高中数学苏教版必修1讲义：3.2.2对数函数（第2课时）对数函数的图象与性质的应用

第2课时　对数函数的图象与性质的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能正确判断图象之间的变换关系．(重点)
2.理解并掌握对数函数的单调性．(重点)
3.会用对数函数的相关性质解综合题．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
1．平移变换
当b＞0时，将y＝loga x的图象向左平移b个单位，得到y＝loga(x＋b)的图象；向右平移b个单位，得到y＝loga(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝loga x的图象向上平移b个单位，得到y＝logax＋b的图象，将y＝logax的图象向下平移b个单位，得到y＝logax－b的图象．
2．对称变换
要得到y＝loga 的图象，应将y＝loga x的图象关于x轴对称．
为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点_______________．
向左平移3个单位，再向下平移1个单位　[y＝lg ＝lg (x＋3)－1，故将y＝lg x向左平移3个单位，再向下平移1个单位．]
对数函数的图象
【例1】　作出函数y＝|log2 (x＋2)|＋4的图象，并指出其单调增区间．
思路点拨：可先作出y＝log2 x的图象，再左移2个单位得到y＝log2 (x＋2)，通过翻折变换得到y＝|log2 (x＋2)|，再向上平移4个单位即可．
[解]　步骤如下：
(1)作出y＝log2 x的图象，如图(1)．
(2)将y＝log2 x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2 (x＋2)的图象，如图(2)．
(3)将y＝log2 (x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得到y＝|log2 (x＋2)|的图象，如图(3)．
(4)将y＝|log2 (x＋2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝|log2(x＋2)|＋4的图象，如图(4)．
由图可知，函数的单调增区间为[－1，＋∞)．
1．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下：
y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.
2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下：
y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.
从上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y.
1．(1)若函数f(x)＝a－x(a>0，a≠1)是定义域为R的增函数，则函数g(x)＝loga (x＋1)的图象大致是(　　)
(2)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logb x的图象可能是(　　)
(1)D　(2)B　[(1)因为函数f(x)＝a－x是定义域为R的增函数，所以0(2)由lg a＋lg b＝0，得lg (ab)＝0，所以ab＝1，故a＝，
所以当01；当b>1时，0值域问题
【例2】　(1)已知函数f(x)＝2logx的定义域为[2,4]，则函数f(x)的值域是________．
(2)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．
(3)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域．
思路点拨：(1)中利用f(x)＝2logx在定义域[2,4]上为减函数求解．
(2)中y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，所以f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上是单调函数．
(3)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．
(1)[－4，－2]　(2)　[∵f(x)＝2logx在[2,4]上为减函数，
∴x＝2时，f(x)max＝2log2＝－2；
x＝4时，f(x)min＝2log4＝－4.
∴f(x)的值域为[－4，－2]．
(2)由题意得

∴loga2＝－1，
解得a＝.]
(3)[解]　∵－x2－4x＋12＞0，
又∵－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，
∴0＜－x2－4x＋12≤16，
故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，
∴函数的值域为(－∞，4]．
求函数值域或最大(小(值的常用方法
(1(直接法
根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域.
(2(配方法
当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y＝a[f(x(]2＋bf(x(＋c(，求函数值域问题时，可以用配方法.
(3(单调性法
根据在定义域(或定义域的某个子集(上的单调性，求出函数的值域.
(4(换元法
求形如y＝logaf(x(型函数值域的步骤：①换元，令u＝f(x(，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象，求出y的取值范围.
2．(1)函数f(x)＝log (9－x2)的单调增区间为________，值域为______．
(2)当x∈[3,27]时，函数f(x)＝log3 ·log3 的值域为________．
(1)(0,3)　[－2，＋∞)　(2)　[(1)f(x)的定义域为9－x2>0?x2<9?－3当x∈(－3,0)时，u(x)＝9－x2单调递增，∴f(x)单调递减．
当x∈(0,3)时，u(x)＝9－x2单调递减，∴f(x)单调递增．
∵9－x2∈(0,9]，∴log (9－x2)≥log 9＝－2.
即函数的值域为[－2，＋∞)．
(2)f(x)＝log3 ·log3 ＝(log3 x－1)(log3 x－2)＝(log3 x)2－3log3 x＋2＝－，
令t＝log3 x，
∵x∈[3,27]，∴t∈[1,3]，
∴f(x)max＝－＝2，f(x)min＝－.
∴函数值域为.]
对数函数的综合问题
【例3】　已知函数f(x)＝lg (2－x)－lg (2＋x)．
(1)求值：f ＋f ；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)判断函数的单调性并用定义证明．
思路点拨：(1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性．
[解]　(1)f ＋f ＝lg －lg ＋lg －lg ＝0.
(2)?－2又f(－x)＝lg (2＋x)－lg (2－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)设－2f(x1)－f(x2)＝lg －lg ＝lg ，
∵(2－x1)(2＋x2)－(2＋x1)(2－x2)＝4(x2－x1)>0.
又(2－x1)(2＋x2)>0，(2＋x1)(2－x2)>0，
∴>1，
∴lg >0.
从而f(x1)>f(x2)，故f(x)在(－2,2)上为减函数．
对数函数性质的综合应用
1．常见的命题方式
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．
2．解此类问题的基本思路
首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．
3．已知函数f(x)＝loga (x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
[解]　(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，
∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，
∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.
设F(x)＝loga＝loga，x∈[0,1)，
由题意知，只要F(x)min≥m即可．
∵F(x)在[0,1)上是增函数，
∴F(x)min＝F(0)＝0.
故m的取值范围为(－∞，0]．
解对数不等式(或方程)
[探究问题]
1．对数函数的单调性，内容是什么？
[提示]　对数函数y＝loga x，当a>1时，在(0，＋∞)上单调递增，当02．常数m能表示成对数形式吗？
[提示]　能．m＝loga am.
3．在y＝loga x中，a，x的要求是什么？
[提示]　a>0且a≠1，x>0.
【例4】　已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a>0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．
求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由．
思路点拨：根据对数函数的单调性求解即可，但应注意定义域的限制，在底不确定时应注意讨论．
[解]　∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x>－1}，
g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x<1}，
∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－1}∩{x|x<1}＝{x|－1∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，
∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，∴h(x)为奇函数．
1．(变条件)若f(x)变为loga(a>1)，求f(x)的定义域．
[解]　因为f(x)＝loga，
所以>0，即或
所以－1所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．
2．(变设问)在本例条件下，若f(3)＝2，求使h(x)<0成立的x的集合．
[解]　∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.
∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
∴h(x)<0等价于log2(1＋x)∴
解得－1故使h(x)<0成立的x的集合为{x|－11．解对数方程不等式需考虑对数定义中的隐含条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，再根据对数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式，然后求交集即得原不等式的解集．
2．当不等式中有两个变元时应分清主变元是谁．
1．图象的左右平移是对自变量x作变化，和x前面的系数无关．如y＝lg 2x图象向左平移3个单位得y＝lg 2(x＋3)的图象，而不是y＝lg (2x＋3)的图象，上下平移是对函数值y作变化．
2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.
1．若a>0且a≠1，则函数y＝loga (x＋1)＋1的图象恒过定点的坐标为(　　)
A．(－1,1) B．(2,1)
C．(0,1) D．(0，－1)
C　[将y＝loga x左移1个单位，再上移1个单位，则得到y＝loga (x＋1)＋1的图象，由于y＝loga x过定点(1,0)，故y＝loga (x＋1)＋1过定点(0,1)．]
2．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,2]，则函数y＝f(log2 x)的定义域为________．
[，16]　[由题知x∈[－1,2]时，2x∈，
∴log2 x∈，∴x∈[，16]，
∴y＝f(log2 x)的定义域为[，16]．]
3．函数f(x)＝1＋log2 x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是________．(填序号)
③　[y＝log2 x的图象向上平移1个单位得到f(x)的图象，故f(x)必过点(1,1)，g(x)可由y＝2－x的图象右移1个单位得到，故g(x)必过点(1,1)．]
4．求函数y＝(log x)2－log x＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
[解]　∵2≤x≤4，则由y＝log x在区间[2,4]上为减函数知，log 2≥log x≥log 4，即－2≤log x≤－1.
若设t＝log x，则－2≤t≤－1，且y＝t2－t＋5.
而y＝t2－t＋5的图象的对称轴为t＝，且在区间上为减函数，而[－2，－1]，所以当t＝－2，即x＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；
当t＝－1，即x＝2时，此函数取得最小值，最小值为.