高中数学苏教版必修1讲义：3.2.1对数（第2课时）对数的运算性质
文档属性
| 名称 | 高中数学苏教版必修1讲义：3.2.1对数（第2课时）对数的运算性质 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 446.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-14 09:03:04 | ||
图片预览
文档简介
第2课时 对数的运算性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)
2.了解换底公式.
3.能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学建模的数学核心素养.
1．符号表示
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)logaM n＝nlogaM(n∈R)；
(3)loga＝logaM－logaN.
2．文字表述
(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；
(2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
(3)一个正数的n次幂的对数等于n倍的该数的对数．
3．换底公式
一般地，我们有logaN＝，(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)，这个公式称为对数的换底公式．
4．与换底公式有关的几个结论
(1)loga b·logb a＝1(a，b>0且a，b≠1)；
(2)logbn＝loga b(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差． ( )
(2)logax·logay＝loga(x＋y)． ( )
(3)loga(－2)4＝4loga(－2)． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] 根据对数的运算性质，只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(1)错误，(2)错误，(3)中－2不能作真数．
2．(1)log2 25－log2 ＝________；(2)log2 8＝________.
(1)2 (2)3 [(1)log2 25－log2 ＝log2 25×＝log2 4＝log2 22＝2log2 2＝2.
(2)log2 8＝log2 23＝3log2 2＝3.]
3．若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝________.
[log75＝＝.]
对数运算性质的应用
【例1】 计算下列各式的值：
(1)lg 2＋lg 5；(2)log5 35＋2log－log5 －log5 14；(3)[(1－log6 3)2＋log6 2·log6 18]÷log6 4.
思路点拨：根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．
[解] (1)lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1.
(2)原式＝log5 ＋2log2＝log5 53－1＝2.
(3)原式＝[(log6 6－log6 3)2＋log6 2·log6(2·32)]÷log6 4
＝÷log6 22
＝[(log6 2)2＋(log6 2)2＋2log6 2·log6 3]÷2log6 2
＝log6 2＋log6 3＝log6(2·3)＝1.
1．对于同底的对数的化简要用的方法
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．
2．注意对数的性质的应用，如loga 1＝0，loga a＝1，aloga N＝N.
3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．
1．计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；
(3)2log3 2－log3 ＋log3 8－5.
[解] (1)法一：原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10＝.
法二：原式＝lg －lg 4＋lg 7
＝lg ＝lg (·)＝lg ＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝2log3 2－(log3 32－log3 9)＋3log3 2－3＝2log3 2－5log3 2＋2＋3log3 2－3＝－1.
【例2】 化简：
(1)log2(28×82)；(2)用lg 2和lg 3表示lg 24；
(3)用loga x，loga y，loga z表示loga(xy2z)．
思路点拨：将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来．
[解] (1)log2(28×82)＝log2[28×(23)2]＝log2(28＋3×2)＝log2 214＝14.
(2)lg 24＝lg (3×8)＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2.
(3)loga(xy2z)＝loga x＋loga y2＋loga z＝loga x＋2loga y－loga z.
这类问题一般有两种处理方法
一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意loga(MN)≠loga M·loga N，loga(M±N)≠loga M±loga N.
2．化简：
(1)log(45×82)；(2)log27－log9；
(3)用lg x，lg y，lg z表示lg .
[解] (1)log(45×82)＝log (210×26)＝log 216＝16log 2＝16×2＝32.
(2)log27－log9＝log＝log3＝－1.
(3)lg ＝lg x2＋lg －lg ＝2lg x＋lg y－lg z.
换底公式及其应用
【例3】 (1)已知3a＝5b＝c，且＋＝2，则c的值为________．
(2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
①求p；
②证明：－＝.
思路点拨：用换底公式统一底数再求解．
(1) [由3a＝5b＝c，得a＝log3c，b＝log5c，所以＝logc3，＝logc5.又＋＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，c＝.]
(2)[解] ①设3x＝4y＝6z＝k(k＞1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由2x＝py，得2log3k＝plog4k，
解得p＝2log34＝4log32.
②证明：－＝－
＝logk6－logk3＝logk2，
而＝＝logk4＝logk2.
故－＝.
1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．
2．换底公式推导出的两个恒等式：
(1)logNn＝loga N；
(2)loga b·logb a＝1，要注意熟练应用．
3．计算：(log2 125＋log4 25＋log8 5)(log5 2＋log25 4＋log125 8)．
对数运算在实际问题中的应用
【例4】 2015年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2015年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)
思路点拨：认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．
[解] 设经过x年，我国国民生产总值是2015年的2倍．
经过1年，总产值为a(1＋8%)，
经过2年，总产值为a(1＋8%)2，
……
经过x年，总产值为a(1＋8%)x.
由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2，
两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2，
则x＝≈≈9(年)．
答：约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．
解对数应用题的步骤
4．2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国的GDP年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标？(lg 2≈0.301 0，lg 1.078≈0.032 6，结果保留整数)．
[解] 假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标，根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x＝89 442×4，即1.078x＝4，故x＝log1.078 4＝≈18.5.
答：约经过19年以后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标．
含对数式的方程的解法
[探究问题]
1．对数的运算性质有哪些？
[提示] loga (MN)＝loga M＋loga N，loga ＝loga M－loga N，loga b＝，loga M n＝nloga M，log bn
＝loga b.
2．解对数方程loga M＝loga N，应注意什么？
[提示]
【例5】 已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求log
的值．
思路点拨：根据对数的运算性质得到x，y的关系式，解方程即可．
[解] lg x＋lg y＝lg (xy)＝2lg (x－2y)＝lg (x－2y)2，
由题知，xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，
∴－5＋4＝0，
∴＝0，故＝1或4.
又当x＝y时，x－2y＝－y<0，故舍去，∴＝4.
∴log ＝log 4＝－2.
解含对数式的方程应注意两点
(1)对数的运算性质；
(2)对数中底数和真数的范围限制．
5．解方程：
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n；②loga(MN)＝logaM·logaN；③logaM±logaN＝loga(M±N)．
1．如a>0，a≠1，x>0，y>0，则下列式子正确的是( )
A．logax＋logay＝loga(x＋y)
B．logax－logay＝loga(x－y)
C．loga＝logax÷logay
D．loga(xy)＝logax＋logay
D [由对数的运算性质知D正确．]
2．已知lg 2＝a，lg 7＝b，那么用a，b表示log8 98＝________.
[log8 98＝＝＝.]
3．已知2m＝5n＝10，则＋＝________.
1 [因为m＝log2 10，n＝log5 10，所以＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.]
4．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求的值．
[解] 由已知条件得
即整理得
∴x－2y＝0，∴＝2.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)
2.了解换底公式.
3.能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学建模的数学核心素养.
1．符号表示
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)logaM n＝nlogaM(n∈R)；
(3)loga＝logaM－logaN.
2．文字表述
(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；
(2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
(3)一个正数的n次幂的对数等于n倍的该数的对数．
3．换底公式
一般地，我们有logaN＝，(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)，这个公式称为对数的换底公式．
4．与换底公式有关的几个结论
(1)loga b·logb a＝1(a，b>0且a，b≠1)；
(2)logbn＝loga b(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差． ( )
(2)logax·logay＝loga(x＋y)． ( )
(3)loga(－2)4＝4loga(－2)． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] 根据对数的运算性质，只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(1)错误，(2)错误，(3)中－2不能作真数．
2．(1)log2 25－log2 ＝________；(2)log2 8＝________.
(1)2 (2)3 [(1)log2 25－log2 ＝log2 25×＝log2 4＝log2 22＝2log2 2＝2.
(2)log2 8＝log2 23＝3log2 2＝3.]
3．若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝________.
[log75＝＝.]
对数运算性质的应用
【例1】 计算下列各式的值：
(1)lg 2＋lg 5；(2)log5 35＋2log－log5 －log5 14；(3)[(1－log6 3)2＋log6 2·log6 18]÷log6 4.
思路点拨：根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．
[解] (1)lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1.
(2)原式＝log5 ＋2log2＝log5 53－1＝2.
(3)原式＝[(log6 6－log6 3)2＋log6 2·log6(2·32)]÷log6 4
＝÷log6 22
＝[(log6 2)2＋(log6 2)2＋2log6 2·log6 3]÷2log6 2
＝log6 2＋log6 3＝log6(2·3)＝1.
1．对于同底的对数的化简要用的方法
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．
2．注意对数的性质的应用，如loga 1＝0，loga a＝1，aloga N＝N.
3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．
1．计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；
(3)2log3 2－log3 ＋log3 8－5.
[解] (1)法一：原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10＝.
法二：原式＝lg －lg 4＋lg 7
＝lg ＝lg (·)＝lg ＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝2log3 2－(log3 32－log3 9)＋3log3 2－3＝2log3 2－5log3 2＋2＋3log3 2－3＝－1.
【例2】 化简：
(1)log2(28×82)；(2)用lg 2和lg 3表示lg 24；
(3)用loga x，loga y，loga z表示loga(xy2z)．
思路点拨：将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来．
[解] (1)log2(28×82)＝log2[28×(23)2]＝log2(28＋3×2)＝log2 214＝14.
(2)lg 24＝lg (3×8)＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2.
(3)loga(xy2z)＝loga x＋loga y2＋loga z＝loga x＋2loga y－loga z.
这类问题一般有两种处理方法
一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意loga(MN)≠loga M·loga N，loga(M±N)≠loga M±loga N.
2．化简：
(1)log(45×82)；(2)log27－log9；
(3)用lg x，lg y，lg z表示lg .
[解] (1)log(45×82)＝log (210×26)＝log 216＝16log 2＝16×2＝32.
(2)log27－log9＝log＝log3＝－1.
(3)lg ＝lg x2＋lg －lg ＝2lg x＋lg y－lg z.
换底公式及其应用
【例3】 (1)已知3a＝5b＝c，且＋＝2，则c的值为________．
(2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
①求p；
②证明：－＝.
思路点拨：用换底公式统一底数再求解．
(1) [由3a＝5b＝c，得a＝log3c，b＝log5c，所以＝logc3，＝logc5.又＋＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，c＝.]
(2)[解] ①设3x＝4y＝6z＝k(k＞1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由2x＝py，得2log3k＝plog4k，
解得p＝2log34＝4log32.
②证明：－＝－
＝logk6－logk3＝logk2，
而＝＝logk4＝logk2.
故－＝.
1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．
2．换底公式推导出的两个恒等式：
(1)logNn＝loga N；
(2)loga b·logb a＝1，要注意熟练应用．
3．计算：(log2 125＋log4 25＋log8 5)(log5 2＋log25 4＋log125 8)．
对数运算在实际问题中的应用
【例4】 2015年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2015年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)
思路点拨：认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．
[解] 设经过x年，我国国民生产总值是2015年的2倍．
经过1年，总产值为a(1＋8%)，
经过2年，总产值为a(1＋8%)2，
……
经过x年，总产值为a(1＋8%)x.
由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2，
两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2，
则x＝≈≈9(年)．
答：约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．
解对数应用题的步骤
4．2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国的GDP年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标？(lg 2≈0.301 0，lg 1.078≈0.032 6，结果保留整数)．
[解] 假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标，根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x＝89 442×4，即1.078x＝4，故x＝log1.078 4＝≈18.5.
答：约经过19年以后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标．
含对数式的方程的解法
[探究问题]
1．对数的运算性质有哪些？
[提示] loga (MN)＝loga M＋loga N，loga ＝loga M－loga N，loga b＝，loga M n＝nloga M，log bn
＝loga b.
2．解对数方程loga M＝loga N，应注意什么？
[提示]
【例5】 已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求log
的值．
思路点拨：根据对数的运算性质得到x，y的关系式，解方程即可．
[解] lg x＋lg y＝lg (xy)＝2lg (x－2y)＝lg (x－2y)2，
由题知，xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，
∴－5＋4＝0，
∴＝0，故＝1或4.
又当x＝y时，x－2y＝－y<0，故舍去，∴＝4.
∴log ＝log 4＝－2.
解含对数式的方程应注意两点
(1)对数的运算性质；
(2)对数中底数和真数的范围限制．
5．解方程：
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n；②loga(MN)＝logaM·logaN；③logaM±logaN＝loga(M±N)．
1．如a>0，a≠1，x>0，y>0，则下列式子正确的是( )
A．logax＋logay＝loga(x＋y)
B．logax－logay＝loga(x－y)
C．loga＝logax÷logay
D．loga(xy)＝logax＋logay
D [由对数的运算性质知D正确．]
2．已知lg 2＝a，lg 7＝b，那么用a，b表示log8 98＝________.
[log8 98＝＝＝.]
3．已知2m＝5n＝10，则＋＝________.
1 [因为m＝log2 10，n＝log5 10，所以＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.]
4．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求的值．
[解] 由已知条件得
即整理得
∴x－2y＝0，∴＝2.