高中数学人教A版选修4-4课件：2.1 曲线的参数方程 :33张PPT
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| 名称 | 高中数学人教A版选修4-4课件：2.1 曲线的参数方程 :33张PPT |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 743.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-14 12:25:53 | ||
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文档简介
课件33张PPT。第二讲 参数方程一 曲线的参数方程1.参数方程的概念
(1)在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某
个变数t的函数 ,并且对于t的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
(2)参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有几何意义或物理意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.名师点拨对参数方程的理解
1.参数方程的形式:方程组中有三个变数,其中x和y表示点的横、纵坐标,第三个变数t叫做参变数,而且x与y分别是t的函数.由于横坐标、纵坐标都是变数t的函数,因此给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因而能得到唯一的点.
2.参数的取值范围:在写曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围;取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同,同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程可以有不同的形式.
3.参数方程与普通方程的统一性:普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变数x与y之间的直接联系,而参数方程是通过参变数反映坐标变数x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.4.参数的意义:如果参数选择适当,那么参数在参数方程中可以有明确的几何意义,也可以有明确的物理意义,可以给问题的解决带来方便,即使是同一条曲线,也可以用不同的变数作为参数.写参数方程时必须注明哪个字母是参数.做一做1 以下表示x轴的参数方程的是( )? 答案：D 2.圆的参数方程
(1)设圆O的半径是r,点M从初始位置M0(t=0时的位置)出发,按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动,点M绕点O转动的角速度为ω.以圆心O为原点,OM0所在直线为x轴,建立直角坐标系.如果在时刻t,圆周上某点M转过的角度是θ,坐标是(x,y),那么θ=ωt.设|OM|=r,那数).这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程.其中参数t有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻).(2)若取θ为参数,因为θ=ωt,于是圆心在原点O,半径为r的圆的参
数方程为 (θ为参数).其中参数θ的几何意义是OM0(M0为t=0时点M的位置)绕点O逆时针旋转到 OM的位置时,OM0转过的角度.名师点拨若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为【做一做2】 圆x2+y2=16的参数方程为 (θ为参数).?3.参数方程与普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.
(2)一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,
求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么 就是曲线的参数方程.
(3)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.特别提醒1.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取值范围的扩大或者缩小,必须根据参数的取值范围确定f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范围.
2.参数方程化为普通方程常用的方法是代入消参数法,当使用代入消参数法比较复杂时,可对式子先进行化简,再消参数,有时要利用代数恒等式的方法消去参数.做一做3 (1)将参数方程 (θ为参数)化为普通方程是 ;?
(2)直线y=2x的一个参数方程可以是 .?解析：(1)由于sin2θ+cos2θ=1,
所以x+y=1,并且0≤x≤1.
(2)设t为参数,令x=t,则y=2t,答案：(1)x+y=1(0≤x≤1) 思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)参数方程是通过参数反映坐标变量x,y之间的间接联系. ( )
(2)参数方程中的参数没有任何意义. ( )√ × × √ × 探究一探究二探究三思维辨析参数方程的概念?
【例1】 已知曲线C的参数方程为 (t为参数).
(1)点M(0,4)是否在曲线C上?
(2)若点(a+2,4a)在曲线C上,求实数a的值.
分析：(1)通过参数t的值进行判断;(2)建立实数a的等式求解.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.参数方程是曲线方程的另一种表达形式,点与曲线位置关系的判断,与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的.
2.对于曲线C的普通方程f(x,y)=0,若点M(x1,y1)在曲线上,则f(x1,y1)=0,若点N(x2,y2)不在曲线上,则f(x2,y2)≠0.同样,对于曲线C的对应的参数t有解,否则无解,即参数t不存在. 探究一探究二探究三思维辨析变式训练1 已知某条曲线C的参数方程为 (t为参数,a∈R).点M(5,4)在该曲线上,求常数a.?探究一探究二探究三思维辨析圆的参数方程及其应用?
【例2】 圆的直径AB上有两点C,D,且|AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为圆上一点,求|PC|+|PD|的最大值.
分析：先建立平面直角坐标系,将点P的坐标用圆的参数方程的形式表示出来,θ为参数,那么|PC|+|PD|就可以用只含有θ的式子来表示,再利用三角函数等相关知识计算出最大值.探究一探究二探究三思维辨析解：以AB所在直线为x轴,以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系(如图),则点C(-1,0),D(1,0).
因为点P在圆上,所以可设点P的坐标为(5cos θ,5sin θ).探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.圆的参数方程是三角形式,这有利于进行三角代换,运用三角知识解决解析几何中的范围、最值问题,可以使复杂的计算变得十分简洁.
2.当动点的轨迹由圆上的点来决定时,可借助圆的参数方程表示出这一点的坐标,从而建立动点与该点的联系,求得动点的参数方程.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2 如图所示,已知点Q是圆x2+y2=4上的动点,定点P(4,0),若点M满足 ,求点M的轨迹的参数方程.?解：设点M的坐标为(x,y),∠xOQ=θ,则点Q的坐标为(2cos θ,2sin θ).探究一探究二探究三思维辨析参数方程与普通方程的互化?
【例3】 (1)将下列参数方程化为普通方程,并说明方程表示的曲线.
(2)设x=2cos θ,θ为参数,求曲线4x2+y2=16的参数方程.
分析：对于(1),只需消去参数,建立x,y的等式即可;对于(2),将x=2cos θ代入曲线方程进行求解.探究一探究二探究三思维辨析解：(1)①由已知得t= ,将其代入y=4t中,得4x+3y-4=0.
故所求的普通方程为4x+3y-4=0,它表示的是一条直线.
②由y=-1+cos 2θ可得y=-2sin2θ,把sin2θ=x-2代入y=-2sin2θ可得y=-2(x-2),即2x+y-4=0.因为2≤x=2+sin2θ≤3,所以所求的普通方程是2x+y-4=0(2≤x≤3),它表示的是一条线段.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.将参数方程化为普通方程,关键是消去参数,常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程,在运用代入消元法或加减消元法之前需做必要的变形.另外,熟悉一些常见的恒等式至关重要,如sin2α+cos2α=1,(ex+e-x)2-(ex-e-x)2=4,2.把普通方程化成参数方程后,很容易改变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线.?探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析忽视参数的取值范围致误 正解由于0≤t≤π,则-1≤cos t≤1,0≤sin t≤1,
所以-3≤x≤5,-2≤y≤2,于是(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16.因此普通方程为(x-1)2+(y+2)2=16(-3≤x≤5,-2≤y≤2),它表示的曲线是以(1,-2)为圆心,半径为4的上半圆.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得本题错解在于忽视了参数t的取值范围,导致方程中x,y的范围出错,从而方程以及对应的曲线出错.在将参数方程化为普通方程时,务必注意参数的取值范围,根据这一范围确定变量x,y的范围.探究一探究二探究三思维辨析变式训练 将方程 (t为参数)化为普通方程,并说明方程表示什么曲线.?1 2 3 4 51.当参数θ变化时,由点P(2cos θ,3sin θ)所确定的曲线过点( ) 解析：令2cos θ=2,得cos θ=1,从而sin θ=0,即3sin θ=0,所以曲线过点(2,0).
答案：D1 2 3 4 52.圆(x-1)2+y2=4上的点可以表示为( )
A.(-1+cos θ,sin θ)(θ为参数)
B.(1+sin θ,cos θ)(θ为参数)
C.(-1+2cos θ,2sin θ)(θ为参数)
D.(1+2cos θ,2sin θ)(θ为参数)答案：D 1 2 3 4 53.将参数方程 (θ为参数)化为普通方程是( )
A.y=x-2 B.y=x+2
C.y=x-2(2≤x≤3) D.y=x+2(0≤y≤1)
解析：由于0≤sin2θ≤1,所以x=2+sin2θ∈[2,3],故普通方程为y=x-2(2≤x≤3).
答案：C1 2 3 4 54.将参数方程 (α为参数)化成普通方程为 .?
解析：因为 cos2α+sin2α=1,
所以x2+(y-1)2=1.
因为-1≤cos α≤1,-1≤sin α≤1,
所以-1≤x≤1,0≤y≤2.
故所求的普通方程为x2+(y-1)2=1(-1≤x≤1,0≤y≤2).
答案：x2+(y-1)2=1(-1≤x≤1,0≤y≤2)1 2 3 4 55.已知圆(x-1)2+(y-1)2=4上任意一点P(x,y),求x+y的最值.
(1)在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某
个变数t的函数 ,并且对于t的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
(2)参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有几何意义或物理意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.名师点拨对参数方程的理解
1.参数方程的形式:方程组中有三个变数,其中x和y表示点的横、纵坐标,第三个变数t叫做参变数,而且x与y分别是t的函数.由于横坐标、纵坐标都是变数t的函数,因此给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因而能得到唯一的点.
2.参数的取值范围:在写曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围;取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同,同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程可以有不同的形式.
3.参数方程与普通方程的统一性:普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变数x与y之间的直接联系,而参数方程是通过参变数反映坐标变数x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.4.参数的意义:如果参数选择适当,那么参数在参数方程中可以有明确的几何意义,也可以有明确的物理意义,可以给问题的解决带来方便,即使是同一条曲线,也可以用不同的变数作为参数.写参数方程时必须注明哪个字母是参数.做一做1 以下表示x轴的参数方程的是( )? 答案：D 2.圆的参数方程
(1)设圆O的半径是r,点M从初始位置M0(t=0时的位置)出发,按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动,点M绕点O转动的角速度为ω.以圆心O为原点,OM0所在直线为x轴,建立直角坐标系.如果在时刻t,圆周上某点M转过的角度是θ,坐标是(x,y),那么θ=ωt.设|OM|=r,那数).这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程.其中参数t有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻).(2)若取θ为参数,因为θ=ωt,于是圆心在原点O,半径为r的圆的参
数方程为 (θ为参数).其中参数θ的几何意义是OM0(M0为t=0时点M的位置)绕点O逆时针旋转到 OM的位置时,OM0转过的角度.名师点拨若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为【做一做2】 圆x2+y2=16的参数方程为 (θ为参数).?3.参数方程与普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.
(2)一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,
求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么 就是曲线的参数方程.
(3)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.特别提醒1.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取值范围的扩大或者缩小,必须根据参数的取值范围确定f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范围.
2.参数方程化为普通方程常用的方法是代入消参数法,当使用代入消参数法比较复杂时,可对式子先进行化简,再消参数,有时要利用代数恒等式的方法消去参数.做一做3 (1)将参数方程 (θ为参数)化为普通方程是 ;?
(2)直线y=2x的一个参数方程可以是 .?解析：(1)由于sin2θ+cos2θ=1,
所以x+y=1,并且0≤x≤1.
(2)设t为参数,令x=t,则y=2t,答案：(1)x+y=1(0≤x≤1) 思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)参数方程是通过参数反映坐标变量x,y之间的间接联系. ( )
(2)参数方程中的参数没有任何意义. ( )√ × × √ × 探究一探究二探究三思维辨析参数方程的概念?
【例1】 已知曲线C的参数方程为 (t为参数).
(1)点M(0,4)是否在曲线C上?
(2)若点(a+2,4a)在曲线C上,求实数a的值.
分析：(1)通过参数t的值进行判断;(2)建立实数a的等式求解.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.参数方程是曲线方程的另一种表达形式,点与曲线位置关系的判断,与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的.
2.对于曲线C的普通方程f(x,y)=0,若点M(x1,y1)在曲线上,则f(x1,y1)=0,若点N(x2,y2)不在曲线上,则f(x2,y2)≠0.同样,对于曲线C的对应的参数t有解,否则无解,即参数t不存在. 探究一探究二探究三思维辨析变式训练1 已知某条曲线C的参数方程为 (t为参数,a∈R).点M(5,4)在该曲线上,求常数a.?探究一探究二探究三思维辨析圆的参数方程及其应用?
【例2】 圆的直径AB上有两点C,D,且|AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为圆上一点,求|PC|+|PD|的最大值.
分析：先建立平面直角坐标系,将点P的坐标用圆的参数方程的形式表示出来,θ为参数,那么|PC|+|PD|就可以用只含有θ的式子来表示,再利用三角函数等相关知识计算出最大值.探究一探究二探究三思维辨析解：以AB所在直线为x轴,以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系(如图),则点C(-1,0),D(1,0).
因为点P在圆上,所以可设点P的坐标为(5cos θ,5sin θ).探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.圆的参数方程是三角形式,这有利于进行三角代换,运用三角知识解决解析几何中的范围、最值问题,可以使复杂的计算变得十分简洁.
2.当动点的轨迹由圆上的点来决定时,可借助圆的参数方程表示出这一点的坐标,从而建立动点与该点的联系,求得动点的参数方程.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2 如图所示,已知点Q是圆x2+y2=4上的动点,定点P(4,0),若点M满足 ,求点M的轨迹的参数方程.?解：设点M的坐标为(x,y),∠xOQ=θ,则点Q的坐标为(2cos θ,2sin θ).探究一探究二探究三思维辨析参数方程与普通方程的互化?
【例3】 (1)将下列参数方程化为普通方程,并说明方程表示的曲线.
(2)设x=2cos θ,θ为参数,求曲线4x2+y2=16的参数方程.
分析：对于(1),只需消去参数,建立x,y的等式即可;对于(2),将x=2cos θ代入曲线方程进行求解.探究一探究二探究三思维辨析解：(1)①由已知得t= ,将其代入y=4t中,得4x+3y-4=0.
故所求的普通方程为4x+3y-4=0,它表示的是一条直线.
②由y=-1+cos 2θ可得y=-2sin2θ,把sin2θ=x-2代入y=-2sin2θ可得y=-2(x-2),即2x+y-4=0.因为2≤x=2+sin2θ≤3,所以所求的普通方程是2x+y-4=0(2≤x≤3),它表示的是一条线段.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.将参数方程化为普通方程,关键是消去参数,常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程,在运用代入消元法或加减消元法之前需做必要的变形.另外,熟悉一些常见的恒等式至关重要,如sin2α+cos2α=1,(ex+e-x)2-(ex-e-x)2=4,2.把普通方程化成参数方程后,很容易改变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线.?探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析忽视参数的取值范围致误 正解由于0≤t≤π,则-1≤cos t≤1,0≤sin t≤1,
所以-3≤x≤5,-2≤y≤2,于是(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16.因此普通方程为(x-1)2+(y+2)2=16(-3≤x≤5,-2≤y≤2),它表示的曲线是以(1,-2)为圆心,半径为4的上半圆.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得本题错解在于忽视了参数t的取值范围,导致方程中x,y的范围出错,从而方程以及对应的曲线出错.在将参数方程化为普通方程时,务必注意参数的取值范围,根据这一范围确定变量x,y的范围.探究一探究二探究三思维辨析变式训练 将方程 (t为参数)化为普通方程,并说明方程表示什么曲线.?1 2 3 4 51.当参数θ变化时,由点P(2cos θ,3sin θ)所确定的曲线过点( ) 解析：令2cos θ=2,得cos θ=1,从而sin θ=0,即3sin θ=0,所以曲线过点(2,0).
答案：D1 2 3 4 52.圆(x-1)2+y2=4上的点可以表示为( )
A.(-1+cos θ,sin θ)(θ为参数)
B.(1+sin θ,cos θ)(θ为参数)
C.(-1+2cos θ,2sin θ)(θ为参数)
D.(1+2cos θ,2sin θ)(θ为参数)答案：D 1 2 3 4 53.将参数方程 (θ为参数)化为普通方程是( )
A.y=x-2 B.y=x+2
C.y=x-2(2≤x≤3) D.y=x+2(0≤y≤1)
解析：由于0≤sin2θ≤1,所以x=2+sin2θ∈[2,3],故普通方程为y=x-2(2≤x≤3).
答案：C1 2 3 4 54.将参数方程 (α为参数)化成普通方程为 .?
解析：因为 cos2α+sin2α=1,
所以x2+(y-1)2=1.
因为-1≤cos α≤1,-1≤sin α≤1,
所以-1≤x≤1,0≤y≤2.
故所求的普通方程为x2+(y-1)2=1(-1≤x≤1,0≤y≤2).
答案：x2+(y-1)2=1(-1≤x≤1,0≤y≤2)1 2 3 4 55.已知圆(x-1)2+(y-1)2=4上任意一点P(x,y),求x+y的最值.