高中数学苏教版必修1讲义：3.1.2指数函数（第2课时）指数函数的图象与性质的应用

第2课时　指数函数的图象与性质的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点)
2.能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点)
通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养.
指数函数
形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．
设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．
某人于今年元旦到银行存款a万元，银行利率为月息p，则该人9月1日取款时，连本带利共可以取出金额为________．
a(1＋p)8　[一个月后a(1＋p)，二个月后a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2，…
9月1日取款时共存款8个月，则本利和为a(1＋p)8.]
求函数的定义域、值域
【例1】　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝.
思路点拨：使式子的每个部分有意义，即可求得各自的定义域，求值域时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域．
[解]　(1)由x－4≠0，得x≠4，
故y＝2的定义域为{x|x≠4}．
又≠0，即2≠1，
故y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
∴y＝的定义域为(－∞，0]．
由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，
∴0≤1－2x<1，
∴y＝的值域为[0,1)．
(3)y＝的定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴≤＝16.
又∵>0，
故函数y＝的值域为(0,16]．
1．对于y＝af(x)这类函数
(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．
2．对于y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题．利用换元法，借助二次函数求解．
1．(1)函数f(x)＝＋的定义域为________．
(2)求函数y＝4－x－21－x＋1在x∈[－3,2]上的最大值和最小值．
(－3,0]　[(1)由得－3所以函数的定义域是(－3,0]．]
(2)[解]　y＝4－x－21－x＋1＝－2·＋1＝，
∵x∈[－3,2]，∴∈，
令t＝，得y＝(t－1)2，其中t∈，
∴y∈[0,49]，即最大值为49，最小值为0.
指数函数的应用题
【例2】　某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：
(1)试写出x年后该城市人口总数y(万人)与年份x(年)之间的函数关系式；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．
思路点拨：本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N，年平均增长率为p，则对于x年后的人口总数y，可以用y＝N(1＋p)x表示．
[解]　(1)1年后城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．
2年后城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100(1＋1.2%)2，
同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3，
…
故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为：
y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．
故10年后该城市人口总数约为113万人．
解决实际应用题的步骤
(1(领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；
(2(根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；
(3(对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；
(4(检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答.
2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出y关于x的函数解析式．
[解]　设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克．
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数量为M(1＋1.2%)．
则人均占有粮食为千克，
经过2年后，人均占有粮食为千克，
…
经过x年后，人均占有粮食为y＝千克，
即所求函数解析式为y＝360 (x∈N*)．
指数函数性质的综合应用
[探究问题]
通过指数函数y＝2x，y＝的图象，可以抽象出指数函数的性质有哪些？
[提示]　指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
【例3】　已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围；
(3)求f(x)在[－1,2]上的值域．
思路点拨：(1)根据奇函数的定义，求出a，b.(2)利用单调性和奇偶性去掉f 解不等式求k的范围．(3)利用(2)中单调性求f(x)的值域．
[解]　(1)∵函数y＝f(x)是定义域R上的奇函数，
∴
∴
∴b＝1，a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝
＝－＋，
设x1，x2∈R且x1则f(x2)－f(x1)＝－＝<0，
∴f(x)在定义域R上为减函数，
由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，
可得f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
∴t2－2t>k－2t2，∴3t2－2t－k>0恒成立，
∴Δ＝(－2)2＋12k<0，解得k<－，
∴k的取值范围为.
(3)由(2)知f(x)在R上单调递减，
∴f(x)在[－1,2]上单调递减，
∴f(x)max＝f(－1)＝－＋＝，f(x)min＝f(2)＝－＋＝－，
∴f(x)的值域为.
与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域(等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解.
3．设a>0，函数f(x)＝＋是定义域为R的偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
[解]　(1)由f(x)＝f(－x)
得＋＝＋，
即4x＋＝0，
所以＝0，
根据题意，可得－a＝0，
又a>0，所以a＝1.
(2)由(1)可知f(x)＝4x＋，
设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝4＋－4－
＝(4－4).
因为0所以4<4，所以4－4<0.
又x1＋x2>0，
所以4 >1，
所以1－＝>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)于是知f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
复合函数的单调性
[探究问题]
1．y＝2x的单调性如何？y＝x＋1呢？y＝2x＋1呢？
[提示]　y＝2x在R上单调递增，y＝x＋1在R上单调递增，y＝2x＋1在R上单调递增．
2．y＝与y＝的单调性分别如何？
[提示]　y＝单调递减，y＝单调递减．
3．y＝－x与y＝2－x的单调性如何？
[提示]　y＝－x单调递减，y＝2－x＝单调递减．
4．由以上3个探究，我们可以对由y＝f(u)，u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))的单调性做出什么猜想．
[提示]　y＝f(g(x))可以由y＝f(u)，u＝g(x)复合而成，复合而成的函数单调性与y＝f(u)，u＝g(x)各自单调的关系为“同增异减”．即f 与g单调性相同，复合后单调递增，f 与g单调性不同，复合后单调递减．
5．用单调性的定义证明：当y＝f(u)，u＝g(x)均单调递减时y＝f(g(x))单调递增．
[提示]　任取x1，x2∈D且x1∵g(x)单调递减，∴g(x1)>g(x2)，即u1>u2，
又f(x)单调递减，∴f(u1)即f(g(x1))∴y＝f(g(x))单调递增．
【例4】　判断f(x)＝的单调性，并求其值域．
思路点拨：先确定u＝x2－2x的值域、单调性，再确定f(x)＝的单调性和值域．
[解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞)，
∴0<≤＝3，
∴原函数的值域为(0,3]．
1．(变条件)本例中“x∈R”变为“x∈[－1,2]”．判断f(x)的单调性，并求其值域．
[解]　由本例解析知，又x∈[－1,2]，
∴f(x)＝(x∈[－1,2])在[－1,1]上是增函数，在(1,2]上是减函数．
∵u＝x2－2x(x∈[－1,2])的最小值、最大值分别为umin＝－1，umax＝3，∴f(x)的最大值、最小值分别为f(1)＝＝3，f(－1)＝＝.∴函数f(x)的值域为.
2．(变设问)在本例条件下，解不等式f(x)[解]　∵f(x)∴x2－2x>－1，
∴(x－1)2>0，∴x≠1，
∴不等式的解集为{x|x≠1}．
1．关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a>1还是02．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性，其规则是“同增异减”．
1．比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数型函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．指数型函数单调性的应用
(1)形如y＝af(x)的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(2)形如ax>ay的不等式，当a>1时，ax>ay?x>y；当0ay?x1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(－5,0) B．[－5,0)
C．(－5,0] D．[－5,0]
C　[令∴－52．函数f(x)＝－1，x∈[－1,2]的值域为________．
　[x∈[－1,2]时，∈，
∴f(x)∈.]
3．函数y＝3的单调递减区间是________．
[0，＋∞)　[令y＝3u，u＝2－2x2，因为y＝3u在R上单调递增，u＝2－2x2在[0，＋∞)上单调递减，所以y＝3的单调递减区间是[0，＋∞)．]
4．设0≤x≤2，y＝4－3×2x＋5，试求该函数的最值．
[解]　令t＝2x，0≤x≤2，
∴1≤t≤4.
则y＝22x－1－3×2x＋5＝t2－3t＋5.
又y＝(t－3)2＋，t∈[1,4]，
∴y＝(t－3)2＋在[1,3]上是减函数，在t∈[3,4]上是增函数，
∴当t＝3时，ymin＝；
当t＝1时，ymax＝.
故函数的最大值为，最小值为.