高中数学苏教版必修1讲义：1.2子集、全集、补集（第2课时）全集、补集

第2课时　全集、补集
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解全集的意义，理解补集的含义．(重点)
2.能在给定全集的基础上求已知集合的补集．(难点)
通过求集合的补集来提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.
1．补集
(1)定义：设A?S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为?SA(读作“A在S中的补集”)．
(2)符号表示
?SA＝{x|x∈S，且x?A}．
(3)图形表示：
2．全集
如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个集合的补集中一定含有元素． (　　)
(2)研究A在U中的补集时，A必须是U的子集． (　　)
(3)一个集合的补集的补集是其自身． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．U＝{x|－1＜x＜2}，集合A＝{x|0＜x＜2}，则?UA＝______.
{x|－1＜x≤0}　[根据补集的定义，所求为在U中但不在A中的元素组成的集合，所以?UA＝{x|－1＜x≤0}．]
集合的补集
【例1】　(1)已知集合U＝{x|－2≤x≤3}，集合A＝{x|－1＜x＜0或2＜x≤3}，则?UA等于________；
(2)已知集合U＝{x∈N|x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的素数}，则?UA＝__________，?UB＝________.
思路点拨：(1)利用数轴将集合表示出来再求补集；
(2)利用列举法表示出全集U，集合A，B，再求A，B的补集．
(1){x|－2≤x≤－1或0≤x≤2} (2){0,2,4,6,8,10}　{0,1,4,6,8,9,10}　[(1)在数轴上表示出全集U，集合A，如图所示，根据补集的概念可知?UA＝{x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}．
(2)U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
因为A＝{小于10的正奇数}＝{1,3,5,7,9}，所以?UA＝{0,2,4,6,8,10}．
因为B＝{小于11的素数}＝{2,3,5,7}，所以?UB＝{0,1,4,6,8,9,10}．]
1．求补集?UA的关键是确定全集U及集合A的元素．常见补集的求解方法有：
(1)列举求解．适用于全集U和集合A可以列举的简单集合．
(2)画数轴求解．适用于全集U和集合A是不等式的解集．
(3)利用Venn图求解．
2．补集是以全集为前提建立的，即A一定是U的子集，?UA也一定是U的子集，求解有关问题时，一定要充分利用这种包含关系．
已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－2{x|－3≤x≤－2或x>4}　[将全集U，集合A表示在数轴上，如图所示．
∴?UA＝{x|－3≤x≤－2或x>4}．]
补集与子集的综合应用
[探究问题]
1．若M?N，则?UM与?UN有什么关系？
[提示]　
由Venn图可知，若M?N，?UM??UN.
反之，若?UM??UN，则M?N，即M?N??UM??UN.
2．若M?N，针对M应考虑的两种情况是什么？
[提示]　两种情况是M＝?和M≠?.
【例2】　已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A??UB，求实数a的取值范围．
思路点拨：首先应对B是否为空集进行讨论，得出?UB，然后再利用A??UB得关于a的不等式求解即可．
[解]　若B＝?，则a＋1>2a－1，∴a<2.
此时?UB＝R，∴A??UB；
若B≠?，则a＋1≤2a－1，即a≥2，
此时?UB＝{x|x2a－1}，
由于A??UB，如图，
则a＋1>5，∴a>4，
∴实数a的取值范围为a<2或a>4.
(变条件)若将本例中的“A??UB”改为“B??UA”，求实数a的取值范围．
[解]　?UA＝{x|x<－2或x>5}．
∵B??UA，
当a＋1>2a－1，即a<2时，B＝?，B??UA.
当a＋1≤2a－1，即a≥2时，B≠?.
∴2a－1<－2或a＋1>5，
即a>4，
综上，a的取值范围为a<2或a>4.
解决此类问题应注意以下几点
(1)空集作为特殊情况，不能忽略；
(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；
(3)端点值能否取到，应注意分析．
1．?UA的数学意义包括两个方面：①A?U，也即暗含了A必须是U的子集这一条件；②?UA＝{x|x∈U，且xA}．
2．补集是集合间的关系，也是集合间的一种运算，还是一种数学思想.
1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5}，则?UB＝________.
{1,2}　[根据补集的定义?UB＝{x|x∈U且xB}＝{1,2}．]
2．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?UA＝________.
{x|x<1}　[A＝{x|x≥1}，∴?UA＝{x|x<1}．]
3．已知全集U＝{x|－4≤x<5}，集合A＝{x|－3{x|－4≤x≤－3，或24．全集U＝R，A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2(1)求?UA，?UB；
(2)若集合C＝{x|x>a}，A?C，求a的取值范围．
[解]　(1)∵A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2∴借助于数轴知?UA＝{x|x<3，或x≥10}，
?UB＝{x|x≤2，或x>7}．
(2)要使A?C，只需a<3即可．∴a的取值范围为{a|a<3}．