高中数学苏教版必修1讲义：1.1集合的含义及其表示（第2课时）集合的表示

第2课时　集合的表示
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．(重点、难点)
2.通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
3.了解集合相等的概念，并能用于解决问题．(重点)
4.了解集合的不同的分类方法.
通过学习本节内容培养学生的数学运算、逻辑推理的核心素养.
1．集合的表示方法
表示方法
定义
一般形式
列举法
将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内
{a1，a2，…，an，…}
描述法
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来
{x|p(x)}
Venn图法
用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合
2.集合的分类
有限集
含有有限个元素的集合
无限集
含有无限个元素的集合
空集
不含任何元素的集合，记作?
3.列举法
将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．
4．集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．
5．描述法
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．
6．集合的三种表示方法
(1)Venn图法表示集合
用一条封闭曲线的内部来表示集合的方法叫做Venn图法．
(2)三种表示方法的关系
一个集合可以采用不同的表示方法表示，即集合的表示方法不唯一．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}． (　　)
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2. (　　)
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}相等． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
[提示]　(1)×.由集合元素的互异性知错．
(2)×.集合{(1,2)}中的元素为有序实数对(1,2)．
(3)√.∵A＝{x|x－1＝0}＝{1}＝B，故正确．
2．(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)
(2)若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a＋b＝________.
(1)是　(2)3　[(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}元素完全相同，故两集合是相等集合．
(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，∴a＋b＝3.]
3．(1)不等式x－7<3的解集用描述法可表示为________．
(2)集合{(x，y)|y＝x＋1}表示的意义是________．
(1){x|x<10}　(2)直线y＝x＋1上的所有点组成的集合　[(1)∵x－7<3，∴x<10，故解集可表示为{x|x<10}．
(2)集合的代表元素是点(x，y)，共同特征是y＝x＋1，故它表示直线y＝x＋1上的所有点组成的集合．]
4．若方程x2－4＝0的解组成的集合记作A；不等式x>3的解组成的集合记作B；方程x2＝－1的实数解组成的集合记作C.
则集合A，B，C中，________是有限集，________是空集，________是无限集．
A　C　B　[∵x2－4＝0，∴x＝±2，即A中只有2个元素，A为有限集；大于3的实数有无数个，则B为无限集；x2＝－1无实根，则C为空集．]
集合的表示方法
【例1】　用适当的方法表示下列集合：
(1)B＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；
(2)不等式3x－8≥7－2x的解集；
(3)坐标平面内抛物线y＝x2－2上的点的集合；
(4).
思路点拨：(1)(4)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)(3)中的元素无法一一列举，用描述法表示．
[解]　(1)∵x＋y＝4，x∈N*，y∈N*，
∴或或
∴B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(2)由3x－8≥7－2x，可得x≥3，
所以不等式3x－8≥7－2x的解集为{x|x≥3}．
(3){(x，y)|y＝x2－2}．
(4)∵∈N，x∈N，∴当x＝0,6,8这三个自然数时，＝1,3,9也是自然数，∴A＝{0,6,8}．
1．集合表示法的选择
对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法；对于无明显规律的无限集，可采用描述法．
2．用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间用“，”隔开．
3．用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
1．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－x－2＝0的解集；
(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．
[解]　(1)方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此，用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}；方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1,2}．
(2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且－1大于－1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6}.
集合相等
【例2】　(1)集合A＝{x|x3－x＝0，x∈N}与B＝{0,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)
(2)若集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝且A＝B，则a＝________，b＝________.
思路点拨：(1)解出集合A，并判断与B是否相等；(2)找到相等的对应情况，解方程组即可．
(1)是　(2)－1　1　[(1)x3－x＝x(x2－1)＝0，
∴x＝±1或x＝0.
又x∈N，∴A＝{0,1}＝B.
(2)由题干，a≠0，故a＋b＝0，∴b＝－a.
∴＝－1，∴a＝－1，b＝1.]
已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程(组(，求解时还要注意集合中元素的互异性.
2．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求实数x的值．
[解]　若消去b，
则a＋ax2－2ax＝0，
∴a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1.
当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x＝1时，集合B中的元素均为a，故舍去．
若消去b，则2ax2－ax－a＝0.
又∵a≠0，
∴2x2－x－1＝0，
即(x－1)(2x＋1)＝0.
又∵x≠1，
∴x＝－.
经检验，当x＝－时，A＝B成立．
综上所述，x＝－.
集合表示方法的应用
[探究问题]
1．集合{x|x2－1＝0}的意义是什么？
[提示]　表示方程x2－1＝0的根组成的集合，即{1，－1}．
2．集合A＝{x|ax2＋bx＋c＝0(a≠0)}可能含有几个元素，每一种情况对a，b，c的要求是什么？
[提示]　因a≠0，故ax2＋bx＋c＝0一定是二次方程，其根的情况与Δ的正负有关．若A中无元素，则Δ＝b2－4ac<0；若A中只有一个元素，则Δ＝b2－4ac＝0；若A中有两个元素，则Δ＝b2－4ac>0.
【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
思路点拨：A中只有一个元素说明方程kx2－8x＋16＝0可能是一次方程，也可能是二次方程，但Δ＝0.
[解]　(1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}．
(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64k＝0，即k＝1，
从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．
综上所述，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}．
1．用列举法表示集合的步骤
(1)求出集合中的元素；
(2)把这些元素写在花括号内．
2．用列举法表示集合的优点是元素一目了然；缺点是不易看出元素所具有的属性．
3．已知函数f(x)＝x2－ax＋b(a，b∈R)．集合A＝{x|f(x)－x＝0}，B＝{x|f(x)＋ax＝0}，若A＝{1，－3}，试用列举法表示集合B.
[解]　∵A＝{1，－3}，∴?
?
∴f(x)＋ax＝x2＋3x－3＋(－3x)＝0＝x2－3，
∴x＝±，∴B＝{，－}．
集合表示的要求：
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.
1．方程组的解集不可表示为(　　)
A． B．
C．{1,2} D．{(1,2)}
C　[方程组的解应是有序数对，③是数集，不能作为方程组的解．]
2．集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为________．
{1,2,3,4}　[∵x－3<2，∴x<5.
又x∈N*，∴x＝1,2,3,4.]
3．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，则a＋b＝________.
1或　[∵M＝N，则有或解得
或∴a＋b＝1或.]
4．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
[解]　三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样．
集合A表示y＝x2＋3中x的范围，x∈R，∴A＝R，集合B表示y＝x2＋3中y的范围，B＝{y|y≥3}，集合C表示y＝x2＋3上的点组成的集合．