高中数学苏教版必修1讲义：第2章函数章末复习课

第2章 函数
函数值域的求法
函数的值域由函数的定义域和对应法则确定，一旦函数的定义域和对应法则确定了，值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．
【例1】　求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)f(x)＝x＋.
思路点拨：(1)用直接法(观察法)；(2)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；(3)中含有根式，可利用换元法求解．
[解]　(1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x≥0，即x≥0.所以函数y＝的定义域为[0，＋∞)，因此≥0，所以函数y＝的值域为[0，＋∞)．
(2)法一(分离系数法)：y＝＝＝2＋.而≠0，所以2＋≠2，因此函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以x＋3≠0，即x≠－3，所以函数y＝的定义域为{x∈R|x≠－3}．又由y＝，得x＝.而分式的分母不能为零，所以2－y≠0，即y≠2.所以函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(3)令＝t，则t≥0，x＝＝t2＋，
∴y＝t2＋＋t＝－.
∵t≥0，∴y≥，
∴函数f(x)＝x＋的值域为.
常见的求值域的方法
(1(直接法(观察法(：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域.例如求函数f(x(＝5x＋1 (x∈{1，2，3，4}(的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f(x(的值域为{6，11，16，21}.
(2(分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域.
(3(反解法：例如求函数y＝的值域.由y＝解出x得x＝.由x＞－4，得＞－4，即＞0，∴y＞或y＜1.故函数y＝的值域为(－∞，1(∪.
(4(图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.
(5(换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.
1．(1)函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为________、________.
(2)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
(1)10　6　(2)1　[(1)f(x)在[1,2]和[－1,1)上分别递增，而且在[1,2]上，f(x)min＝f(1)＝8.
在[－1,1]上，f(x)(2)f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，对称轴为x＝2，
∴在[0,1]上，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4＋a＝4－3＝1.]
函数性质的应用
函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．
【例2】　函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
思路点拨：(1)(2)分别依据单调性和奇偶性的定义来求解；(3)利用奇偶性和单调性去掉f ，转化为t的不等式求解．
[解]　(1)由题意，得即?
∴f(x)＝，经检验，符合题意．
(2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)且x1f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵－10,1＋x>0,1＋x>0.
又∵－10，
∴f(x2)－f(x1)>0，故f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
(3)原不等式可化为f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－1解得0故原不等式的解集为.
函数单调性与奇偶性应用常见题型
(1(用定义判断或证明单调性和奇偶性.
(2(利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.
(3(利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.
(4(利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.
2．设函数f(x)对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)在区间[－3,3]上，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．
[解]　(1)令x＝y＝0，则有f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，
即f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
令y＝－x，则有0＝f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)为奇函数．
(2)任取－3≤x10.
由题意，得f(x2－x1)<0，
且f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f [x1＋(x2－x1)]
＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]
＝－f(x2－x1)>0，
即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[－3,3]上为减函数．
所以函数f(x)在[－3,3]上有最值，最大值为f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，最小值为f(3)＝－f(－3)＝3f(1)＝－6.
函数的图象与数形结合思想
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．这体现了数形结合．所以我们应该熟悉一些函数的图象，做到应用自如．与图象相关的题目有：知式选图(作图)，知图选式，比较大小，求单调区间，判断根(交点)的个数等．
【例3】　(1)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象分别如图(1)及图(2)所示，则f(x)·g(x)的图象可能是________．(填序号)
(2)若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，则m的取值范围是________．
思路点拨：(1)利用函数的奇偶性进行选择；(2)作出函数的图象，观察图象即可．
(1)③　(2)10，g(x)>0，所以f(x)·g(x)>0，只有③符合．
(2)令f(x)＝x2－4|x|＋5，
则f(x)＝
作出f(x)的图象，如图所示．
由图象可知，当1作函数图象的方法
方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．
注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．
方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．
3．对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________．
2　[首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是对同一个x值而言，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个．
如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．
从图象观察可得函数f(x)的表达式：
f(x)＝
f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.
]