高中数学苏教版必修1讲义：3.4.2函数模型及其应用

3.4.2　函数模型及其应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．(难点)
2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用(重点).
通过学习本节内容，提升学生的数学建模的数学运算核心素养.
1．常见的函数模型
(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)；
(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；
(5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；
(6)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
(7)分段函数模型．
2．用函数模型解决实际问题的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
1．某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________.
1.0211　[设1月份利润为x，则12月份的利润y＝x(1＋2%)11＝kx，
∴k＝1.0211.]
2．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是________元．
860　[依题意，可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，
由x＝800，y＝1 000及x＝700，y＝2 000，
可得k＝－10，b＝9 000，
即y＝－10x＋9 000，
将y＝400代入得x＝860(元)．]
利用已知函数模型解实际问题
【例1】　通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：
f(x)＝
(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？
(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
思路点拨：精读题目，理解题意及分段函数的意义进行求解．
[解]　(1)当0f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.
故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为
f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；
当16f(x)<－3×16＋107＝59.
因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min.
(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f(5)．
因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些．
(3)当0则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.
所以x＝20或x＝6，但0故x＝6.
当16则－3x＋107＝55.
所以x＝17.
因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17－6＝11≤13(min)，
所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．
1．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)近似满足一次函数y＝kx＋b的关系(图象如图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
[解]　(1)由题图可知所求函数图象过点(600,400)，(700,300)，
得解得
所以y＝－x＋1 000(500≤x≤800)．
(2)由(1)可知S＝xy－500y＝(－x＋1 000)(x－500)
＝－x2＋1 500x－500 000
＝－(x－750)2＋62 500(500≤x≤800)，
故当x＝750时，Smax＝62 500.
即销售单价为750元/件时，该公司可获得最大毛利润为62 500元．
利用三种函数模型解决实际问题
【例2】　燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
思路点拨：第(1)问知v求Q，直接求得；第(2)问知Q求v，也是直接代入．
[解]　(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中给出的公式可得：0＝5log2，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入题中给出的公式得：
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
2．某学校为了预防甲型H1N1流感，对教室采用药熏消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝ (a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
(1)y＝　(2)　[药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，则设函数为y＝kt(k≠0)，将点代入可得k＝10，则y＝10t；
将点代入y＝，得a＝.
则所求关系式为y＝
(2)令＝0.25＝，解得t＝＝.
即从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．]
1．应用已知函数模型解题，有两种题型：
(1)直接依据题中的函数解析式解决相关问题；
(2)若函数解析式中含有参数，将题中相应数据代入解析式，求得参数，从而确定函数解析式，并解决问题，这时用到的是待定系数法．
2．信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．
3．有些实际问题，可能需要多个函数模型，这时应注意分段函数模型的使用，在写分段函数时必须注意区间端点值不能重复，也不能遗漏．
利用数据拟合建立函数模型解实际应用题
[探究问题]
1．什么是数据拟合？
[提示]　数据拟合是研究变量之间相互影响、相互联系，并给出近似的数学表达式的一种方法．
2．用数据拟合法如何建立函数模型？
[提示]　一般是先做出散点图，近而根据散点趋势选择相关模型予以拟合．
【例3】　某人对西红柿市场做了一次调查，通过调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，
Q＝a·bt，Q＝a·logb t.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
思路点拨：根据这四种函数增长速度的特点选择适合表中数据函数模型，然后再用该模型解决问题．
[解]　(1)做出散点图，如图，根据散点图，应选取二次函数y＝at2＋bt＋c进行描述．
由题意知
解得a＝，b＝－，c＝.∴Q＝t2－t＋.
(2)由(1)知，Q＝(t－150)2＋100.
∴当t＝150天时，西红柿的种植成本是最低100元/102 kg.
根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示：
3．有一组实验数据如下表所示：
t
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是________．(填序号)
①y＝logax(a＞1)；②y＝ax＋b(a＞1)；③y＝ax2＋b(a＞0)；④y＝logax＋b(a＞1)．
③　[通过所给数据结合散点图可知y随x增大，其增长速度越来越快，而①④中的函数增长速度越来越慢，而②中的函数增长速度保持不变．]
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化．
4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程.
1．已知：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)
A．y＝a＋ B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logb x D．y＝a·bx.
D　[由表知x可以取“0”，排除A、C，
对于B：当x＝0时，y＝a＝1，∴a＝1，
当x＝1时，y＝a＋b＝2.02.b可以取1，
当x＝2时，y＝1＋2＝3；
当x＝3时，y＝1＋3＝4与表中各数据相差较大，可知只有D正确．]
2．用长度为20的铁丝围成一个长方形场地，使其一边靠墙，若靠墙的一边长设为x，则长方形的面积为________．
y＝x(0则另一边长为＝10－，
则长方形的面积为y＝x(03．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．
300　[由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1 300)代入得a＝500，b＝300.
当销售量为x＝0时，y＝300.]
4．某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，每生产100台，需要增加成本(即另增加投入)0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为R(x)＝5x－0.5x2(0≤x≤5，单位：万元)，其中x是产品出售的数量(单位：百台)．求年产量是多少时，工厂所得利润最大？
[解]　∵市场对此产品的年需求量为5百台，
∴当x≤5时，产品能售出x台，x＞5时只能售出5百台，故利润函数为：
L(x)＝R(x)－C(x)＝
＝
当0≤x≤5时，L(x)＝4.75x－0.5x2－0.5，
当x＝4.75时，得L(x)max＝L (4.75)≈10.8万元；
当x＞5时，L(x)＝12－0.25x，利润在12－0.25×5＝10.75万元以下，
故生产475台时利润最大．