高中数学北师大版选修4-5课件：1.2.1 绝对值不等式 :24张PPT

课件24张PPT。§2　含有绝对值的不等式2.1　绝对值不等式1.实数的绝对值的概念
(2)|a|的几何意义:|a|表示数轴上实数a对应的点与原点之间的距离.
(3)两个重要性质:
①(ⅰ)|ab|=|a||b|;
②|a|<|b|?a2(5)|x+a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数-a对应的点之间的距离,或数轴上表示x+a的点到原点的距离.
2.绝对值不等式定理
(1)定理:对任意实数a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)定理的另一种形式:对任意实数a和b,有|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时,等号成立.名师点拨 绝对值不等式定理的完整形式:
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|;
(2)|a+b|=|a|+|b|成立的条件是ab≥0;
(3)|a-b|=|a|-|b|成立的条件是ab≥0,且|a|≥|b|;
(4)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0.【做一做】 若|lg ab|=|lg a|+|lg b|成立,则实数a,b满足的条件可以是(　　)
A.ab>1 B.0C.01
解析:由已知得|lg a+lg b|=|lg a|+|lg b|,
所以lg a·lg b≥0,
因此a>1且b>1或0答案:C思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)|a+b|≤|a|+|b|中,等号成立的条件是a,b同号.(　　)
(2)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0.(　　)
(3)数轴上任意一点到两点的距离之和都大于这两点间的距离.(　　)
(4)形如|x-a|+|x-b|的代数式只有最小值没有最大值.(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√探究一探究二探究三思维辨析【例1】 若|a-c|A.|a|<|b|+|c| B.|c|<|b|+|a|
C.|b|>|a|-|c| D.|b|<|a|-|c|
分析利用绝对值不等式定理,结合不等式的传递性进行判断.
解析:因为|a-c|0,|b|=b.
因为|a|-|c|≤|a-c|,所以|a|-|c|<|b|,即选项C正确,这时|a|<|b|+|c|,即选项A正确.
又|c|-|a|≤|a-c|,所以|c|-|a|<|b|,故|c|<|b|+|a|,即选项B正确;由选项A成立知选项D错误.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 判断绝对值不等式是否成立的技巧.
(1)注意对影响不等号的因素进行分析,如一个数(或式子)的正、负、零等,数(或式子)的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响,注意考查这些因素在不等式中的作用.
(2)如果对不等式不能直接判断,可以对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断.
(3)注意不等式性质尤其是传递性的正确应用.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是(　　)
A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b|| D.|a-b|<|a|+|b|
解析:因为ab<0,所以|a-b|=|a|+|b|.
又|a+b|<|a|+|b|,所以|a+b|<|a-b|.
答案:B探究一探究二探究三思维辨析【例2】求解下列各题:
(1)求函数f(x)=|x-4|-|x+2|的最大值和最小值.
(2)若函数f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值等于5,求实数a的值.
分析(1)利用绝对值不等式求解,注意等号成立的条件;(2)先用a表示函数的最小值,再求得实数a的值.
解(1)由绝对值不等式可得||x-4|-|x+2||≤|(x-4)-(x+2)|,即||x-4|-|x+2||≤6,所以-6≤|x-4|-|x+2|≤6,故函数f(x)的最小值是-6,最大值是6.
(2)由绝对值不等式可得|(x-a)-(x-1)|≤|x-a|+|x-1|,即|x-a|+|x-1|≥|1-a|,因此函数f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值为|1-a|,于是|1-a|=5,解得a=-4或a=6.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 利用绝对值不等式求最值的技巧
(1)绝对值不等式定理反映了绝对值之间的关系,形如y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型的函数的最值,均可利用绝对值不等式或其几何意义进行求解.
(2)一般地,函数y=|x-a|+|x-b|有最小值|a-b|,无最大值;函数y=|x-a|-|x-b|的最大值为|a-b|,最小值为-|a-b|.
(3)求最值时,还应注意等号成立的条件.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2(1)函数f(x)=|2x+1|+|2x-4|的最小值等于　　　　　.?
(2)若|x-2|-|x-3|>m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　.?
解析:(1)f(x)=|2x+1|+|2x-4|≥|(2x+1)-(2x-4)|=5,所以函数的最小值为5.
(2)因为函数y=|x-2|-|x-3|的最小值为-1,所以实数m的取值范围是(-∞,-1).
答案:(1)5　(2)(-∞,-1)探究一探究二探究三思维辨析分析将欲证不等式左边进行变形,重新组合,与已知条件相对应,再利用绝对值不等式证明.
证明|(A+B+C)-(a+b+c)|
=|(A-a)+(B-b)+(C-c)|
≤|A-a|+|B-b|+|C-c|
故原不等式|(A+B+C)-(a+b+c)|(1)含绝对值不等式的证明一般可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添项、拆项证明.
(2)注意与不等式的性质及证明不等式其他方法的结合.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3已知|x-a|<ε,|y-b|<ε,求证:|x+3y-a-3b|<4ε.
证明|x+3y-a-3b|
=|(x-a)+3(y-b)|
≤|x-a|+|3(y-b)|
=|x-a|+3|y-b|<ε+3ε=4ε,
故原不等式成立.探究一探究二探究三思维辨析对题意理解不清致误
【典例】 若关于x的不等式|x+5|+|x+7|>a的解集不是R,则参数a的取值范围是　　　　　.?
错解依题意,a>(|x+5|+|x+7|)min,而(|x+5|+|x+7|)min=2,所以a>2.
正解若关于x的不等式|x+5|+|x+7|>a的解集是R,即该不等式恒成立,因此a<(|x+5|+|x+7|)min,而(|x+5|+|x+7|)min=2,所以a<2,故要使不等式的解集不是R,参数a的取值范围是[2,+∞).
纠错心得 本题错误在于对“解集不是R”的意义理解不清导致的,事实上,可以利用补集思想解决这个问题,即先求出使不等式解集为R的a的取值范围,再取其补集解得所求.探究一探究二探究三思维辨析变式训练若关于x的不等式|x+5|-|x-3|>a有解,则实数a的取值范围是　　　　　.?
解析:因为|x+5|-|x-3|的最大值等于8,所以当a≥8时,不等式|x+5|-|x-3|>a无解,从而当不等式有解时,实数a的取值范围是(-∞,8).
答案:(-∞,8)123451.若|a+b|≥|a|+|b|,则必有(　　)
A.ab≤0 B.ab≥0 C.ab>0 D.ab<0
解析:因为|a+b|≤|a|+|b|,又|a+b|≥|a|+|b|,所以|a+b|=|a|+|b|,因此必有ab≥0.
答案:B123452.函数f(x)=|x+2|+|x-2|的最小值为(　　)
A.4 B.2
C.0 D.-4
解析:因为|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.
答案:A123453.若|x-a|A.|x-y|<2h B.|x-y|<2k
C.|x-y|解析:|x-y|=|(x-a)+(a-y)|≤|x-a|+|a-y|答案:C123454.函数f(x)=|4x-1|-|4x+2|的值域为　.?
解析:因为||4x-1|-|4x+2||≤|(4x-1)-(4x+2)|=3,所以-3≤|4x-1|-|4x+2|≤3,故函数f(x)的值域为[-3,3].
答案:[-3,3]12345