高中数学苏教版必修1讲义：2.1.1函数的概念和图象（第1课时）函数的概念
文档属性
| 名称 | 高中数学苏教版必修1讲义：2.1.1函数的概念和图象（第1课时）函数的概念 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 376.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-14 13:52:00 | ||
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文档简介
第1课时 函数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点)
2.会求几种简单函数的定义域、值域．(重点)
通过学习本节内容培养学生的数学抽象核心素养，提升学生的数学运算核心素养.
函数的概念
函数的定义
设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数.
函数的记法
从A到B的一个函数通常记为y＝f(x)，x∈A.
函数的定义域
在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.
函数的值域
若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，则将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.
思考：定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？
[提示] 不一定是，如函数y＝x，x∈[0,1]，和y＝x2，x∈[0,1]．定义域和值域都相同，但不是同一个函数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系． ( )
(2)已知定义域和对应法则就可以确定一个函数． ( )
(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y. ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．(1)函数f(x)＝的定义域为________．
(2)函数f(x)＝的定义域为________．
(3)函数f(x)＝(x∈N)的定义域为________．
(1){x|x≥10} (2){x|x>2} (3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} [(1)x－10≥0，∴x≥10，即{x|x≥10}．
(2)x－2>0，∴x>2，即{x|x＞2}．
(3)?∴x的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．]
3．若f(x)＝x2－3x＋2，则f(1)＝________.
0 [f(1)＝12－3×1＋2＝0.]
4．若f(x)＝x－3，x∈{0,1,2,3}，则f(x)的值域为________．
{－3，－2，－1,0} [f(0)＝－3，f(1)＝－2，f(2)＝－1，f(3)＝0.]
函数的概念
【例1】 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．
(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±；
(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；
(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→；
(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
(5)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.
思路点拨：求解本题的关键是判断在对应法则f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．
[解] (1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±＝±3，即在对应法则f之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．
(2)对于A中的元素x＝2，在f作用下，|2－2|B，故不能构成函数．
(3)A中元素x＝0在B中没有对应元素，故(3)不能构成函数．
(4)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应法则f之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．
(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“每一个元素x”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
1.下列对应或关系式中是A到B的函数的有________．(填序号)
①A＝B＝[－1,1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1；
②A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图；
③A＝R，B＝R，f：x→y＝；
④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝.
② [对于①项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．]
求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝＋x0＋；
(4)f(x)＝.
思路点拨：根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组)，求出x的范围，就是所求函数的定义域．
[解] (1)要使f(x)有意义，则有3x－2>0，∴x>，
即f(x)的定义域为.
(2)要使f(x)有意义，则?x≥－1且x≠2，
即f(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．
(3)要使f(x)有意义，则
解得x≥－4且x≠0，x≠－2，
即f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)．
(4)要使f(x)有意义，则x＋1≠0，∴x≠－1，
即f(x)的定义域为{x|x≠－1}．
1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．
2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
2．求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋且 x∈Z.
[解] (1)要使函数有意义，只需所以x＜且x≠0，所以函数的定义域为.
(2)要使函数有意义，只需所以－1≤x≤3.
又x∈Z，所以x＝－1,0,1,2,3.
所以函数的定义域为{－1,0,1,2,3}.
求函数的值域或函数值
【例3】 已知f(x)＝x2－4x＋2.
(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；
(2)求f(x)的值域；
(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．
思路点拨：(1)将x＝2，a，a＋1代入f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f[g(3)]．
[解] (1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，
f(a)＝a2－4a＋2，
f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1.
(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，
∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．
(3)g(3)＝3＋1＝4，
∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2.
1．函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．
2．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．
3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．
3．在例3中，g(x)＝x＋1，求f(g(x))，g(f(x))．
[解] f(g(x))＝g(x)2－4g(x)＋2＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，
g(f(x))＝f(x)＋1＝x2－4x＋2＋1＝x2－4x＋3.
抽象函数求定义域
[探究问题]
1．在y＝f(x)中，f(x)的定义域指的是什么？x是什么？
[提示] f(x)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量．
2．在函数y＝f(x＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？
[提示] y＝f(x＋1)中自变量为x，其定义域指的是x的范围．
3．如何将函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)中的自变量联系起来？
[提示] 由于x，x＋1均为f的作用对象，故二者均应在f(x)定义域之中，即y＝f(x)中x的范围与y＝f(x＋1)中x＋1的范围一致．
【例4】 (1)已知函数y＝f(x)的定义域为[1,4]，则f(x＋2)的定义域为________．
(2)已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1,4]，则f(x)的定义域为________．
(3)已知函数y＝f(x＋3)的定义域为[1,4]，则f(2x)的定义域为________．
思路点拨：找准每一个函数中的自变量，通过括号内范围相同来解决问题．
(1)[－1,2] (2)[3,6] (3) [(1)由题知对于f(x＋2)有x＋2∈[1,4]，∴x∈[－1,2]，
故f(x＋2)的定义域为[－1,2]．
(2)由题知x∈[1,4]，∴x＋2∈[3,6]，∴f(x)的定义域是[3,6]．
(3)由题知x∈[1,4]，∴x＋3∈[4,7]，对于f(2x)有2x∈[4,7]，∴x∈，
即f(2x)的定义域为.]
抽象函数的定义域
(1(已知f(x(的定义域，求f(g(x((的定义域：若f(x(的定义域为[a，b]，则f(g(x((中a≤g(x(≤b，从中解得x的取值范围即为f(g(x((的定义域.
(2(已知f(g(x((的定义域，求f(x(的定义域：若f(g(x((的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x(的取值范围，g(x(的取值范围即为f(x(的定义域.
用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：
①定义域指自变量的取值范围.(告诉我们已知什么，求什么(
②括号内范围相同.(告诉我们如何将条件与结论联系起来
4．已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－3,2]，则f(x＋1)的定义域为________．
[－5,0] [对于y＝f(x－1)有x∈[－3,2]，∴x－1∈[－4，1]，∴在f(x＋1)中有x＋1∈[－4,1]，∴x∈[－5,0]．]
理解函数的概念应关注五点
(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．
(5)除f(x)外，有时还用g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数．
1．下列图象表示函数图象的是( )
C [根据函数定义知，对定义域内的任意变量x，都有唯一的函数值y和它对应，即作垂直x轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x是定义域内的一个变量，无交点即x不是定义域内的变量)．显然，只有答案C中图象符合．]
2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝()2
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝·，g(x)＝.
A [A中定义域，对应关系都相同，是同一函数；B中定义域不同；C中定义域不同；D中定义域不同．]
3．函数y＝＋的定义域是________．
{x|x≥－1且x≠2} [要使函数有意义，需满足解不等式得定义域为{x|x≥－1且x≠2}．]]
4．求下列函数的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(3)y＝.
[解] (1)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．
(2)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
(3)y＝＝＝2＋，
显然≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点)
2.会求几种简单函数的定义域、值域．(重点)
通过学习本节内容培养学生的数学抽象核心素养，提升学生的数学运算核心素养.
函数的概念
函数的定义
设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数.
函数的记法
从A到B的一个函数通常记为y＝f(x)，x∈A.
函数的定义域
在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.
函数的值域
若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，则将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.
思考：定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？
[提示] 不一定是，如函数y＝x，x∈[0,1]，和y＝x2，x∈[0,1]．定义域和值域都相同，但不是同一个函数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系． ( )
(2)已知定义域和对应法则就可以确定一个函数． ( )
(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y. ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．(1)函数f(x)＝的定义域为________．
(2)函数f(x)＝的定义域为________．
(3)函数f(x)＝(x∈N)的定义域为________．
(1){x|x≥10} (2){x|x>2} (3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} [(1)x－10≥0，∴x≥10，即{x|x≥10}．
(2)x－2>0，∴x>2，即{x|x＞2}．
(3)?∴x的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．]
3．若f(x)＝x2－3x＋2，则f(1)＝________.
0 [f(1)＝12－3×1＋2＝0.]
4．若f(x)＝x－3，x∈{0,1,2,3}，则f(x)的值域为________．
{－3，－2，－1,0} [f(0)＝－3，f(1)＝－2，f(2)＝－1，f(3)＝0.]
函数的概念
【例1】 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．
(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±；
(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；
(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→；
(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
(5)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.
思路点拨：求解本题的关键是判断在对应法则f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．
[解] (1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±＝±3，即在对应法则f之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．
(2)对于A中的元素x＝2，在f作用下，|2－2|B，故不能构成函数．
(3)A中元素x＝0在B中没有对应元素，故(3)不能构成函数．
(4)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应法则f之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．
(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“每一个元素x”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
1.下列对应或关系式中是A到B的函数的有________．(填序号)
①A＝B＝[－1,1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1；
②A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图；
③A＝R，B＝R，f：x→y＝；
④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝.
② [对于①项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．]
求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝＋x0＋；
(4)f(x)＝.
思路点拨：根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组)，求出x的范围，就是所求函数的定义域．
[解] (1)要使f(x)有意义，则有3x－2>0，∴x>，
即f(x)的定义域为.
(2)要使f(x)有意义，则?x≥－1且x≠2，
即f(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．
(3)要使f(x)有意义，则
解得x≥－4且x≠0，x≠－2，
即f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)．
(4)要使f(x)有意义，则x＋1≠0，∴x≠－1，
即f(x)的定义域为{x|x≠－1}．
1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．
2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
2．求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋且 x∈Z.
[解] (1)要使函数有意义，只需所以x＜且x≠0，所以函数的定义域为.
(2)要使函数有意义，只需所以－1≤x≤3.
又x∈Z，所以x＝－1,0,1,2,3.
所以函数的定义域为{－1,0,1,2,3}.
求函数的值域或函数值
【例3】 已知f(x)＝x2－4x＋2.
(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；
(2)求f(x)的值域；
(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．
思路点拨：(1)将x＝2，a，a＋1代入f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f[g(3)]．
[解] (1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，
f(a)＝a2－4a＋2，
f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1.
(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，
∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．
(3)g(3)＝3＋1＝4，
∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2.
1．函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．
2．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．
3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．
3．在例3中，g(x)＝x＋1，求f(g(x))，g(f(x))．
[解] f(g(x))＝g(x)2－4g(x)＋2＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，
g(f(x))＝f(x)＋1＝x2－4x＋2＋1＝x2－4x＋3.
抽象函数求定义域
[探究问题]
1．在y＝f(x)中，f(x)的定义域指的是什么？x是什么？
[提示] f(x)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量．
2．在函数y＝f(x＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？
[提示] y＝f(x＋1)中自变量为x，其定义域指的是x的范围．
3．如何将函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)中的自变量联系起来？
[提示] 由于x，x＋1均为f的作用对象，故二者均应在f(x)定义域之中，即y＝f(x)中x的范围与y＝f(x＋1)中x＋1的范围一致．
【例4】 (1)已知函数y＝f(x)的定义域为[1,4]，则f(x＋2)的定义域为________．
(2)已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1,4]，则f(x)的定义域为________．
(3)已知函数y＝f(x＋3)的定义域为[1,4]，则f(2x)的定义域为________．
思路点拨：找准每一个函数中的自变量，通过括号内范围相同来解决问题．
(1)[－1,2] (2)[3,6] (3) [(1)由题知对于f(x＋2)有x＋2∈[1,4]，∴x∈[－1,2]，
故f(x＋2)的定义域为[－1,2]．
(2)由题知x∈[1,4]，∴x＋2∈[3,6]，∴f(x)的定义域是[3,6]．
(3)由题知x∈[1,4]，∴x＋3∈[4,7]，对于f(2x)有2x∈[4,7]，∴x∈，
即f(2x)的定义域为.]
抽象函数的定义域
(1(已知f(x(的定义域，求f(g(x((的定义域：若f(x(的定义域为[a，b]，则f(g(x((中a≤g(x(≤b，从中解得x的取值范围即为f(g(x((的定义域.
(2(已知f(g(x((的定义域，求f(x(的定义域：若f(g(x((的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x(的取值范围，g(x(的取值范围即为f(x(的定义域.
用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：
①定义域指自变量的取值范围.(告诉我们已知什么，求什么(
②括号内范围相同.(告诉我们如何将条件与结论联系起来
4．已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－3,2]，则f(x＋1)的定义域为________．
[－5,0] [对于y＝f(x－1)有x∈[－3,2]，∴x－1∈[－4，1]，∴在f(x＋1)中有x＋1∈[－4,1]，∴x∈[－5,0]．]
理解函数的概念应关注五点
(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．
(5)除f(x)外，有时还用g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数．
1．下列图象表示函数图象的是( )
C [根据函数定义知，对定义域内的任意变量x，都有唯一的函数值y和它对应，即作垂直x轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x是定义域内的一个变量，无交点即x不是定义域内的变量)．显然，只有答案C中图象符合．]
2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝()2
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝·，g(x)＝.
A [A中定义域，对应关系都相同，是同一函数；B中定义域不同；C中定义域不同；D中定义域不同．]
3．函数y＝＋的定义域是________．
{x|x≥－1且x≠2} [要使函数有意义，需满足解不等式得定义域为{x|x≥－1且x≠2}．]]
4．求下列函数的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(3)y＝.
[解] (1)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．
(2)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
(3)y＝＝＝2＋，
显然≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．