高中数学苏教版必修1讲义：3.3幂函数

3.3　幂函数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象．(重点)
2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点)
3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点)
通过学习本节内容提升学生的数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.
1．幂函数的概念
一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的图象和性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪
(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪
(0，＋∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非
偶函数
奇函数
单调性
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在[0，＋∞)上单调递
增　
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
定点
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数的图象不经过第四象限． (　　)
(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点． (　　)
(3)指数函数y＝ax的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
[提示]　(1)由幂函数的一般式y＝xα(α为常数)及图象可知，当x>0时，y>0，即图象不经过第四象限．
(2)y＝x－1不经过(0,0)点，故错误．
(3)y＝x，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误．
2．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.
3　[由题意得所以m＋n＝3.]
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.
－8　[8＝2α，所以α＝3，
所以f(x)＝x3，f(－2)＝(－2)3＝－8.]
幂函数的概念
【例1】　已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
思路点拨：由幂函数的定义列式求解．
[解]　由题意得解得
∴m＝－3，n＝为所求．
1．幂函数y＝xα要满足三个特征
(1)幂xα前系数为1；
(2)底数只能是自变量x，指数是常数；
(3)项数只有一项．
2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.
1．下列函数是幂函数的有________．(填序号)
①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝x；④y＝x2＋1；⑤y＝－；⑥y＝x.
③⑥　[根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．]
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过，则f(100)＝________.
　[由题知2α＝＝2，∴α＝－.
∴f(x)＝x，
∴f(100)＝100＝＝.]
比较大小
【例2】　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；(2)与；
(3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.
思路点拨：可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较．
[解]　(1)∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且>，
∴>.
(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，
且－<－，
∴>.
(3)0.25＝＝2，
6.25＝2.5.
∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5，
∴2<2.5，即0.25<6.25.
(4)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y＝0.3x是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.
比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：
(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；
(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数；
(3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．
3．比较下列各组中两个数的大小：
(1)3，3.1；
(2)a1.5，(a＋1)1.5(a＞0)；
(3)(－0.88)，(－0.89).
[解]　(1)因为函数y＝x在(0，＋∞)内是减函数，所以3＞3.1.
(2)函数y＝x1.5在(0，＋∞)内是增函数，又a＞0，a＋1＞a，
所以(a＋1)1.5＞a1.5.
(3)函数y＝x 在R上为增函数，
所以(－0.88)＞(－0.89).
幂函数的图象与性质
[探究问题]
1．做幂函数y＝x的图象应该怎么做？
[提示]　①因为0<<1，故函数y＝x在第一象限内是单调递增的，并且在(0,1)上应在y＝x的上方，在(1，＋∞)上应在y＝x的下方．
②函数的定义域为R，且为偶函数，故将y轴右侧的图象关于y轴对称到y轴左侧，即得到y＝x的图象(略)．
2．从上述过程能否归纳出作幂函数y＝xα的图象的步骤？
[提示]　①先看α，按α<0,0<α<1，α>1来分类(α＝0，α＝1两种特殊情况可直接作图)，并确定在第一象限的图象的形状．
②再看定义域以及函数的奇偶性，结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象．
3．作出y＝x的图象(草图)，并说明若x>y时，x，y与0的大小关系有多少种？
[提示]　y＝x在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，
从图象可以看出，若x>y，则有以下情况
①00>y.
【例3】　已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)<(3－2a)的a的取值范围．
思路点拨：→→
→→→
[解]　∵函数在(0，＋∞)上递减，
∴3m－9<0，解得m<3.
又m∈N*，∴m＝1,2.
又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1.
∴有(a＋1)<(3－2a).
∵y＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a，或a＋1<0<3－2a，解得所以a的取值范围为(－∞，－1)∪
1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解．
2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．解决此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性或奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围．
4.已知x2>x，则x的取值范围是______．
(－∞，0)∪(1，＋∞)　[作出函数y＝x2和y＝x的图象(如图所示)，易得x<0或x>1.]
1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．
2．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
3．简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是(　　)
A．y＝x－3 B．y＝－x3
C．y＝2x3 D．y＝x3－1.
A　[幂函数是形如y＝xα的函数，观察四个函数只有A中函数是幂函数．]
2．已知幂函数y＝xα的图象过点(2，)，则f(4)的值是_____．
2　[将点(2，)代入幂函数可得f(2)＝2α＝，解得α＝，即幂函数为f(x)＝x，可得f(4)＝4＝2.]
3．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是________．(填序号)
(1)y＝x；(2)y＝x4；(3)y＝x－1；(4)y＝x3.
(2)　[(1)为非奇非偶函数，(3)为不过(0,0)的奇函数，(4)为奇函数，只有(2)符合题意．]
4．设a＝，b＝，c＝，比较a，b，c的大小关系．
[解]　∵f(x)＝在R上为减函数，∴<，即a∴>，即a>c，所以b>a>c.