为所求，
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
（2019年广东省）如图，在中，点是边上的一点.
（1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求的值.
【考点】作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理
【分析】(1)以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交BA．BC于点F、G，以点D为圆心，以BF长为半径画弧，交DA于点M，再以M为圆心，以FG长为半径画弧，与前弧交于点H，过点D、H作射线，交AC于点E，由此即可得；
(2)由(1)可知DE//BC ，利用平行线分线段成比例定理进行求解即可.
解：(1)如图所示；
(2)∵，
∴.
∴.
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.
（2019年山东省菏泽市）如图，四边形ABCD是矩形．
（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹），
（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．
【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，作图—基本作图
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作图解答即可，
（2）利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
解：（1）如图所示：
（2）∵四边形ABCD是矩形，EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，∠CAB＝∠ACE＝30°，
∴∠ECB＝60°，
∴∠ECB＝30°，
∵BC＝4，
∴BE＝．
【点评】此题考查基本作图问题，关键是根据线段的垂直平分线的作图和性质解答．
（2019年山东省德州市）如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法），
（2）请说明作图理由．
【考点】角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图—复杂作图
【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图，
（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．
解：（1）如图，点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等，
（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（2019年四川省攀枝花市）如图1，有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心（保留作图痕迹，不写做法）
如图2，设是该残缺圆的直径，是圆上一点，的角平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点。
（1）求证：；（2）若，，求残缺圆的半圆面积。
【考点】作图?复杂作图，切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理
【分析】作弦，，再作两弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点O即为圆心．
（1）连接交于，由切线的性质可得，然后证明∥即可；
（2）首先证明四边形是矩形，然后求出BC，再利用勾股定理求出AB即可解决问题．
解：图1做图题作法：
①在残缺的圆上取两条不平行的弦和；
②以点为圆心大于一半长为半径在两侧作圆弧；
③以点为圆心，同样长的半径在两侧作圆弧与②中的圆弧交于，两点；
④作直线即为线段的垂直平分线；
⑤以同样的方法做线段的垂直平分线与直线交于点即为该残缺圆的圆心.
图2解答过程：
（1）证明：连接交于
∵为的切线
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴∥
∴
（2）解：
∵是的直径
∴
∵∥
∴
∴，四边形为矩形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查作图?复杂作图，切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
选择题
（2019年浙江省嘉兴市）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【考点】菱形的判定与性质，作图﹣轴对称变换，作图﹣旋转变换
【分析】根据题意可以写出点C的坐标，然后根据与y轴对称和与原点对称的点的特点即可得到点C″的坐标，本题得以解决．
解：∵点C的坐标为（2，1），
∴点C′的坐标为（﹣2，1），
∴点C″的坐标的坐标为（2，﹣1），
故选：A．
【点评】本题考查旋转变化、轴对称变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（2019年河北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的外接圆与外心，作图—基本作图
【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图格选项进行判断．
解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
（2019年北京市）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD，
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N，
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作图—复杂作图，圆周角定理
【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
解：由作图知CM＝CD＝DN，
∴∠COM＝∠COD，故A选项正确，
∵OM＝ON＝MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∵CM＝CD＝DN，
∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确，
设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，
则∠OCD＝∠OCM＝，
∴∠MCD＝180°﹣α，
又∵∠CMN＝∠OCN＝α，
∴∠MCD+∠CMN＝180°，
∴MN∥CD，故C选项正确，
∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【考点】等腰三角形的性质，作图—基本作图
【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A＝∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．
解：由作法得CG⊥AB，
∵AC＝BC，
∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，
∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BCG＝∠ACB＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质．
（2019年吉林省长春市）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】作图—复杂作图
【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．
解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握三角形外角的性质、中垂线的性质及其尺规作图．
（2019年山东省潍坊市）如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．
②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．
③连接OE交CD于点M．
下列结论中错误的是（ ）
A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MD
C．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED＝CD?OE
【考点】作图—基本作图
【分析】利用基本作图得出角平分线的作图，进而解答即可．
解：由作图步骤可得：OE是∠AOB的角平分线，
∴∠CEO＝∠DEO，CM＝MD，S四边形OCED＝CD?OE，
但不能得出∠OCD＝∠ECD，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）．
（2019年广东省深圳市）如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
【考点】作图-基本作图
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
故选A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
（2019年贵州省贵阳市 ）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【考点】作图-基本作图，勾股定理
【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC=3，然后利用勾股定理计算CE的长．
解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
填空题
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）已知：在△ABC中，AB=AC．
(1)求作：△ABC的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S☉O= ．
【考点】作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心
【分析】(1)作线段的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，为半径作，即为所求．
(2)在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
解：(1)如图即为所求．
(2)设线段的垂直平分线交于点．
由题意，
在中，，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2019年四川省成都市）如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N，②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'，③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'，④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为 ．
【考点】平行四边形的性质，作图—复杂作图
【分析】利用作法得到∠COE＝∠OAB，则OE∥AB，利用平行四边形的性质判断OE为△ABC的中位线，从而得到OE的长．
解：由作法得∠COE＝∠OAB，
∴OE∥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA，
∴CE＝BE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝×8＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
解答题
（2019年广西桂林市）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1，
（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐为（﹣4，3），
（3）在（2）的条件下，直接写出点A1的坐标．
【考点】作图﹣平移变换
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A．B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1，
（2）利用A点坐标画出直角坐标系，
（3）利用第二象限点的坐标特征写出点A1的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，
（2）如图，
（3）点A1的坐标为（2，6）．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（2019年广西河池市）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D，连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑），
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．
【考点】圆周角定理，作图—基本作图
【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E，
（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD＝∠BOD，则∠BOD＝∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE＝AC．
解：（1）如图所示，
（2）OE∥AC，OE＝AC．
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∵∠BAD＝∠BOD，
∴∠BOD＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，OE＝AC．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）．也考查了圆周角定理．
（2019年广西柳州市）已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D，
②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′，
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′，
④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
根据上面的作法，完成以下问题：
（1）使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′（请保留作图痕迹）．
（2）完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．
证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝ ，
∴△C′O′D′≌△COD（ ）
∴∠A′O′B′＝∠AOB．（ ）
【考点】全等三角形的判定与性质，作图—基本作图
【分析】（1）根据题意作出图形即可，
（2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
解：（1）如图所示，∠A′O′B′即为所求，
（2）证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝DC，
∴△C′O′D′≌△COD（SSS）
∴∠A′O′B′＝∠AOB．（全等三角形的对应角相等）
故答案为：DC，SSS，全等三角形的对应角相等．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
（2019年福建省）如图，已知△ABC为和点A'.
(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC，S△A'B'C'=4S△ABC;
(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'.
【考点】相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理
【分析】（1）分别作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC得△A'B'C'即可．
（2）根据中位线定理易得△DEF∽△CAB，△D'E'F'∽△C'A'B'，故可得△DEF∽△D'E'F'.
解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即为所求．
证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴；
（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴△DEF∽△CAB，
同理：△D'E'F'∽△C'A' B'，
由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，
∴△DEF∽△D'E'F'．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
（2019年黑龙江省绥化市）按要求解答下列各题：
（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在∠ABC的边AC上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东600方向上，且在港口C的北偏西450方向上．测得AB=40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）
【考点】尺规作图——作角平分线，解直角三角形的应用
【分析】(1)作出∠ABC的平分线(以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AB、BC各交一点，然后分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧在三角形内部交于一点，过点B及这个点作射线)交AC于点P即可；
(2)过点作于点，由题意得，，在中，求出AD的长，继而在中，求出AC长即可.
解：(1)如图所示：
作出的平分线
标出点.
(2)过点作于点，
由题意得，，
在中，
，
，
在中，
，
(海里)，
答：小岛与港口之间的距离是海里.
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，解直角三角形的应用，正确掌握作角平分线的方法是解(1)的关键，添加辅助线构建直角三角形是解(2)的关键.
（2019年广东省广州市）如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC。
（1）尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长。
【考点】作图能力、圆周角定理、解直角三角形
【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．
（2）连接BD，OC交于点E，设OE=x，构建方程求出x即可解决问题．
解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）连接BD，OC交于点E，设OE=x．
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，BE=DE，
∵BE2=BC2-EC2=OB2-OE2
∴，解得：，
∵BO=OA，BE=DE
∴为的中位线，
∴，
∴四边形的周长为：.
【点睛】本题考查了作图能力、圆周角定理、解直角三角形，熟练掌握是解题的关键.
（2019年江苏省盐城市）如图，AD是△ABC的角平分线．
（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F，（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）连接DE、DF，四边形AEDF是 形．（直接写出答案）
【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定
【分析】（1）利用尺规作线段AD的垂直平分线即可．
（2）根据四边相等的四边形是菱形即可证明．
解：（1）如图，直线EF即为所求．
（2）∵AD平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠AOE＝∠AOF＝90°，AO＝AO，
∴△AOE≌△AOF（ASA），
∴AE＝AF，
∵EF垂直平分线段AD，
∴EA＝ED，FA＝FD，
∴EA＝ED＝DF＝AF，
∴四边形AEDF是菱形．
故答案为菱形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2019年江苏省宿迁市）在中，．
（1）如图①，点在斜边上，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，与边相切于点．求证：；
（2）在图②中作，使它满足以下条件：
①圆心在边上；②经过点；③与边相切．
（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
【考点】切线的性质，基本作图
【分析】（1）连接，可证得，结合平行线的性质和圆的特性可求得，可得出结论；
（2）由（1）可知切点是的角平分线和的交点，圆心在的垂直平分线上，由此即可作出．
（1）证明：如图①，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）如图②所示为所求．①
①作平分线交于点，
②作的垂直平分线交于，以为半径作圆，
即为所求．
证明：∵在的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与边相切．
【点睛】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，
（2019年江苏省无锡市）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在◇ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;
②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH
【考点】尺规作图，
【分析】(1)作直径AC，分别以A．C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于点M、N，作直线MN交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求；
(2)①连接AC、BD交于点O，则O为BD的中点，连接BE交CO于点G，连接DG并延长交BC于点F，则F即为所求；
②如图，利用网格特点连接BM，则可得直线BM⊥AC，连接CN，则可得直线CN⊥AB，两线交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求.
解：(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；
(2)①如图所示，点F即为所求；
②如图所示，AH即为所求.
【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是解题的关键.
（2019年江苏省泰州市）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图
【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．
（2）设AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：（1）如图直线MN即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，
在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴BD＝5．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2019年湖北省孝感市）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G，分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK，
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题，
（1）线段CD与CE的大小关系是 ，
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．
【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，作图—复杂作图，解直角三角形
【分析】（1）由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，从而得出答案，
（2）证△BCD≌△BFD得CD＝DF，从而设CD＝DF＝x，求出AB＝＝13，知sin∠DAF＝＝，即＝，解之求得x＝，结合BC＝BF＝5可得答案．
解：（1）CD＝CE，
由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°，
∴∠CEB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
故答案为：CD＝CE，
（2）∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF，
∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD，
在△BCD和△BFD中，
∵，
∴△BCD≌△BFD（AAS），
∴CD＝DF，
设CD＝DF＝x，
在Rt△ACB中，AB＝＝13，
∴sin∠DAF＝＝，即＝，
解得x＝，
∵BC＝BF＝5，
∴tan∠DBF＝＝×＝．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线和角平分线的尺规作图及全等三角形的判定与性质等知识点．
（2019年江苏省南京 ）如图①，在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．
（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形；
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．
【考点】相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图?复杂作图
【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．
（2）求出几种特殊位置的CD的值判断即可．
（1）证明：∵，
∴.
又，
∴四边形是平行四边形.
又，
∴是菱形.
（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝，
则CD＝x，AD＝x，
∵AD＋CD＝AC，
∴x+x=3，
∴x＝，
∴CD＝x=，
观察图象可知：0≤CD＜时，菱形的个数为0．
如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．
∵DG∥AB，
∴，，
∴，
解得m＝，
∴CD＝3?，
如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．
∵DG∥AB，
∴，
∴，
∴n＝，
∴CG＝4，
∴CD＝，
观察图象可知：
当或时，菱形的个数为0；
当或时，菱形的个数为1；
当时，菱形的个数为2.
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图?复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．
（2019年黑龙江省伊春市）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
【考点】作图-轴对称变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算
【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（3）根据题意可以求得OA的长，从而可以求得线段OA在旋转过程中扫过的面积
解：（1）如右图所示，
点的坐标是；
（2）如右图所示，
点的坐标是；
（3）点，
，
线段在旋转过程中扫过的面积是：．
【点睛】此题考查作图-轴对称变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算，解题关键在于掌握作图法则
（2019年安徽省）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB.
（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD.
（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点.（作出一个菱形即可）
【考点】平移的性质,菱形的性质
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据菱形的性质作图即可.
解：（1）如图，线段CD即为所求；
（2）如图，菱形CDEF即为所求（菱形CDEF不唯一）.
【点睛】本题考查了平移的性质以及菱形的性质，根据题意结合网格特点画出图形是解题关键.
（2019年四川省巴中市）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
【考点】轨迹，作图﹣旋转变换，作图﹣位似变换
【分析】①延长AC到A1使A1C＝2AC，延长BC到B1使B1C＝2BC，则△A1B1C满足条件，
②利用网格特点和旋转的性质画出A．B的对应点A2、B2，从而得到△A2B2C．
③先计算出OB的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长．
解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3），
②如图，△A2B2C为所作，
③OB＝＝，
点B经过的路径长＝＝π．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点，③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．
