高中数学苏教版必修1讲义：1.2子集、全集、补集（第1课时）子集、真子集

第1课时　子集、真子集
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解集合间包含与相等的含义、能识别给定集合间是否有包含关系．(重点)
2.能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点)
3.能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点)
通过学习本课时内容进一步提升学生的逻辑推理、数学抽象的核心素养.
1．子集的概念及其性质
(1)子集
定义
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
符号表示
A?B(或B?A)
读法
集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)
图示
(2)子集的性质
①A?A，即任何一个集合是它本身的子集．
②??A，即空集是任何集合的子集．
③若A?B，B?C，则A?C，即子集具备传递性．
(3)集合相等
若A?B且B?A，则A＝B.
2．真子集的概念及性质
(1)真子集的概念
如果A?B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
(2)性质
①?是任一非空集合的真子集．
②若AB，BC，则AC.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){2,3}?{x|x2－5x＋6＝0}． (　　)
(2)??{0}． (　　)
(3)??{?}． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
[提示]　(1)x2－5x＋6＝0的根为x＝2,3，故(1)正确．因?是任何集合的子集，故(2)(3)正确．
2．{1，a}?{1,2,3}，则a＝________.
2或3　[因为{1，a}?{1,2,3}，所以a必定是集合{1,2,3}中的一个元素，故a＝2或3.]
3．集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,0,1}，则A与B的关系是________．
AB　[∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{1，－1}．
显然AB.]
集合关系的判断
【例1】　指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(3)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；
(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；
(5)A＝{x|－1思路点拨：分析集合中元素及元素的特征，用子集、真子集及集合相等的概念进行判断．
[解]　(1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA.
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．
(3)∵Q中n∈Z，
∴n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，
∴P＝Q.
(4)等边三角形是三边相等的三角形，故AB.
(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现AB.
判断两个集合A，B的关系，应由集合中元素入手，依据集合间关系的定义得出结论.由AB可推出A?B，但由A?B推不出AB.
1．下列各组的集合中，两个集合之间具有包含关系的是________，其中A为S真子集的是________．(填序号)
(1)S＝{－2，－1,1,2}，A＝{－1,1}；
(2)S＝R，A＝{x|x≤0，x∈R}；
(3)S＝{x|x为江苏人}，A＝{x|x为中国人}．
(1)(2)(3)　(1)(2)　[(1)中A?S，且AS；(2)中A?S且AS；(3)中S?A且SA.]
有关子集个数的计数问题
【例2】　(1)写出集合M＝{1,2,3}的子集，并说明其中真子集的个数为多少．
(2)若集合{1,2}?M{1,2,3,4}，试写出满足条件的所有的集合M.
思路点拨：对于确定子集(或个数)的题目，可以将子集逐一列举出来再计数．
[解]　(1)按子集中包含元素的个数来写：
含元素个数
子集
子集个数
0
?
1
1
{1}{2}{3}
3
2
{1,2}{1,3}{2,3}
3
3
{1,2,3}
1
其中真子集有7个．
(2)M中必有1,2两个元素，但3,4可以没有，也可以只有一个，但不能两个都在M中．
M的可能情况为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．
1．求解有限集合的子集问题，关键有三点
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
2．集合M满足{4,5}?M?{1,2,3,4,5}，则这样的M共有________个．
8个　[易知M中必含有4,5两个元素，但1,2,3可有可无，故M的个数与{1,2,3}的子集的个数相同，共8个．]
集合之间的包含关系
[探究问题]
1．A?B的意义是什么？若M＝{x|x≤2}，N＝{x|x≤1}，则N?M成立吗？
[提示]　A?B表示集合A中所有的元素都在集合B中．借助数轴表示出M，N两集合，易见N?M.
2．若集合M＝{x|x≤1}，N＝{x|x<1}，则M?N成立吗？
[提示]　不成立，因为1∈M但1N，故M?N错误．
3．集合M＝{x|2a[提示]　M可以是空集，此时只需要2a≥a＋1，即a≥1.
【例3】　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1思路点拨：→
→
[解]　∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠?时，有
解得－1≤m<2，综上得m≥－1.
(变条件)若将本例中的“B?A”改为“A?B”，求实数m的范围．
[解]　∵A?B，
∴
∴不存在这样的m，使得A?B.
1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
2．两个易错点
(1)当B?A时，应分B＝?和B≠?两种情况讨论；
(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但xA.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.
1．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若B?A，则实数m的值为(　　)
A．0 B．2
C．0或2 D．1
C　[因为B?A，那么m∈{0,2}，所以m的值是0或2.]
2．集合A＝{－1,0,1}的子集中，含有元素0的子集个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
B　[根据子集定义，集合A的子集为?，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}，显然含有元素0的子集共有4个. ]
3．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．
BA　[∵B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.]
4．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．
[解]　因为B是A的子集，
所以B中元素必是A中的元素，
若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．
若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，
所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0.
因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，
此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．
综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．