高中数学苏教版必修1讲义：第3章指数函数、对数函数和幂函数章末复习课

第3章 指数函数、对数函数和幂函数
指数、对数的运算
1.指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
【例1】　(1)化简：
×；
(2)计算：2log3 2－log3 ＋log3 8－25.
思路点拨：按照指数、对数的运算性质进行计算，但应注意乘法公式的应用．
1．计算80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________．
三种初等函数的图象与性质
函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．
【例2】　(1)若函数f(x)＝log2的定义域为(－∞，1)，则a＝________.
(2)若函数f(x)＝log2在(－∞，1]上有意义，则a的取值范围是________．
思路点拨：分别将两个问题转化为求定义域问题和恒成立问题，然后求解．
(1)－　(2)　[(1)因为x<1，所以2x<2.
要使f(x)有意义，则a·4x＋2x＋1>0，令t＝2x，则t∈(0,2)，
由题知y＝at2＋t＋1开口向下，且t＝2是方程at2＋t＋1＝0的根，
所以4a＋2＋1＝0，所以a＝－.
(2)原问题等价于a·4x＋2x＋1>0，对任意x∈(－∞，1]恒成立．
因为4x>0，所以a>－在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝－，x∈(－∞，1]．
由y＝－与y＝－在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，所以g(x)max＝g(1)＝－＝－.
因为a>－在(－∞，1]上恒成立，所以a应大于g(x)的最大值，即a>－.
故所求a的取值范围为.]
2．已知f(x)＝log2 (x＋1)＋log2 (1－x)，
(1)求f(x)的定义域，并求f 的值；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)判断f(x)的单调性．
[解]　(1)由题知，令解得－1∴f(x)的定义域为{x|－1f ＝log2＋log2 
＝log2＝log2＝－1.
(2)f(－x)＝log2(－x＋1)＋log2(1＋x)＝f(x)，
又f(x)的定义域为{x|－1故f(x)为偶函数．
(3)f(x)＝log2 (x＋1)(1－x)＝log2 (1－x2)，
设u(x)＝1－x2，则u(x)是开口向下的二次函数，
在(－1,0)上，u(x)单调递增，在(0,1)上，u(x)单调递减，又y＝log2 u是增函数，
∴f(x)在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减．
比较大小
利用指数、对数函数和幂函数的性质比较大小是本章一个主要题型，数的大小比较常用的方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．
【例3】　比较下列各组数的大小：
(1)0.65.1，5.10.6，log0.65.1；
(2)log712，log812；
(3)a＝0.2，b＝0.3，c＝3，d＝5.
思路点拨：(1)采用“媒介法”引入0,1，把三个数与0,1相比较得结论；
(2)真数相同，底数不同，可用图象法或换底法比较大小；
(3)利用幂函数的性质求解．
[解]　(1)因为0<0.65.1<1,5.10.6>1，log0.65.1<0，所以5.10.6>0.65.1>log0.65.1.
(2)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图象：
由底数变化对图象位置的影响知：log712>log812.
法二：＝＝＝log78>1.
∵log812>0，∴log712>log812.
(3)因为0<<1，所以y＝x在[0，＋∞)上为增函数，所以0.2<0.3，即a又因为0.3<1,3>1，所以b3．比较大小：
(1)log 3，，2；
(2)log3 2，log2 3，log2 5.
[解]　(1)log 3<0，∈(0,1)，2>1，故log 3<<2.
(2)∵log3 2函数的零点与方程的根的关系及应用
根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．
从高考题型上看，这类题目，既有选择题，也可以出现解答题，解题时应注意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化．
【例4】　(1)函数f(x)＝log3 [log2(4－2x)]的零点为________．
(2)函数g(x)＝lg x与f(x)＝x2－6x＋9的图象的交点个数为____，设最右侧交点的横坐标x0，则存在n0∈N*，使x0∈(n0，n0＋1)，则n0＝________.
思路点拨：　(1)可通过解方程来求零点．
(2)通过图象和零点存在性定理来解．
(1)1　(2)2　3　[(1)f(x)＝0时，log3[log2(4－2x)]＝0，则log2(4－2x)＝1，∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x＝1.
(2)同一个坐标系中做出f(x)和g(x)的图象，如图，易知交点个数有2个，设h(x)＝g(x)－f(x)，∵h(2)＝lg 2－1<0，h(3)＝lg 3>0，h(4)＝lg 4－1<0，x0为最右侧交点，故x0∈(3,4)，∴n0＝3.]
4．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
[解]　(1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，显然有零点．
当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)
＝－36m－20≥0，得m≤－.
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．
综上所述，m≤－.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3.
且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，
∴m的值为－3.
分类讨论思想
本章中，指数函数、对数函数的性质均与a的范围有较大的关系，因此在应用二者的性质时我们应该注意分类讨论思想的应用．
【例5】　已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f ＝0，求不等式f(loga x)>0(a>0，且a≠1)的解集．
思路点拨：根据偶函数的性质，将f(loga x)>0转化为loga x与和－的大小关系，然后分类讨论求解不等式．
[解]　∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又f ＝0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，f ＝0.
故若f(loga x)>0，则有loga x>或loga x<－.
①当a>1时，由loga x>或loga x<－，得x>或0②当0或loga x<－，得0.
综上可知，当a>1时，f(loga x)>0的解集为∪(，＋∞)；当00的解集为(0，)∪.
5．将例题中“偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数”改为“奇函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数”应如何解答．
[解]　∵f(x)是奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f ＝0，
∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数，且f ＝0.
∴f >0可转化为loga x>或－①当a>1时，上述两不等式的解为x>和∴原不等式的解集为.
②当0综上，当a>1时，不等式的解集为；
当0