高中数学苏教版必修1讲义：1.3交集、并集

1.3　交集、并集
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．(重点)
2.掌握求两个简单集合的交集与并集的方法．(重点)
3.会借助Venn图理解集合的交、并集运算，培养数形结合的思想．(难点)
通过学习集合的交集、并集，培养学生的数学运算、逻辑推理素养．借助Venn图表示交、并运算及区间的数轴表示，提升学生的直观想象素养.
1．交集
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)Venn图
①　　　　　②　　　　③
2．交集的性质
(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B?A；(3)A∩B?B；(4)A∩A＝A；(5)A∩?＝?.
思考1：A∩B是把A与B的部分元素组合在一起吗？
[提示]　是把公共元素组合在一起，而不是部分．
3．并集
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)Venn图
①　　　　　②　　　　③
4．并集的性质
(1)A∪B＝B∪A；(2)A?A∪B；(3)B?A∪B；
(4)A∪A＝A；(5)A∪?＝A.
思考2：A∪B是把A和B的所有元素组合在一起吗？
[提示]　不是，因为A和B可能有公共元素，每个公共元素只能算一个元素．
5．区间的概念
设a，b∈R，且a[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a[a，b)＝{x|a≤x(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x[a，b]，(a，b)分别叫做闭区间、开区间；
[a，b)，(a，b]叫做半开半闭区间；
a，b叫做相应区间的端点．
6．区间的数轴表示
区间表示
数轴表示
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
以上就是一些区间的数轴表示．在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)A∩B中的元素一定比A，B任何一个集合的元素都少． (　　)
(2)A∩B＝A∩C，则B＝C. (　　)
(3)两个集合A，B没有公共元素，记作A∩B＝?. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，则A∩B＝________.
{3,4}　[A，B的公共元素为3,4，故A∩B＝{3,4}．]
3．若集合A＝{a，b，c，d}，B＝{a，b，e，f}，则A∪B＝______.
[答案]　{a，b，c，d，e，f}
4．“大于3小于等于5的数”用集合表示为__________，用区间表示为________．
[答案]　{x|3集合的交集
【例1】　(1)已知集合A＝{x|1(2)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值．
思路点拨：(1)可以先按集合的补集定义求出?RB，再求交集．
(2)由A∩B＝{9}可得9∈A，依次讨论a2,2a－1等于9的可能性来求解．
(1){x|3∴?RB＝{x|x<－1，或x>3}．
作出数轴表示集合A和?RB，如图所示．
由图可知A∩?RB＝{x|3(2)[解]　∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，
∴a＝5或a＝±3.
当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}．
此时A∩B＝{－4,9}≠{9}．故a＝5舍去．
当a＝3时，B＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去．
经检验可知a＝－3符合题意．
1．求以列举法给出的两集合的交集时，可直接寻找其公共元素，但需注意不可遗漏．
2．求以描述法给出的两集合的交集时，可先化简集合，再确定两集合的公共元素(区间)，有必要时可借助于数轴或Venn图解决．
3．已知集合的交集求参数问题要利用交集中元素的特殊性(公有性)列方程或不等式(组)来解决，而且，有些题目还应注意验证得出的结论是否符合集合元素的互异性和是否符合题意．
1．(1)已知集合A＝{x∈N|2≤x≤5}，B＝{x|1≤x<4}，则A∩B＝________.
(2)设集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则A∩B＝________.
(1){2,3}　(2)?　[(1)A＝{2,3,4,5}，B＝{x|1≤x<4}，∴A∩B＝{2,3}．
(2)集合A表示y＝x2的函数值组成的集合，故A＝{y|y≥0}．B表示y＝x＋2上的点组成的集合，是点集，故A∩B＝?.]
集合的并集
【例2】　(1)若A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,6,7,8}，则A∪B＝________.
(2)若A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|1思路点拨：(1)将A，B中的元素合并，注意互异性即可．
(2)借助数轴表示A，B，再求A∪B.
(1){3,4,5,6,7,8}　(2){x|－1≤x<4}　[(1)A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)用数轴表示出A，B，如图．
∴A∪B＝{x|－1≤x<4}．]
两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合，它们的公共元素在并集中只能出现一次.对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题.
2．已知方程2x2－px＋q＝0的解集为A，方程6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0的解集为B，若A∩B＝，则A∪B＝________.
　[因为A∩B＝，所以∈A，∈B，故－p＋q＝0，＋(p＋2)＋5＋q＝0，则联立方程，解方程组得p＝－7，q＝－4，则2x2＋7x－4＝0,6x2－5x＋1＝0，故A＝，B＝，则A∪B＝.]
补集与交集、并集的关系
【例3】　已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，试写出?UA，?UB，A∩B，A∪B，?U(A∩B)，?U(A∪B)，(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．
思路点拨：采用列举法逐一将上述各集合写出．
[解]　?UA＝{5,6,7,8}，?UB＝{1,2,7,8}，
A∩B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4,5,6}．
?U(A∩B)＝{1,2,5,6,7,8}，?U(A∪B)＝{7,8}．
(?UA)∩(?UB)＝{7,8}，(?UA)∪(?UB)＝{1,2,5,6,7,8}．
从上述解答中可以看出以下两个结论：
?U(A∪B(＝(?UA(∩(?UB(；?U(A∩B(＝(?UA(∪(?UB(.
3．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，求(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．
[解]　由题知A∩B＝{x|2≤x≤3}，A∪B＝{x|1≤x≤4}．
∴?U(A∩B)＝{x|x<2或x>3}，?U(A∪B)＝{x|x<1或x>4}．
∴(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{x|x<1或x>4}，
(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)＝{x|x<2或x>3}.
结合集合的交集、并集、补集，求参数的范围
【例4】　已知集合A＝{x|2思路点拨：先借助于数轴的直观性进行分析，然后列出参数a的方程或不等式，进而求相应a的取值范围．
[解]　有两类情况，一类是B≠??a>0.
此时，又分两种情况：①B在A的左边，如图中B所示；
②B在A的右边，如图中B′所示．
集合B在图中B或B′位置均能使A∩B＝?成立，
即0<3a≤2或a≥4，解得0另一类是B＝?，即a≤0时，显然A∩B＝?成立．
综上所述，a的取值范围是.
1．(变条件)若把本例变为已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．
[解]　∵A∪B＝A，∴B?A，
∴分B＝?和B≠?两种情况讨论．
①当B＝?时，k＋1>2k－1，∴k<2.
②当B≠?，则根据题意如图所示：
根据数轴可得解得2≤k≤.
综合①②可得k的取值范围是.
2．(变结论)若把上题中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A”，求k的取值范围．
[解]　∵A∩B＝A，∴A?B.又∵A＝{x|－3由数轴(如图所示)可知解得k∈?，
即当A∩B＝A时，k的取值范围为?.
1．若A∩B＝?，则A，B可能的情况为：(1)A，B非空但无公共元素；(2)A，B均为空集；(3)A与B中只有一个是空集．
2．依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法．
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但xB；x∈B但xA；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．
1．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－1A．{x|x>－1} B．{x|1≤x<2}
C．{x|12}
C　[利用数轴可知A∩B＝{x|12．设集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，则(?UM)∪N＝________.
{0,2,3}　[由题意知，?UM＝{0,3}，所以(?UM)∪N＝{0,2,3}．]
3．已知集合M＝{(x，y)|x＝0}，N＝{(x，y)|y＝x＋2}，则M∩N＝________.
{(0,2)}　[由题意可得M∩N＝＝{(0,2)}．]
4．已知全集U＝R，A＝{x|－3(1)A∪B；
(2)(?UB)∩A.
[解]　由题意，得B＝{x|x2－5x－6<0}＝{x|－1(1)∵集合A＝{x|－3(2)∵?UB＝{x|x≤－1或x≥6}，
∴(?UB)∩A＝{x|－3